梁的应力计算
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6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横 截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使 是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很 小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不 计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点处 于单向应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形 式来建立梁的正应力强度条件：
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
第36节 梁的应力计算与强度校核(一)
王晓平
梁的应力计算及强度校核
纯弯梁截面上的应力分布规律： 梁横截面上的正应力沿截面高度成线性分布，在中性轴处 正应力等于零，在截面的上、下边缘应力值最大。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
梁横截面上任意点正应力的计算公式为
公式表明：纯弯曲梁横截面上任意点的正应力与截面上的 弯矩和该点到中性轴的距离成正比，与截面对中性轴的惯 性矩成反比。
王晓平
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
能力目标：
1．纯弯曲与横力弯曲的区别，中性轴的确定。 2．应力分布图的绘制，横截面上任意点弯曲正应力的 计算。 3．应用强度条件解决梁的强度计算问题。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一般情况下在梁的横截面上会同时存在由剪力FQ引起的剪 应力τ及由弯矩M引起的正应力σ。
在发生平面弯曲的梁中，将只有弯矩没有剪力的弯曲称为 纯弯曲，将既有剪力又弯矩的弯曲称为横力弯曲。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一、纯弯曲梁横截面上的正应力 纯弯曲梁的变形现象：
当梁体下弯时 (1)原来相互平行的纵向直线均成 为仍相互平行的曲线，且梁轴线 以上部分曲线缩短，梁轴线以下 部分曲线伸长。
(2)所有原来与纵向直线垂直的 横向线仍保持与纵向线垂直的直 线，即横截面不变形。
梁的应力计算及强度校核
纯弯梁截面上的应力分布规律： 梁横截面上的正应力沿截面高度成线性分布，在中性轴处 正应力等于零，在截面的上、下边缘应力值最大。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
梁横截面上任意点正应力的计算公式为
公式表明：纯弯曲梁横截面上任意点的正应力与截面上的 弯矩和该点到中性轴的距离成正比，与截面对中性轴的惯 性矩成反比。
王晓平
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
能力目标：
1．纯弯曲与横力弯曲的区别，中性轴的确定。 2．应力分布图的绘制，横截面上任意点弯曲正应力的 计算。 3．应用强度条件解决梁的强度计算问题。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一般情况下在梁的横截面上会同时存在由剪力FQ引起的剪 应力τ及由弯矩M引起的正应力σ。
在发生平面弯曲的梁中，将只有弯矩没有剪力的弯曲称为 纯弯曲，将既有剪力又弯矩的弯曲称为横力弯曲。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一、纯弯曲梁横截面上的正应力 纯弯曲梁的变形现象：
当梁体下弯时 (1)原来相互平行的纵向直线均成 为仍相互平行的曲线，且梁轴线 以上部分曲线缩短，梁轴线以下 部分曲线伸长。
(2)所有原来与纵向直线垂直的 横向线仍保持与纵向线垂直的直 线，即横截面不变形。
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
梁的应力计算课件
高性能计算机的应用
云计算 随着云计算技术的发展，未来将更多地使用云计算资源进 行梁的应力计算。云计算资源具有高计算能力和可扩展性， 可以处理大规模的计算任务。
并行计算 并行计算可以同时处理多个计算任务，提高计算效率。未 来将发展更高效的并行算法，以更快地计算梁的应力响应。
高性能GPU加速 高性能GPU可以加速数值计算过程。未来将更多地使用 GPU加速技术，提高梁的应力计算的效率。
边界元法
边界积分方程
根据弹性力学的基本方 程，建立梁的边界积分 方程。
边界元离散
将梁的边界离散化为多 个小的单元。
单元应力计算
对每个单元进行应力计 算，得到每个单元的应 力分布。
整体应力合成
将所有单元的应力进行 合成，得到整个梁的应 力分布。
梁的应力计算实例
04
简支梁的应力计算
计算跨中截面
在跨中截面处，弯矩为零，因此可以计算出该截面的应力。需要使用挠曲线近似 法或弹性力学公式进行计算。
梁的应力计算课件
目录
• 梁的应力概述 • 梁的应力计算原理 • 梁的应力计算方法 • 梁的应力计算实例 • 梁的应力计算中的问题和挑战 • 梁的应力计算的未来发展
梁的应力概述
01
梁的应力定义
正应力
梁横截面上的内力，垂直于横截 面且指向材料内部。
剪应力
梁横截面上的内力，与横截面相 切且垂直于指向材料内部的直线。
简支边界
当梁的两端简支时，两端的位移和转角均不受限 制，但梁的跨中位置会产生较大的弯曲应力。
材料非线性的影响
弹性非线性
材料在弹性阶段内的应力-应变关系是非线性的，需要考虑这种非线性对梁的应力分布的影响。
塑性非线性
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
《梁的应力强度计算》课件
《梁的应力强度计算》课件一、梁的概述1.梁的定义梁是一种受弯和剪力作用的横向受力构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
2.梁的材料梁的材料主要有钢梁和钢筋混凝土梁两种。
3.梁的分类根据截面形状，梁可以分为工字梁、T型梁、I型梁等；根据受力状态，梁可以分为简支梁、悬臂梁、连续梁等。
二、梁的应力计算1.基本概念（1）应力：单位面积上的内力，用σ表示，单位为Pa（帕斯卡）。
（2）应变：物体在受力作用下产生的形变与原长的比值，用ε表示。
（3）泊松比：材料在受力作用下横向应变与纵向应变的比值，用ν表示。
2.梁的应力分布（1）简支梁：在梁的截面上，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
（2）悬臂梁：在梁的悬臂端截面，剪应力为零，正应力按二次曲线分布。
（3）连续梁：在梁的连续跨中截面，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
3.梁的应力计算公式（1）简支梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
（2）悬臂梁：剪应力τ=0正应力σ=Ml/(2I)其中，l为悬臂梁的长度。
（3）连续梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
4.梁的强度校核（1）剪切强度校核：τ≤τ_max（2）弯曲强度校核：σ≤σ_max其中，τ_max为材料的剪切强度，σ_max为材料的弯曲强度。
三、梁的变形计算1.基本概念（1）挠度：梁在受力作用下产生的垂直于加载力的线位移。
（2）曲率：梁在受力作用下的弯曲程度，用κ表示。
2.梁的变形计算公式（1）简支梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
（2）悬臂梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为悬臂梁的长度，E为材料的弹性模量，I 为梁的截面惯性矩。
（3）连续梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的应力计算
Mmax WZ
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
q=2kN/m
A
xm
FAY
C
l = 4m
例题6-2
140
[σ]=10MPa，试校核该梁
B
的强度。
x
210
FBY
解：1. 求支反力 FAy 4kN FBy 4kN
M
ql2 / 8 4kN m
2. 求最大弯矩
Mmax
ql2 8
4kN m
物理关系 E E y
静力学关系
1 M
EI
Z
1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲
正应力公式 My (6-6)
率
IZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
正应力分布
My
IZ M • 正应力大小与其到
中性轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等 的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
M
max
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0 h03 12
bh3 12
) /(h0
/
2)
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
§6-1 梁的正应力
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M 与 Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
t,max t
c,max c
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
根据弯曲正应力强度条件
梁的应力公式
梁的应力公式梁是工程结构中常见的构件，比如桥梁的大梁、房屋的横梁等等。
要了解梁的性能和安全性，就得搞清楚梁的应力公式。
先来说说啥是应力。
应力就好比是梁内部的“力量分布”，它反映了梁在受力时内部各点的受力强度。
想象一下，一根梁被重物压着，它内部的每一部分都在努力抵抗这个压力，而应力就是描述这种抵抗强度的指标。
梁的应力公式有好几种，咱们先从最简单的说起。
对于矩形截面的梁，在受到垂直于轴线的弯矩作用时，正应力的公式是：σ = M*y / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是截面惯性矩。
举个例子吧，有一次我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个厂房的框架。
其中有一根大梁，看上去很粗壮，但我心里就在想，这根梁到底能不能承受住上面的重量呢？这时候我就想到了梁的应力公式。
我走近仔细观察了一下这根梁的截面形状，大致估计了一下它的尺寸。
然后假设上面的重物产生了一个特定大小的弯矩，根据我所知道的公式和估计的参数，试着算了算梁内部的应力分布。
这一算可不得了，我发现如果重物再重一点，或者放置的位置再偏一点，某些部位的应力可能就会超过材料的承受极限，那可就危险啦！再来说说圆形截面的梁。
它的应力公式和矩形截面的有所不同，但原理是类似的。
对于圆形截面，应力的计算也要考虑到弯矩、到圆心的距离以及截面的惯性矩等因素。
在实际工程中，梁的受力情况往往很复杂，可能同时受到弯矩、剪力、扭矩等多种力的作用。
这时候，就得综合运用各种应力公式来进行分析。
比如说，在设计一座钢结构的桥梁时，工程师们不仅要考虑车辆行驶时产生的弯矩，还要考虑风力、地震力等因素产生的影响。
他们会运用先进的计算软件，输入各种参数，然后根据梁的应力公式来计算出每一个部位的应力情况。
如果发现某些部位的应力过大，就需要调整设计，比如增加梁的截面尺寸、改变材料或者优化结构形式。
总之，梁的应力公式是结构工程中的重要工具，它帮助我们设计出安全可靠的梁结构，确保建筑物和各种设施的稳定和安全。
混凝土梁的预应力及计算方法
混凝土梁的预应力及计算方法一、前言混凝土结构中，梁是起承重作用的重要构件之一。
在设计混凝土梁时，为了提高其承载能力和抗震性能，通常会采用预应力技术，使其在荷载作用下能够具有足够的抗弯和抗剪能力。
本文将介绍混凝土梁的预应力及计算方法，以帮助读者深入了解和学习相关知识。
二、混凝土梁的预应力技术1.预应力的概念预应力是指在混凝土梁内部施加一定的拉应力，使其在负荷作用下能够更好地发挥其承载能力和抗震性能。
2.预应力的类型预应力分为内预应力和外预应力两种类型。
内预应力是通过在混凝土梁内部张拉预应力钢筋或钢束，使其产生预应力的作用。
内预应力的优点是可以提高混凝土梁的抗裂性能和承载能力，但需要在混凝土梁内部进行张拉工作，施工难度较大。
外预应力是通过在混凝土梁外部张拉预应力钢束或钢绞线，将预应力传递到混凝土梁内部，使其产生预应力的作用。
外预应力的优点是施工方便，但其抗裂性能和承载能力略低于内预应力。
3.预应力的作用原理预应力的作用原理是通过预应力钢筋或钢束产生的拉应力，使混凝土梁内部的压应力增大，从而提高混凝土梁的承载能力和抗震性能。
预应力钢筋或钢束的张拉应力与混凝土梁的荷载作用方向相反，可以抵消部分荷载的压应力，使混凝土梁的抗弯和抗剪能力大大提高。
4.预应力的设计原则预应力的设计原则是根据混凝土梁的受力特点和工程要求，确定预应力的大小和位置。
预应力大小的设计应满足混凝土梁的受力平衡条件和变形限制条件，预应力位置的设计应满足混凝土梁的受力合理分布和变形控制要求。
三、混凝土梁预应力计算方法1.混凝土梁的受力特点混凝土梁的受力特点是在荷载作用下，其上部产生拉应力，下部产生压应力。
混凝土梁的抗弯能力主要由混凝土的抗压强度和预应力钢筋或钢束的拉应力共同发挥。
2.混凝土梁预应力计算步骤混凝土梁预应力计算的步骤包括混凝土梁的截面分析、混凝土梁的受力平衡和混凝土梁的变形分析。
（1）混凝土梁的截面分析混凝土梁的截面分析是指根据混凝土梁的几何形状和材料参数，计算混凝土梁的截面面积、惯性矩和抗压强度等参数。
梁应力强度计算
纵向对称面仍为平面在同一截面上变形公式共同作用横截面翘曲纵向截面间有挤压
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
18-梁的切应力
ΣFx = 0
− F − dFT + F
* N1 * N2
z
=0
τ
y
A1 B1
τ′ =τ
dFT = τ ′ bdx
F
* N1
M * = * σ d A = Sz A Iz
∫
F
* N2
( M + dM ) * = S
Iz
z
A B y m n b dx z
y
dA
* N1
dM * S z − τ ′ b dx = 0 Iz
FS S τ= I zb
* z
A B y m n b dx z
y
dA
* N1
矩形截面梁横截面上 切应力的计算公式
σ
F
A1 B1
FS* 1
应力 ↓ 内力
* FN 2
dFT
A B y m n
第十章 梁的应力 矩形截面梁横截面上切应力计算公式
* FS S z τ= I zb
FS — 横截面上的剪力 Iz — 整个横截面对于中性轴的惯性矩 b — 矩形截面的宽度
FS max I zb ≥ * [τ ] S z ,max
第十章 梁的应力
例：跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中 间区段焊上两块 100×10 × 3000mm的钢板制成。材料 均为Q235钢，其[σ ]=170MPa，[τ ]=100MPa。试校核 该梁的强度。
50kN 50kN 50kN 320 10 100 9.5
112.5 150
= 28.8MPa < [τ ]
∴满足强度条件
第十章 梁的应力
【注意】 切应力强度计算中的截面设计公式
FS max I zb ≥ * [τ ] S z ,max
梁的应力及强度计算
Q图
-
2KN
y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉，下部受压
最大拉应力在上边缘
1KNm
s l max
M maxy1 IZ
1106 15.2 25.6 104
59.4MPa 拉
M图
最大压应力在下边缘
s ymax
M maxy2 IZ
1106 32.8 25.6 104
128.1MPa压
23
9 104
:3
144 104
:
4
3
642
2
104
3 72 : 3 144 : 3 64
结论：矩形截面最省料；圆形截面用料最多。
Z
Z
习题8-44
2、横截面上：在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相 等。
3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。
横截面上正应力的画法：
M 0
M 0
M
M
smax
smax
第九章 梁的应力及强度计算
公式适用范围： ①弹性范围—正应力小于比例极限； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公 式的误差不大。
20kNm
20kNm
-
-
50 2003 50 200 94.6 1502
12 102106 mm4
+
20kNm
10kN/m
CA 2m
40kN
D 2m 2m
10kN/m
BE 2m
Q图
20kN
20kN
+
+
-
20kN
第七章 梁的应力和强度计算
28
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
梁的弯曲计算—弯曲正应力的计算(工程力学课件)
x(轴线)
横截面上σ的分布规律
My
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
bh3 Iz 12
横截面对中性轴的惯性矩
bh3 Iz 12
Iz
D4 64
(14 )
My
Iz
式中各量均以绝对值代入！ σ的正负自己判断
【例 1】求梁固定端A的右侧截面上的指定点的正应力
40kN.m
c 0
A
B
a
M ya Iz
40 106 N mm 300 2
33.75 107 mm4
mm 17.78 MPa
（拉应力）
b
M yb Iz
40 106 N mm 75 mm 33.75107 mm4
8.88
MPa
（拉应力）
d
M yd Iz
40 106 N mm 300
2 33.75 107 mm4
mm 17.78 MPa
a
M ya Iz
76106 90 48.6 106
140.74MPa
（拉应力）
b
M yb Iz
76106 50 48.6 106
78.19MPa
（拉应力）
d
M yd Iz
76106 90 48.6 106
140.74MPa （压应力）
c 0
（压应力）
习题1：求悬臂梁固定端A的右侧截面上各点的正应力
76kN.m
20kN/m
18kN
58kN
（1）求支座反力 （2）画弯矩图
76
28
A
M图(kN m) B
习题1：求悬臂梁固定A
B
（3）求正应力
Iz
100 1803
横截面上σ的分布规律
My
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
bh3 Iz 12
横截面对中性轴的惯性矩
bh3 Iz 12
Iz
D4 64
(14 )
My
Iz
式中各量均以绝对值代入！ σ的正负自己判断
【例 1】求梁固定端A的右侧截面上的指定点的正应力
40kN.m
c 0
A
B
a
M ya Iz
40 106 N mm 300 2
33.75 107 mm4
mm 17.78 MPa
（拉应力）
b
M yb Iz
40 106 N mm 75 mm 33.75107 mm4
8.88
MPa
（拉应力）
d
M yd Iz
40 106 N mm 300
2 33.75 107 mm4
mm 17.78 MPa
a
M ya Iz
76106 90 48.6 106
140.74MPa
（拉应力）
b
M yb Iz
76106 50 48.6 106
78.19MPa
（拉应力）
d
M yd Iz
76106 90 48.6 106
140.74MPa （压应力）
c 0
（压应力）
习题1：求悬臂梁固定端A的右侧截面上各点的正应力
76kN.m
20kN/m
18kN
58kN
（1）求支座反力 （2）画弯矩图
76
28
A
M图(kN m) B
习题1：求悬臂梁固定A
B
（3）求正应力
Iz
100 1803
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§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
一、几何方面
mn
a
a
b
b
m dx n
d
m´ n´
a´
a´
b´
b´
m´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形 后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角 度。
M max WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 与 M
Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
t,m ax t
c,m ax c
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
根据弯曲正应力强度条件
1.强度校核
max
3.88MPa 10MPa
满足强度要求。
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
例题6-4
简支梁上作用两个集中力，已 知l=6m，F1=15kN，F2=21kN。 如果梁采用热轧普通工字钢， 钢的许用应力[σ]=170MPa， 试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值为38kN﹒m。根据强 度条件，梁所需的弯曲截面系数为：
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－－中性层
中性层与横截面的交线－－中性轴
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
建立坐标
m
n
a
a
o
o
b
by
m dx n
离中性层越远，线应变越大，曲率1/ρ（弯曲程度）越大，同一位置线
应变越大。 二、物理方面
注意：选择的工字钢型号WZ值一般要求≥计算值，才能满足强度要求。
如选取的工字钢WZ值略小于计算值，则应再校核下强度，当σmax不超过[σ]的 5%时，还是满足工程需要的。
解：先算出C截面上的弯矩
MC F a 1.5 10 3 N 2m 310 3 N m
截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：
IZ
bh3 12
0.12 m 0.183 m3 12
0.583 10 4 m4
例6-1
§6-1 梁的正应力
长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知，h=0.18m， b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。
My 公式适用范围
IZ
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
例6-1
§6-1 梁的正应力
长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知，h=0.18m， b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。
第六章 梁的应力
§6-1 梁的正应力（纯弯曲） §6-2 梁的正应力强度条件及其应用 §6-3 梁的合理截面形状及变截面梁（工程上提高弯 曲强度的一些措施） §6-4 矩形截面梁的切应力 §6-6 梁的切应力强度条件
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
回顾与比较
内力
M FS
应力
FN
A
T
胡克定理
E
E y
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
三、静力学方面 FN、My、Mz
EIZ ——弯曲刚度
1 M
EI Z
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
变形几何关系
y
物理关系
E E y
静力学关系
1M
EI
Z
1
为曲率半径，
为梁弯曲变形后的曲率
根据公式：
K
MC IZ
y
3103 N m 0.583104 m4
0.06m
3.09MPa
代入公式时，不考虑正负号。
C截面弯矩为负，K点位于中性轴上面，所以K点应力为拉应力。
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
弯曲正应力强度条件
σmax
M
y max max Iz
解： 1. 求支反力
FAy 4kN FBy 4kN
2. 求最大弯矩
ql2 M max 8 4kN m
WZ
bh 2 6
0.14m 0.212 m2 6
0.103 10 2 m3
x
最大正应力为：
max
Mmax WZ
4 103 N m 0.103102 m3
正应力公式
My
IZ
(6-6)
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中性轴 距离成正比；
• 与中性轴距离相等的点， 正 应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
M
max
Mym ax IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
I Z 64
Wz
d3
32
矩形截面
bh3 I Z 12
Wz
bh2 6
空心圆截面
空心矩形截面
IZ
D 4
64
(1 4 )
IZ
b0 h0 3 12
bh3 12
WZ
M m ax
38 10 3 N m 170 10 6 Pa
0.223 10 3 m3
223 cm3
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
例题6-4
根据算得的WZ值，在附录型钢 表上查出与该值相近的型号， 就是我们所需的型号。
附录A，附表4，P232页。 查出20a钢相近WZ值237cm3，故选择20a号工字钢。
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(
h0
/ 2)
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长 梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
§6-1 梁的正应力
横力弯曲正应力公式
Mmax WZ
2.选择截面
WZ
M m ax
3.计算梁所能承载的最大荷载
M max W Z
A
FAY
M
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
q=2kN/m
C
xm
l = 4m
例题6-2
140
B
[σ]=10MPa，试校核该梁的强度。
x
210
FBY
ql2 / 8 4kN m
? ?
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
一、几何方面
mn
a
a
b
b
m dx n
d
m´ n´
a´
a´
b´
b´
m´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形 后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角 度。
M max WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 与 M
Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
t,m ax t
c,m ax c
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
根据弯曲正应力强度条件
1.强度校核
max
3.88MPa 10MPa
满足强度要求。
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
例题6-4
简支梁上作用两个集中力，已 知l=6m，F1=15kN，F2=21kN。 如果梁采用热轧普通工字钢， 钢的许用应力[σ]=170MPa， 试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值为38kN﹒m。根据强 度条件，梁所需的弯曲截面系数为：
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－－中性层
中性层与横截面的交线－－中性轴
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
建立坐标
m
n
a
a
o
o
b
by
m dx n
离中性层越远，线应变越大，曲率1/ρ（弯曲程度）越大，同一位置线
应变越大。 二、物理方面
注意：选择的工字钢型号WZ值一般要求≥计算值，才能满足强度要求。
如选取的工字钢WZ值略小于计算值，则应再校核下强度，当σmax不超过[σ]的 5%时，还是满足工程需要的。
解：先算出C截面上的弯矩
MC F a 1.5 10 3 N 2m 310 3 N m
截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：
IZ
bh3 12
0.12 m 0.183 m3 12
0.583 10 4 m4
例6-1
§6-1 梁的正应力
长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知，h=0.18m， b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。
My 公式适用范围
IZ
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
例6-1
§6-1 梁的正应力
长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知，h=0.18m， b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。
第六章 梁的应力
§6-1 梁的正应力（纯弯曲） §6-2 梁的正应力强度条件及其应用 §6-3 梁的合理截面形状及变截面梁（工程上提高弯 曲强度的一些措施） §6-4 矩形截面梁的切应力 §6-6 梁的切应力强度条件
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
回顾与比较
内力
M FS
应力
FN
A
T
胡克定理
E
E y
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
三、静力学方面 FN、My、Mz
EIZ ——弯曲刚度
1 M
EI Z
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
变形几何关系
y
物理关系
E E y
静力学关系
1M
EI
Z
1
为曲率半径，
为梁弯曲变形后的曲率
根据公式：
K
MC IZ
y
3103 N m 0.583104 m4
0.06m
3.09MPa
代入公式时，不考虑正负号。
C截面弯矩为负，K点位于中性轴上面，所以K点应力为拉应力。
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
弯曲正应力强度条件
σmax
M
y max max Iz
解： 1. 求支反力
FAy 4kN FBy 4kN
2. 求最大弯矩
ql2 M max 8 4kN m
WZ
bh 2 6
0.14m 0.212 m2 6
0.103 10 2 m3
x
最大正应力为：
max
Mmax WZ
4 103 N m 0.103102 m3
正应力公式
My
IZ
(6-6)
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中性轴 距离成正比；
• 与中性轴距离相等的点， 正 应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
M
max
Mym ax IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
I Z 64
Wz
d3
32
矩形截面
bh3 I Z 12
Wz
bh2 6
空心圆截面
空心矩形截面
IZ
D 4
64
(1 4 )
IZ
b0 h0 3 12
bh3 12
WZ
M m ax
38 10 3 N m 170 10 6 Pa
0.223 10 3 m3
223 cm3
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
例题6-4
根据算得的WZ值，在附录型钢 表上查出与该值相近的型号， 就是我们所需的型号。
附录A，附表4，P232页。 查出20a钢相近WZ值237cm3，故选择20a号工字钢。
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(
h0
/ 2)
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长 梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
§6-1 梁的正应力
横力弯曲正应力公式
Mmax WZ
2.选择截面
WZ
M m ax
3.计算梁所能承载的最大荷载
M max W Z
A
FAY
M
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
q=2kN/m
C
xm
l = 4m
例题6-2
140
B
[σ]=10MPa，试校核该梁的强度。
x
210
FBY
ql2 / 8 4kN m