直线与圆综合复习

直线与圆

【考试大纲要求】

1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．

2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.

6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．

【基础知识归纳】

1．直线方程

（1）直线的倾斜角直线倾斜角的取值范围是：0180α︒︒≤<.

（2）直线的斜率)90(tan ︒≠=ααk .

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.

(3)直线的方向向量

设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量 向量121x x -21F F =（1，1

212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率.特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a r ＝(0,1) .

说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．

每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系．

（4）直线方程的五种形式

点斜式：)(00x x k y y -=-，(斜率存在)斜截式：b kx y +=(斜率存在) 两点式：1

21121x x x x y y y y --=--，(不垂直坐标轴)截距式：1=+b y a x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式：0=++C By Ax .

引申：过直线1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程为：

111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ∈R ）(除l 2外)．

2．两条直线的位置关系

（1）直线与直线的位置关系

存在斜率的两直线111:l y k x b =+；222:l y k x b =+.有：

①12l l P ⇔12k k =且12b b ≠；②12l l ⊥⇔121k k ⋅=-；

③1l 与2l 相交⇔12k k ≠；0④1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =.

一般式的直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=.

有①12l l P ⇔12210A B A B -=；且12210B C C B -≠;②12l l ⊥⇔12120A A B B +=;

③1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠;④1l 与2l 重合⇔12210A B A B -=；且12210B C C B -=

（2）点与直线的位置关系

若点00(,)P x y 在直线0=++C By Ax 上，则有000Ax By C ++=；

若点00(,)P x y 不在直0=++C By Ax 上，则有000Ax By C ++≠，此时点00(,)P x y 到直线0=++C By Ax 的距离为2200B A C

By Ax d +++=．

平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=之间的距离为2221B A C C d +-=

．

（3）两条直线的交点 直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的公共点的坐标是方程111222

00A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ 的解 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解.

重合⇔方程组有无数解.

3．曲线与方程

4. 圆的方程

(1)圆的定义 (2)圆的方程

标准式：222

()()x a y b r -+-=，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心． 一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.其中圆心为,2

2D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，

参数方程:cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，cos (sin x a r y b r ααα

=+⎧⎨=+⎩是参数）. 消去θ可得普通方程

5. 点与圆的位置关系

判断点(,)P x y 与圆2()x a -+22()y b r -=的位置关系代入方程看符号.

6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.

有两种判断方法：（1）代数法：（判别式法）0,0,0∆>∆=∆<时分别相离、相交、

相切. （2）几何法：圆心到直线的距离 ,,d r d r d r >=<时相离、相交、相切.

7．弦长求法 （1）几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2

222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

． （2）解析法：用韦达定理，弦长公式.

8．圆与圆的位置关系

题型1 ：直线的斜率

1、过原点引直线l ，使l 与连接)1,1(A 和)1,1(-B 两点间的线段相交，则直线的倾斜角的取值范围