2-2-2 原子轨道和电子云的图形

4. 等值线、轨道界面
电子云的等值线图形
例1. 讨论氦离子He+2s态波函数的节面位置和 形状.
1
2s
1 4
Z3
2a03
2 2
Zr a0
e
Zr a0
2s
A 2
Zr a0
e
Zr a0
要使2s=0
应有:
2 2rБайду номын сангаас 0 a0
氢原子3pz电子云界面图
原子轨道界面与电子云界面是同一界面, 原子轨道界 面值的绝对值等于电子云界面值的平方根, 原子轨道界面 图的不同部分可能有正负之分, 由波函数决定.
轨道节面分为两种: 角度节面(平面或锥面)有l个;
径向节面(球面)有n-l -1个. 共有n-1个节面.
通常所说的原子轨道图形，应当是轨道界面图.
规律：
① 在r=0处（核处） s型函数在核处有最大值 p型函数在核处为0
② 节面 (n-l-1)个 ns 有n-1个节面 np 有n-2个节面 Rn, l，有n-l-1个节面
③ 最大值分布 ns n，最大值离核越近 np n，最大值离核越近
R(r)与R2(r)的最大值离核越近 意味着电子主要出现在核附近
这说明r=a0处在单位球壳厚度内找到电子的几率 比任何其它地方单位球壳内电子出现的几率要大
② 极大值个数：
0.6
0.3
1s
0
径向分布函数有n-l个极大值，00..2146
有n-l-1个节面
0.08 0
2s
0.24
③ 主峰-最大值出现的位置
0.16 0.08
2p
ns n，主峰离核越远
0 0.16
ns n，主峰离核越远
2.2.2 原子轨道和电子云的图形
• 电子云
电子云是点在原子核外空间概率密度 的形象描述，电子在原子核外空间的某 区域内出现，好像带负电荷的云笼罩在 原子核的周围，人们形象地称它为电子 云。
电子是一种微观粒子，在原子如此小的空间（直径约10-10m）内 作高速运动，核外电子的运动与宏观物体运动不同，没有确定的方 向和轨迹，只能用电子云描述它在原子核外空间某处出现机会的大 小。电子云图像中的每一个小黑点表示电子出现在核外空间的一次 概率（不表示一个电子！）。概率密度越大电子云图像中的小黑点 越密。电子云有不同的形状，分别用s,p,d,f轨道表示，s电子成球形， 在半径相同的球面上，电子出现的机会相同，p电子云呈纺锤形（或 哑铃形），d电子云呈花瓣形，f电子云更为复杂。
电子云（几率密度）
nlm
2
nlm (r, ,) 2
* nlm
(r,
,
)
nlm
(r,
,
)
* 作图对象和作图方法
作图对象主要包括： (1) 复函数还是实函数
(2) 波函数 (即轨道)还是电子云(2) (3) 完全图形还是部分图形( or R or Y or ……)
作图方法主要包括： 函数-变量图、界面图、等值面（线）图、 网格图、黑点图
0.08 0
3s
0.12
④ n相同，l不同时
0.08 0.04
3p
l，主峰离核越近；
0 0.12 0.08
第一个极大值离核越远
0.04
3d
0 0 5 10 15 20 24
r/a0
3. 角度部分的对画图
(1) Y(θ,φ)~θ,φ图，即波函数角度分布图. (2) |Y (θ,φ)| 2~θ,φ图，即电子云角度分布图.
注意！！！ -函数图像 -对波函数的数学描述 -并非运动轨迹和运动范围的描述
1. 原子轨道和电子云的等值面图
把函数值相同的空间各点连成曲面, 就是等值面图(其剖 面是等值线图).
电子云的等值面亦称等密度面. 电子云界面图是一种等密度面。 通常的选择标准是: 这 种等密度面形成的封闭空间(可能有几个互不连通的空间)能 将电子总概率的90%或95%包围在内(而不是这个等密度面 上的概率密度值为0.9或0.95).
2 n
,l
,m
(r
,
,
)d
电子在微体积元d中出现的几率
电子在半径为r处，厚度
为dr的球壳内电子出现
2
2 n
,l
,
m
(r,
,
)d
0 0
的几率
2 R 2 r 2 sindrdd 0 0
r 2R2dr 2 2 d 2 sind
0
0
r2R2dr
D(r)dr
D(r) r2Rn,l 2 (r)
化学中很少使用复函数，下面给出氢原子实函数的轨 道界面图.
2. 径向部分的对画图
径向部分的对画图有三种： (1) R(r)-r图，即径向函数图 (2) R2(r)-r图，即径向密度函数图 (3) D( r ) - r图，即径向分布函数图
(1) R(r)-r图与R2(r)-r图 R(r)-径向函数 R2(r)-径向密度函数
教材P51图
特别注意！！！
分解得到的任何图形都只是从某一侧面描述 轨道或电子云的特征，而决不是轨道或电子云的 完整图形！
最常见的一种错误是把波函数角度分布图
Y(θ,φ)说成是原子轨道，或以此制成模型作为
教具。
角度分布图
Yl,m的节面数为l个 Rn,l的节面数为n-l-1个
n,l,m的节面数为n-1个
径向分布函数
物理意义： 电子在r处单位球壳厚度内电子出现的几率， 它反映了电子云随r的分布
b
a D(r)dr
物理意义： 电子在处于n, l状态时，电子在距离核为 a, b间的球壳内出现的几率
规律： ① 1s态
D(r)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0123456 r/a0
对1s轨道，几率密度随r下降，但微球壳体积随 r增大而增大。两个相反趋势的综合作用结果使 得在r=a0处D(r)出现了最大值
几率和几率密度！！！
(2) 径向分布函数D(r)
前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情 况，要真正了解电子的分布情况，要关心电 子分布的几率---
电子在半径为r处，厚度为dr的球壳内 电子出现的几率
2n,l,m (r, ,) 电子在(r, , )处出现的几率密度
d r2 sindrdd 三维空间中的微体积元
1,0,0 Aecr 1s
2 1s
Be c ' r
2 1s
电子云轮廓图（界面图）的制作过程
2s
2,0,0 A(1 cr)ecr
2 pz
2,1,0 Arecr cos
r cos Aecr
z Aecr
• P53 • 原子轨道的电子云示意图
原子轨道（波函数）
nlm nlm (r, , ) nlm (x, y, z)