湖北省长阳土家族自治县第一高级中学高中数学必修二《函数解析式的六种求法》学案

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===321

2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知2

21)1(x x x

x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x (换元必换范围!) 2)(2-=∴x x f )2(≥x

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x (换元必换范围!) x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32

22y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2

把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2

---=x x x g 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f

解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成

x 1，得：x x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x

x x f 323)(--= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴

又11)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：1

1)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得 1

1)(2-=x x f ， x

x x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f

再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f