关于函数恒成立问题的解题

恒成立问题

二、恒成立问题解决的基本策略

A 、两个基本思想解决“恒成立问题”

思路1:()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ⇔≥；

思路2:()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ⇔≤．

如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导,等等方法求函数()f x 的最值．

此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．

C 、分清基本类型,运用相关基本知识，把握基本的解题策略

1、一次函数型

若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷．

给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠,若()y f x =在[, ]m n 内恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >⎧⎨>⎩；同理,若在[, ]m n 内恒有()0f x <,则等价于：()0()0f m f n <⎧⎨<⎩

. 例3.对于满足2a ≤的所有实数a ，求使不等式212x ax a x ++>+恒成立的x 的取值范围． 解：原不等式转化为:2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立,

设2()(1)21f a x a x x =-+-+,则()f a 在[2, 2]-上恒大于０,

故有：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即2243010

x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩,解得：3111x x x x ><⎧⎨><-⎩或或; ∴1x <-或3x >,即x ∈(－∞,-１）∪(３,+∞)．

2、二次函数型

例４.若函数()f x =R ,求实数a 的取值范围. 解：由题意可知，当x R ∈时,222(1)(1)01

a x a x a -+-+≥+恒成立, ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时,222(1)(1)101

a x a x a -+-+=≥+,适合;

②当210a -≠时,有222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩

即有221191090a a a a ⎧>⎪⇒<≤⎨-+≤⎪⎩； 综上所述，()f x 的定义域为R 时,[1, 9]a ∈.

例5．已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.

分析：()y f x =的函数图像都在x 轴及其上方，如右图所示:

略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤,62a ∴-≤≤.

变式1:若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．

分析:要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,

只需()f x 的最小值()0g a ≥即可.

解：2

2()()324

a a f x x a =+--+，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a ; ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥；73

a ∴≤，而4a >,a ∴不存在； ②当222

a -≤-≤,即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥，62a ∴-≤≤； 又44a -≤≤,42a ∴-≤≤; ③当22

a ->,即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥,7a ∴≥-； 又4a <-,74a ∴-≤<-;

综上所述,72a -≤≤．

变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.

法一：分析：题目中要证明()2f x ≥在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号的左边,则把原题转化成

左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题．

略解:2

()320f x x ax a =++--≥,

即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立;

①()2410a a ∆=--≤， 222222a ∴--≤-+

2 —2

②24(1)0(2)0(2)0222

2a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或

;52a ∴-≤≤-；

3、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有:()()f x g a >恒成立,则min ()()g a f x <；若对于x 取值范围内的任何一个数，都有:()()f x g a <恒成立，则max ()()g a f x >.

例6.已知三个不等式：①2430x x -+<,②2680x x -+<,③2290x x m -+<.要使同时满足①②

的所有x 的值满足③，求m 的取值范围．

略解：由①②得23x <<,要使同时满足①②的所有x 的值满足③,

即不等式2290x x m -+<在(2, 3)x ∈上恒成立,

即229m x x <-+在(2,3)x ∈上恒成立，又229x x -+在(2,3)x ∈上大于9;

所以：9m ≤.

例7．函数()f x 是奇函数,且在[1, 1]-上单调递增,又(1)1f -=-，若2()21f x t at ≤-+对所有的

[1, 1]a ∈-都成立,求t 的取值范围．

解:据奇函数关于原点对称，(1)1f =；

又因为()f x 在[1, 1]-是单调递增，所以max ()(1)1f x f ==；

2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]a ∈-都成立;

因此，只需221t at -+大于或等于()f x 在[1, 1]-上的最大值１，

2221120t at t at ∴-+≥⇒-≥；又∵对所有的[1, 1]a ∈-都成立,

即关于a 的一次函数在[1, 1]-上大于或等于0恒成立，

222020220

t t t t t t t ⎧-≥⎪∴⇒≥=≤-⎨+≥⎪⎩或或即:(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞． 利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题.

4、根据函数的奇偶性、周期性等性质