分块矩阵的应用研究

1引言

在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组

111122223333

(1.1)(1.2)(1.3)

a x

b y

c z

d a x b y c z d a x b y c z d ++=++=++= 我们可以构成一个矩阵

111122223

3

3

3(1.4)a b c d a b c d a b c d ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行

n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成.

矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨

分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.

在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下：

（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.

（2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用.

如：设A B M C D ⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦

是一个四分块n 阶矩阵，其中A 、B 、C 、D 分别是,r r ⨯(),r n r ⨯-(),n r r -⨯()n r -⨯()n r -阶矩阵，若A 可逆，可证M =AD - 1CA B -，另若D 可逆，则可证得1M D BD C -=-.

（3）通过绪论证明矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵行列式的问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题. 如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知矩阵秩()AB ≤秩()A ，且秩()AB ≤秩()B 可证得秩()AB ≤ {}min (),()r A r B .

（4）利用分块矩阵求高阶行列式.如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且

AC CA =，则可求得

A B AD

BC C

D

.

（5）给出利用分块矩阵计算行列式A D H C

B

=

的方法，可分几个方面讨论，当

矩阵A 或B 可逆时;当矩阵A =B ，C =D 时;当A 与C 或C 与B 可交换时；当矩阵

H 被分成两个特殊矩阵的和时，行列式的计算.

（6）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性.

本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来很大的便利.

2 分块矩阵及其性质

2.1 分块矩阵

2.1.1【5】【6】分块矩阵的定义

用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：

11

12121

2221

2

t t s s st A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.1） 其中每个小矩阵 (1,2,,;1,2,

,)ij A i s j t ==叫做A 的一个子块；分成子块

的矩阵叫做分块矩阵.

2.1.2【5】【6】

分块矩阵的运算规则

1(1)()()()(2)()()(3)()()(),(1,2,

,;1,2,,)

(4)()()ij st ij st ij ij st T T ij st ji ts

t

ij st ij tp ij sp ij ik kj k ij st ij st

A B A B A A A B C C A B i s j t k A k A =±=±======∑

在用规则（1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质（3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.

2.2分块矩阵的性质及其推论

在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质： （1）若行列式中某行有公因子，则可提到行列式号外面；

（2）把行列式中的某行乘上某一个非零数，加到另一行中去，其值不变； （3）把行列式的某两行互换位置，其值变号.

利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广. 性质1【2】 设方阵A 是由如下分块矩阵组成

12312

312

3A A A A B B B C C C ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2.2） 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵

1

231

231

2

3A A A B MB MB MB C C C ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2.3） 则B M A =.

证明：设s E 为s 级单位矩阵，则

12

312312300000

0000

00

s

s

s s E A A A E B M B B B M A E C C C E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

于是 00

00

s

s

E B M A M A E == 性质2【2】 设矩阵A 是由如下分块矩阵组成

12312

312

3A A A A B B B C C C ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2.4） 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵

1

23

11

22

331

2

3A A A D B MC B MC B MC C C C ⎡⎤

⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.5）

则A D =

证明：由12

312312

3000

s

s s E A A A E M B B B E C C C ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

= 1

23

1

122

331

2

3A A A B MC

B M

C B MC C C C ⎡⎤

⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦