二次曲线方程几种化简方法的比较与创新
第二十六章二次函数
第二十六章二次函数[本章知识要点]1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．26．1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[MM及创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．[实践与探索]例1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数是二次函数，须满足的条件是：．解若函数是二次函数，则．解得，且．因此，当，且时，函数是二次函数．回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数．探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S （cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；（2）由题意，得，其中y是x的二次函数；（3）由题意，得（x≥0且是正整数），其中y是x的一次函数；（4）由题意，得，其中S是x的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．解（1）；（2）当x=3cm时，（cm2）．[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）2．当k为何值时，函数为二次函数？3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1．已知函数是二次函数，求m的值．2．已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A． B． C． D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（1）[本课知识要点]会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．[MM及创新思维]我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是、，那么二次函数的图象是什么呢？（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）（2）解列表x …-3 -2 -1 0 1 2 3 ……18 8 2 0 2 8 18 ……-18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解（1）由题意，得，解得k=2．（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得．列表：C 2 4 6 8 …14 …描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）（2）（3）2．（1）函数的开口，对称轴是，顶点坐标是；（2）函数的开口，对称轴是，顶点坐标是．3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）（2）2．填空：（1）抛物线，当x= 时，y有最值，是．（2）当m= 时，抛物线开口向下．（3）已知函数是二次函数，它的图象开口，当x 时，y随x的增大而增大．3．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值．B组5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．6．二次函数与直线交于点P（1，b）．（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．7．一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？，那么与的图象之间又有何关系？．[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．解列表．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 ……18 8 2 0 2 8 18 ……20 10 4 2 4 10 20 …描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．解列表．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 ……-8 -3 0 1 0 -3 -8 ……-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作，又抛物线经过点（1，1），所以，，解得．故所求函数关系式为．回顾与反思（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，，．观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2．抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．[本课课外作业]A组1．已知函数，，．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2．不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的．3．若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B组4．在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( )5．已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识要点]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …… 2 0 2 ……0 2 8 ……82 0 …描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．回顾与反思对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最值，最值y= ．探索抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?解抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．回顾与反思（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A组1．已知函数，，．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．B组5．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，3），求的值．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识要点]1．掌握把抛物线平移至 +k的规律；2．会画出 +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 ……22……822 … (6)-20 …描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 +k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索你能说出函数 +k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表． +k开口方向对称轴顶点坐标例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．分析抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．解．向上平移2个单位，得到，再向左平移4个单位，得到，其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则解得探索把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线如何平移可得到抛物线（）A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．3．抛物线可由抛物线向平移个单位，再向平移个单位而得到．[本课课外作业]A组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线如何平移，可得到抛物线？B组4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有（）A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=215．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．6．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识要点]1．能通过配方把二次函数化成 +k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM及创新思维]我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口，对称轴是，顶点坐标是．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：x …-2 -1 0 1 2 3 4 ……-10 0 6 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标．例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．解，则抛物线的顶点坐标是．当顶点在x轴上时，有，解得．当顶点在y轴上时，有，解得或．所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是–2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数的对称轴是．（2）二次函数的图象的顶点是，当x 时，y随x的增大而减小．（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则 = ．2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？[本课课外作业]A组1．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．2．利用配方法，把下列函数写成 +k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）（2）（3）（4）3．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B组4．当时，求抛物线的顶点所在的象限．5. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）；（2）．分析由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解（1）二次函数中的二次项系数2＞0，因此抛物线有最低点，即函数有最小值．因为 = ，所以当时，函数有最小值是．（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，因此抛物线有最高点，即函数有最大值．因为 = ，所以当时，函数有最大值是．回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130 150 165y（件）70 50 35若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．解由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为．设每日销售利润为s元，则有．因为，所以．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此．（2）由∥，得，即，所以，，x的取值范围是．（3），所以，当x=2时，S有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数，当x= 时，y有最小值．2．已知二次函数有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）；（2）．2．已知二次函数的最小值为1，求m的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B组4．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识要点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y 轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得所以．因此，函数关系式是．例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数。
确定岗位层级系数的三种简易办法
确定岗位之间差别的三种简易方法总体方法概述说明：依据对各岗位的评价因素进行评分来量化岗位级别之间的差距是一种通常采用方法，但这样做一般费时、费力，有些咨询项目限于时间和客户的要求难以实施，因此咨询师们希望能找到一些简易的方法来进行处理。
结合多个项目的实施中，我们总结出了三种量化岗位级别差距的简易方法，即：直线法、二次曲线拟合法和海氏曲线拟合法，三种方法宗旨是如何在确定了岗位最高层级与最低层级的级差倍数基础上，如何确定中间岗位层级的级差倍数，并从管理学的观点给出合理的解释。
创新背景和创新方法应用领域说明：创新背景：在进行长沙建机院员工持股方案时，企业的决策者根据自己公司的情况大体确定了一个最高、中间、最低三个层级的持股比例关系，但是没有科学依据，需要咨询公司利用某种确定岗位级差的工具来拟和并解释这一结果，正是基于这一背景，提出了三种方法来在解决这一问题。
应用领域：需要按岗位层级大致确定某一比例关系，但又无法对各岗位的评价因素进行评分来量化岗位级别的场合。
确定岗位之间差别的三种简易方法一、直线法1、使用方法使用直线法确定岗位级别之间的差距时，根据对员工岗位级别划分的层数，最低一级系数可取为1，其他各级系数可按等差数列确定，如确定为2、4、6、8、10等，形成y＝ax＋b的直线形式。
在使用直线法确定岗位级别的系数时，应按以下三个步骤顺序进行：（1）、确定最高级和最低级之间的差距倍数。
在具体使用时岗位的最高级一般为企业的法人代表（董事长），岗位的最低级为普通员工，根据确定这一差别的最终目的，经过和咨询项目客户方的关键人物（甚至是董事长本人）的充分沟通，应首先在岗位最高级和最低级之间的差距倍数上达成共识。
（2）、确定岗位层级数。
在确定岗位层级数时，如咨询客户已有现成的薪酬体系，可参照其岗位工资来划分岗位层级，如客户的岗位层级过多（8级以上）可将其中层以及员工层分别单独做适当合，将最终的岗位层级确定为6级左右，同时如果咨询项目的目的是要突出对科技人员和营销人员的重视，还可将科技人员及营销人员分别按技术系列和营销系列单独划分，然后与管理系列进行对比来确定岗位层级。
初三数学中考知识点总结【优秀10篇】
初三数学中考知识点总结【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次曲线方程地化简与分类
2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-1班学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜指导教师：候传燕老师答辩日期：2015年5月6日新疆师范大学教务处目录摘要 ..............................................................................................................................1 1前言 ...........................................................................................................................3 2二次曲线方程的化简与分类 .. (4)2.1方程的化简 (4)2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4)2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4)2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5)2.2 二次曲线的分类 (6)2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7)2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10)2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11)3总结......................................................................................................................... 16 4参考文献. (17)致谢 (18)二次曲线方程的化简与分类摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤.关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；The two curve equation simplification and classificationAbstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification.Key words：Two standard cur ve; equation; invariant method;parametermethod;1前言二次曲线方程的化简与分类既是大学空间解析几何研究的重要内容之一，又是对中学二次曲线内容的教学有极大的作用。
数学选修课件第章双曲线的标准方程
表达式转换
利用参数关系将方程转换为更简 单的形式，便于求解。
简化计算过程
通过合理的表达式转换，简化计 算过程，提高求解效率。
结合图形特点进行求解
图形特点理解
熟悉双曲线的图形特点，如对称性、离心率等。
图形辅助分析
根据题目中给出的条件，画出双曲线的草图，辅 助分析求解。
结合图形求解
通过观察图形特点，结合方程求解，得出未知量 的值。
方法论述
在推导过程中，采用了代数法和解析法相结合的方法。通过 设立方程、代入已知条件、进行代数运算等步骤，逐步推导 出双曲线的标准方程。这种方法具有严谨性、逻辑性和通用 性。
示例分析与计算技巧
示例分析
以焦点在$x$轴上的双曲线为例，若已知 双曲线的实轴长为$4$，虚轴长为$6$， 则可求出$a = 2, b = 3, c = sqrt{13}$。 进而得到双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{4} - frac{y^2}{9} = 1$。
参数意义
$a$表示双曲线实轴长的一半，$b$表示双曲线虚轴长的一半，$c$表示焦点到原 点的距离，满足$c^2 = a^2 + b^2$。
推导过程与方法论述
推导过程
首先根据双曲线的定义，设双曲线上任意一点$P(x, y)$到两 焦点的距离之差的绝对值为常数$2a$，即$|PF_1 - PF_2| = 2a$。然后利用两点间距离公式和余弦定理，经过一系列代数 运算，最终得到双曲线的标准方程。
平移变换及性质保持
平移变换定义
将双曲线沿坐标轴方向进行平移，不改变其形状和大小。
性质保持
平移后的双曲线与原双曲线具有相同的渐近线、离心率和焦点位置。
伸缩变换及形状改变
伸缩变换定义
持续增长的秘密第一曲线消失之前开启第二曲线
持续增长的秘密：查尔斯•汉迪在《第二曲线：跨越“S型曲线”的二次增长》中讲道：在第一曲线达到巅峰之前，找到驱动企业二次腾飞的第二曲线，并在第一曲线达到顶点之前开始增长，企业永续增长的愿景就能实现。
什么是第二曲线第二曲线理论的发现源于一个偶然机会。
英国管理大师查尔斯•汉迪驾车前往阿沃卡的途中，在郊外的山林中迷路了。
他向一个路人问路，路人这样回答他：“你沿着山路向上开，然后再往下开大约1英里，来到一条小溪旁，小溪的另一边是戴维酒吧，你肯定不会错过，因为它是亮红色的。
这些你都记下了吗？”查尔斯•汉迪给出了肯定的回答。
路人继续说道：“在离戴维酒吧还有半英里的位置，你向右转往山上开，那就是去往阿沃卡的路。
”正是这次偶然的经历，给了查尔斯•汉迪很大的灵感。
汉迪结合自己对人生“S型曲线”的研究，以及对无数企业长年累月的观察，提出了企业增长的第二曲线理论。
建立企业的第二曲线，时机尤为重要。
因为“任何一条增长曲线都会滑过抛物线顶点，持续增长的秘密是在第一曲线消失之前开启第二曲线”。
汉迪提醒我们，在企业里，这意味着削减员工数量和管理费文/张丽俊 北京创业酵母管理咨询有限公司创始人兼CEO现实如汉迪先生思考的那样，“在商业领域，信息经济正演变为‘赢家通吃’……如果我们想拥有一个让未来造福于每一个人而非享有特权的极少数人的机会，那么我们就需要挑战正统、有一点梦想、超常思考，并且敢于尝试不可能。
这正是隐藏在第二曲线原则背后的思想起源”。
由此可见，“在寻找第二曲线的路上，成功的管理者必须向死而生，另辟蹊径，一次次越过那些由成功铺设的‘陷阱’，开辟一条与当前完全不同的道路，为组织和企业找到实现跨越式增长的第二曲线”。
既然第二曲线是企业永续经营的救命稻草，那么企业会从第一曲线自然过渡到第二曲线吗？企业该如何打造第二曲线呢？从第一曲线跨越到第二曲线并不是连续性发展的。
要顺利跨越到第二曲线，找到企业新的飞跃点，需要具备两种能力：一是业务增长能力，二是组织创新能力。
双曲线教学设计共3篇 双曲线课程讲解
双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。
双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
2023最新-一元二次方程教案(优秀7篇)
一元二次方程教案（优秀7篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常会需要准备好教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析：1、本章的主要内容：（1）一元二次方程的有关概念；（2）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（3）实际问题与一元二次方程。
2、本章知识结构图：3、教学目标：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
4、本章的重点与难点本章学习的重点：一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
难点：（1）分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法；（2）实际背景问题的等量分析，设元列一元二次方程解应用题。
即建立一元二次方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。
同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
二、教学中应注意的问题：1、重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。
方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。
教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。
当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。
在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。
因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。
一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。
[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。
[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。
能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。
理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。
[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。
(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。
初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。
我在这些方程中安排了两个无理根方程。
应用齐次化解决解析几何中定点定值问题
(
１)求椭圆 C 的方程 ．
２
．
２
２
２
２
(
２)若过点 A 作圆 M :(
x＋１)
＋y ＝r (
r＞０)的
两条切线分别与椭圆相交于点 B ,
当
D (不 同 于 点 A )．
r 变化时,试问直线 BD 是否过某个定 点? 若 是,求 出
该定点;若不是,请说明理由 ．
x
２
解析:(
１)易得椭圆的方程为 ＋y ＝１．
２
[(
x－２)＋２]
方法 ２:双 曲 线 的 方 程 可 化 为
－
２
直线l 不过点 A ,设其方程为
下面再通 过 两 个 例 题 具 体 解 释 利 用 齐 次 化 方 法
解决问题的详细过程和注意要素 ．
(
２)把原点平移到 点 A ,点 A 坐 标 为 (
０,
０),则 新
解得k＝－１．
１＝０．
２
２
２
２
２
[(
y－１)＋１]＝１,变形整理,得
２
(
a＞b＞０)的上顶点 A (
０,
１),离心率为
x
２
２
可化为 ＋ (
x＋１)
＋
y＋１)＝１,圆 M 的方程可化为(
２
２
m (
x－２)＋n(
m,
n∈R)．
y－１)＝１(
x２ y２
例 １ (
２０２１ 年高三模考)已知椭圆 C: ２ ＋ ２ ＝１
a b
坐标系(下面均指新 坐 标 系 下 的 问 题)中,椭圆的方程
时,则 k１ ＝
k２ ＝
k１ ＋k２ ＝
两次升温曲线玻璃化转变温度 tg 的差异.
一、概述玻璃化转变温度tg 是指一种非晶聚合物从玻璃态向橡胶态转变的温度。
对于聚合物材料的性能和应用而言，tg 是一个重要的参数，它影响着材料的力学性能、尺寸稳定性和加工性能。
在实际应用中，通常通过热机械分析 (TMA) 或动态热机械分析 (DMA) 等手段来测定 tg。
二、两次升温曲线1. 定义两次升温曲线是指在热分析实验中通过两次升温测试得到的反映材料玻璃化转变的温度-时间曲线。
通常第一次升温曲线得到的 tg 记为tg1，第二次升温曲线得到的 tg 记为 tg2。
2. 实验原理在进行两次升温曲线实验时，首先对样品进行首次升温，然后冷却至室温后再次升温。
通过比较两次升温过程中的温度-时间曲线，可以得到材料的 tg1 和 tg2，从而判断材料的热历程和玻璃化转变温度的差异。
三、研究意义1. 理论意义通过研究两次升温曲线玻璃化转变温度 tg 的差异，可以深入理解非晶聚合物玻璃化转变的动力学过程和机制，对于进一步揭示非晶聚合物结构与性能之间的关系具有重要的理论意义。
2. 应用价值玻璃化转变温度 tg 的差异与非晶聚合物的微观结构、成分特性密切相关，对于合理选择与设计非晶聚合物材料，优化材料的制备工艺和改善材料的性能具有重要的应用价值。
四、影响因素1. 化学结构非晶聚合物的化学结构决定了其分子链的运动特性和玻璃化转变的方式，从而影响了 tg 的数值和差异程度。
2. 成分特性非晶聚合物的成分特性对其玻璃化转变温度 tg 有重要影响，不同成分的非晶聚合物可能具有不同的 tg1 和 tg2。
3. 加工工艺在材料的加工工艺中，外界作用下会导致非晶聚合物分子链的排列和运动方式发生改变，从而影响了 tg1 和 tg2 的数值和差异。
五、研究方法1. TMA热机械分析 (TMA) 是一种常用的实验手段，通过控制温度和施加载荷来测定材料的热膨胀性能、玻璃化转变温度等参数。
2. DMA动态热机械分析 (DMA) 利用交变应变场来研究材料的动态力学性能和玻璃化转变温度，是研究 tg1 和 tg2 的重要手段。
二次型和二次型的化简
《线性代数》
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3 2 4
A
2
6
2
,
4 2 3
因r(A)=3, 故二次型的秩等于3.
(2)二次型 f ( y1, y2, y3) 系数矩阵为
0 0 0
B
0
1
0
,
0 0 4
因r(B)=2, 故二次型的秩等于2.
《线性代数》
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二次型的化简
二次曲线ax2+bxy+cy2 =1 m(x')2 + n(y')2 = 1
x = xcos ysin y = xsin + ycos
y
y
O
O
x
x
《线性代数》
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化二次型为标准形
由变量y1, y2,…, yn到x1, x2,…, xn的线性变换
x1 p11 y1 p12 y2
x2
p21 y1
p22 y2
xn pn1 y1 pn2 y2
p1n yn
d1 0
yn
0
d2
0 0
0 y1
0
y2
Y T Y ,
dn yn
所以，寻求满秩线性变换X=PY，把二次型 f (X) 化为标准
型，从矩阵的角度讲，就是寻求满秩方阵P，使得
PT AP
《线性代数》
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二、矩阵的合同
定义2 设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使 PT AP B
a2n
x2
ann xn
a11
,
xn
)
二次曲线化简的方法
首先求曲线的中心坐标由方程组：
得
X = 0,y = 2,所以曲线的中心坐标是（0，2）
故可取（0，2）为新原点，作移轴变换
原方程可变为：
再由转轴消 xy，可得
从而可取 α = Π/4，故转轴公式为：
所以经转轴后曲线的方程为：
标准形式为： 显然是一个椭圆，作得其图形为：
例 3【线心二次曲线】 x2＋2xy＋y2＋2x＋2y ＝0.
而 I3=I3’
所以 故可以推知上述内容 ② 无心二次曲线的简化方程是： (正负号任意选取) 分析：如果是无心二次曲线则有： 其简化方程为：
因此有：I1’=a22’=I1
而 I3’=I3,所以
从而推知上述内容 ③ 线心二次曲线的简化方程是：
分析：如果是线心二次曲线则有： 其简化方程为： 因此有 I1’=a22’=I1 而 K1 是线心曲线的不变量，从而我们有 K1’=K1 所以 从而推知上述内容
2y250标准方程y252方法的比较直角坐标变换用不变量化简二次曲线优点有助于准确作出在原坐标系图形强调代数方法可以快速知道方程表示什么类型的曲线计算量相对较小缺点计算量大过程繁琐无法准确作出在原坐标系的图形tips
思维导图
二次曲线化简的方法
二次曲线化简的 方法
平面直角坐标变 换
应用不变量化简 二次曲线的方程
为 x 轴，任意垂直于它的直线为 y 轴，建立坐标系，设曲线的方程为：
由于线心二次曲线的中心直线方程是： 中的任意一个，其中第二个方程表示 x 轴的条件为：a12=a23=0,a22≠0，而第一个方程 在 a12=0 的条件下不可能再表示 x 轴，所以它必须是恒等式，因而有 a11=a13=0 所以线心曲线的方程为
坐标变换
二次曲线方程的化简与分类
成新坐标系 O xy.
设平面上任意点 P 的旧坐标与新坐标分别为
( x , y ) 与 ( x, y) 而在辅助坐标系 O xy 中的坐标
( x, y), 那么有
x x x0
y
y
y0
y//
xxcosysin y
与 yxsinycos
o/
x//
由上两式得一般坐标变
换公式为
o
x
xxcosysinx0
a 1 1 x 2 2 a 1 2 x y a 2 2 y 2 2 a 1 3 x 2 a 2 3 y a 3 3 0
这里
aaa112133 a23
a11 , a12 a12 , a22 a22, a11x0 a12 y0 a13 F1(x0, y0 ), a12x0 a22 y0 a23 F2(x0, y0), （5.6-6） a11x02 2a12x0 y0 a22 y02 2a13x0
取这两条主直径为新坐标轴，由（5.6-5）得坐标 变换公式为
x
x y, 2
y
x
y4,
2
解出 x 与 y
x
y
2 x 2 2 x 2
2 y 2, 2 2 y 2, 2
代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系
下得方程为
1x2 5y2 10, 22
所以曲线标准方程为 x 2 y 2 1 , 22 5
x
1 ( x 2 y ) 5
y
1
(2 x y )
5
代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
5x225x55y10
利用配方使上式化为 (x 5)2 5y 0
5
再作移轴
x x
二次函数数学教案(优秀6篇)
二次函数数学教案（优秀6篇）二次函数超级经典课件教案篇一1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。
初中数学二次函数教案篇二教学准备教学目标1、知识与技能(1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义；(2)熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质；(4)能解决一些综合性的问题。
2、过程与方法通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
教学重难点重点：函数y=Asin(ωx+φ)的图像，函数y=Asin(ωx+φ)的性质。
难点：各种性质的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。
五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业：习题1-7第4，5，6题。
课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
二次曲线方程的化简
二次曲线方程的化简一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到x"2＋y"＝0, 即x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5- 6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线：a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。
圆锥曲线的发展历史
圆锥曲线的发展历史圆锥曲线，也被称为二次曲线，是数学中的一个重要分支，涵盖了一系列以圆锥为背景的曲线形状。
这个领域的历史可以追溯到古代数学，并持续发展至今。
在古代，圆锥曲线的概念首先由古希腊数学家希波克拉底斯（Hipparchus）提出。
他通过研究太阳的投影和行星的运动，发现了椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线的一些性质。
然而，对于这些曲线的深入理解和研究主要是在17世纪和18世纪进行的。
在17世纪，意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）提出了“圆锥截面”的概念，即通过一个平面与圆锥的相交，可以得到一条曲线。
这个概念被广泛地应用于解析几何和微积分的研究中。
同时，开普勒（Kepler）通过对行星运动的研究，发现了行星运动的三大定律，这实际上是进一步揭示了椭圆曲线的性质。
到了18世纪，法国数学家蒙日（Monge）进一步发展了圆锥曲线的理论。
他引入了参数方程来描述这些曲线，这使得在坐标系中更容易地描绘和计算这些曲线的性质。
同时，蒙日还推广了卡瓦列里的“圆锥截面”概念，将其应用于更广泛的几何问题中。
在19世纪和20世纪，圆锥曲线的研究进一步深入。
德国数学家高斯（Gauss）在他的著作《曲面的一般研究》中，详细研究了曲面上的二次曲线，并引入了“二次曲面”的概念。
意大利数学家皮亚诺（Peano）也进一步发展了圆锥曲线的几何理论，他引入了“皮亚诺曲线”的概念，这是一种不能用圆规和直尺画出的曲线。
在现代数学中，圆锥曲线仍然是研究的热点之一。
除了传统的几何学研究外，圆锥曲线还在物理学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，圆锥曲线可以描述粒子的运动轨迹；在天文学中，圆锥曲线可以描述行星的运动轨迹；在工程学中，圆锥曲线可以用于建筑设计、机械制造等领域。
圆锥曲线的发展历史是一部跨越千年的数学史诗。
从古希腊的希波克拉底斯到现代的科学家们，数学家们一直在探索和理解这些神奇的曲线形状。
随着科技的发展，圆锥曲线在各个领域的应用也将越来越广泛。
“点差法”为何需要“检验”——以2023年高考数学全国乙卷一道高考题分析和拓展为例
x0 -y0 <1,
,
于是得到下面问题:
设 A(
x1 ,
B(
x2 ,
y1 )
y2 )
2
问题一般化
2
样可以快速得到答案。
作为双曲 线 弦 的 中 点 需 要 满 足 什 么 条 件 呢?
2
比较 kAB 与 两 条 渐 近 线 的 斜 率 关 系 即 可,这
2 2
。
有共同的渐近线)
件 的 弦 AB 。
综上所述,同 学 们 在 日 常 的 学 习 过 程 中
常常认为:
双曲线和抛物线不 是 “封 闭”图 形,
因此采用“
点差法”
时要验 证 直 线 是 否 与 曲 线
因此求出斜率后需要验证直
M 横坐标无关,
有交点;
而椭圆是“
封闭”
的 图 形,
因此不需要
线与抛物 线 是 否 有 交 点。 实 际 上,当 且 仅 当
2
y1 +y2
。
y0 =
2
2
线方程后,
是否也需要验证直线与抛物线有
交点呢?
抛物线y2 =4
x 上是否存在两点
例2
使得点 M (
作为线段 AB 中点?
A、
B,
1,
3)
,
,
解析:
令 A(
线段 AB
x1 ,
B(
x2 ,
y1 )
y2 )
x1 +x2
,则 x0 =
,
中点 M 的 坐 标 为 (
x0 ,
y0 )
,
,
解析:
二次曲线方程化简与作图的简易方法
维普资讯
第２ ６卷 第 ６ 期 ２０ 年 ｌ 月 ０７ １
曲 靖 师 范 学 院 学 报 Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＵＩＧ Ｎ Ｒ Ａ ＮＶ Ｒ ＩＹ Ｏ Ｒ Ａ ＦＱ Ｊ Ｏ Ｍ Ｌ Ｕ ＩＥ Ｓ Ｎ Ｔ
Ｖ １２ Ｎ ６ ｏ ．６ ｏ． Ｎｎ ． ０ ｒ ｖ２ｃ ７
在 没有 学 习过坐 标 系 的平 移 、 转 、 变 量 等 知 旋 不
识 的时候 ， 只要 通过 对二 元二 次多 项 式是 否可 约
换法； 直径、 主 主方 向法 ； 不变 量 与半 不 变 量 法 ； 因式分解 法 ． 上述 四种 方法 中 ， 的化 简 简单 ， 在 有 但 难于作 图 ； 而有 的化 简相对 繁琐 ， 易于 作 图 ． 但
中图 分 类 号 ： １２ １ Ｏ８ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０９— ８９ ２Ｏ ）６ ０７— ８ １０ ８７ （０ｒ ０ —０８ ０ ７
于作 图 ； 应用 不 变 量 与 半 变 量 化 简 相 当容 易 ， 但
０ 引
言
作 图 比较 困难 ， 本书 给 出了三 种最 基 本 的二 次 曲
收 稿 日期 ：０ ７ ９ ２ ２０ —０ —１
其标准方程和画出图形 ， 该方法在化简过程 中比
15-双曲线及其标准方程
2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程教材分析双曲线是学生学习了椭圆之后，进一步学习用坐标法研究曲线，运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例.从知识上讲，它是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究双曲线几何性质的基础；从方法上讲，它是我们研究椭圆的延续.因此本节课有承前启后的作用，是本章重点内容之一.课时分配本课时是双曲线及其标准方程的第一课时，主要解决的是双曲线的定义和标准方程的形式，为下一步用方程研究双曲线的简单几何性质做好铺垫.教学目标重点: 双曲线的定义及双曲线标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程. 难点：双曲线标准方程的建立和推导. 知识点：会根据条件求双曲线的标准方程.能力点：通过对双曲线概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对双曲线标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过对生活中的双曲线知识及数学实验探究激发学生的学习兴趣和创新意识，培养学生用联系的观点认识问题.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成双曲线的定义；2.引导学生寻求双曲线标准方程的研究途径，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.了解双曲线的定义、几何图形、标准方程.易错易混点：标准方程中a 、b 、c 三者的关系与椭圆中a 、b 、c 三者的关系的区别. 拓展点：链接高考.教具准备 实物投影机和粉笔 课堂模式 基于问题驱动的诱思探究 一、创设情境问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？c b a 、、关系如何？问题3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？ 师：（多媒体演示动点轨迹）.师：同学们观察一下，动点M 所满足的几何条件是什么？生：21MF MF ，长度在变，但常数=-21MF MF . 师：这个常数与21F F 的大小关系如何？为什么？ 生：小于21F F ，三角形中两边之差小于第三边.师：用同样的方法，使常数=-12MF MF ，就得到另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每条叫做双曲线的一支.（板书课题）【设计意图】数学教学应当从问题开始.首先设疑，提出新问题，打破知识结构的平衡，引发学习兴趣.二、探究新知师：双曲线上的点应满足的条件是什么？ 生：常数=-21MF MF （小于21F F ）.师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义.【设计意图】弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一.这个“差”要小于两定点之间的距离，加深对概念的理解. 1.双曲线的定义.（投影）师：定义中的“绝对值”三字去掉，能否表示双曲线？ 生：不能，为双曲线的一支.师：定义中的常数21F F =，轨迹是什么？常数21F F >呢? 生：以21F F 、为端点的两条射线.常数21F F >无轨迹. 2.标准方程的推导.生：①建系设点.以21,F F 所在直线为x 轴， 21F F 的垂直平分线为y 轴，设),(y x M 是其上任一点.②写适合条件点集合.焦距为c 2，那么焦点)0.(),0,(21c F c F -，{}122M MF MF a -=. ③集合坐标化.a MF MF 221=-即a y c x y c x 2)()(2222±=+--++.④化简整理方程.)()(22222222a c a y a x a c -=--两边同除以)(222a c a -得 122222=--a c y a x ※ 02222>-⇒>⇒>a c a c a c ，∴令222b a c =-（0>b ）代入※式得师：这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的是焦点在x 轴上，)0.(),0,(21c F c F -、222b ac += . 【设计意图】求曲线方程时建立坐标系要适当.与化简椭圆方程联系，运用化简椭圆方程的经验. 类比椭圆焦点在y 轴上的标准方程，如何得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程？ 生：只要将方程中的y x ,互换即可.师：双曲线的标准方程有两种形式，下面做一下比较.3.两种标准方程的比较.”生：①方程用“-”号连接；②分母是22,b a ，（0,0>>b a ），但b a ,大小不定； ③222b a c +=；④如果2x 的系数是正的，焦点在x 轴上，如果2y 地系数是正的，焦点在y 轴上.【设计意图】反复与椭圆类比，即加强与已有知识的联系，又找出与旧知识的不同之处.同化与顺应.三、理解新知例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程.解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-by a x (0>a ,0>b ). ∵102,82==c a ∴5,4==c a ∴1645222=-=b .所求双曲线标准方程为116922=-y x .变式1:若128PF PF -=呢？ 变式2:若126PF PF -=呢？ 变式3:若1210PF PF -=呢？ 变式4:若1212PF PF -=呢？【设计意图】设计变式增强对概念的理解与认识.熟悉标准方程中c b a 、、的关系.四、应用新知例2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）． 解析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C .设(),P x y 为巨响发生点，∵A 、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y x =-……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，∴()43401360PB PA m -=⨯=.由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴b =P 点在双曲线方程为222216805340x y -=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出P 点坐标为(P -．即巨响在正西北方向处.【设计意图】让学生体会数学来源于实践，又应用于实践.加强对双曲线标准方程的认识以及建系原则.探究：如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM相交于点M ，且它们的斜率之积为49，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.【设计意图】注意与椭圆一节中斜率之积是49-的区别.争取达到学一例、触一类、通一片. 五、课堂小结双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上,c b a ,,有关系式222b ac +=成立，且0,0,0>>>c b a . 其中a b 与的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,.与椭圆对比列表比较如下：椭圆的标准方程： 双曲线的标准方程：()2222 1 0x y a b a b +=>> 22221(0,0)x y a b a b -=>> ()2222 1 0y x a b a b +=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>>相同点：1.,焦点坐标相同焦距相等；2.,,a b c 焦大小满足勾股定理. 不同点：2222221.,,a a b c c c a b =+=+椭圆中最大在双曲线中最大； 2."",""+-椭圆方程中双曲线中；3.判断焦点位置方法不同六、布置作业1、必做题：61.31,2, 3.P A T B T 习题2组：组：2、选做题：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2231x y -+=内切.解析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．① ∵⊙C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外，∴MC r =-MA r =，因此有MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是(222217y x x -=≤；② ∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是22434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭； ③ ∵M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()221245x y x -=≥. 七、反思提升1.本节课的亮点是能让学生通过类比建构概念，习旧研新无陌生感，使学生保持浓厚的学习兴趣. 3.本节课的不足之处是由于课堂容量较大，学生练习量较小.八、板书设计。