28.2 解直角三角形及其应用 第二课时

巩固练习
解：由题意，得MN=EF=3.2+2=5.2，NF=6.
在Rt△HNM与Rt△EFD中，MN∶HN=1∶2.5，
EF∶FD=1∶2，∴HN=13，DF=10.4．
∴HD=HN+NF+FD=29.4．
因此加高后的坝底HD的长为29.4米．
巩固练习
2．如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在
新课讲解
（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的
最远点？
答：是视线与地球相切时的切点．
新课讲解
（2）你能根据题意画出示意图吗？ 答：如图，FQ切⊙O于点Q，FO交⊙O于点P．
（3）如上图，最远点Q与P点的距离是线段PQ的长吗？ 为什么？
新课讲解
答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是 的长． （4）上述问题实质是已知什么？要求什么？ 求⊙O中
i=h:l B α l
A
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h
C
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h 于是 i =tanα．显然，坡度越大，α越大． l
注意：（1）坡度i不是坡角的度数，它是坡角α的正 切值，即i=tan α； （2）坡度i也叫坡比，即 ，一般写成1︰m的形式．
新课讲解
1 1 2 tan ． 解：（1）由已知，得 tan ， 3 1.5 3
间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．
这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
新课讲解
分析：方向角通常是以南北方向线为主，一般习 惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”；观测 点不同，所得的方向角也不同． 解：如图，在Rt△APC中， PC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25° ≈72.505．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表
面时的最远点距离P点约2 051 km．
新课讲解
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰 角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的 水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
新课讲解
如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成 的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水 平线下方的角叫做俯角．
CD x 设CD的长为x，则tan∠CBD= ， BD BD 3 x． ∴ BD= 3
巩固练习
CD 3 ∴tan∠CAB=tan 30°= AD 3
x 3 6 x 3
，∴x= 3 3 ．
而x≈5.2＜6，∴继续向东行驶，有触礁的危险．
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解 直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三 角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
新课讲解
（5）联系例1，例2在图形上有何变化？ 答：例1中只有一个直角三角形，而例2中有两个直
角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的
两侧．
新课讲解
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120． BD CD ∵ tan ， ， tan
3 ∴BD=AD·tanα=120×tan30° 120 40 3 ，
第28章：锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用（2） 人教版·九年级下册
新课讲解
观看视频：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“
天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．
这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有
关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是
什么呢？ 答：（1）勾股定理；（2）直角三角形的两锐角互余；（ 3）在直角三角形中，应用锐角三角函数的知识．
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在Rt△BPC中，∠B=34°，
PC PC 72.505 ≈130 （n mile）． ∵ sin B ，∴ PB PB sin B sin 34
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130 n mile．
新课讲解
例4 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度 i=1︰1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比， 斜面坡度i=1︰3是指DE与CE的比．根据图中数据， 求：（1）坡角α和β的度数； （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．
PQ
PQ
答：已知Rt△FOQ中的FO和OQ，求∠FOQ，并进而
的长．
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解：设∠POQ=α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 ≈0.949 1， ∵ cos OF 6400 343 ∴ ≈18.36 ． 18.36π 18.36 3.142 6 400≈ 6 400≈2 051 ． ∴ PQ 的长为 180 180
AD AD
3 CD=AD·tanβ=120×tan60° 120 3 120 3 ．
∴ BC BD CD 40 3 120 3 160 3≈277 ． 因此，这栋楼高约为277 m．
(m)
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例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，
距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时
北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北
偏东30°方向．已知该岛周围6海里内有暗礁，若该
船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参
考数据： 3 ≈1.732）．
巩固练习
解：该船继续向东行驶，有触礁的危险． 过点C作CD垂直AB的延长线于点D，
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠BCD=30°.
新课讲解
（1）如何根据题意画出示意图？ 解：如下图．
新课讲解
（2）“热气球与楼的水平距离”如何表示？
答：过点A作BC的垂线段AD，则线段AD的长即为120 m．
（3）结合示意图，问题已知什么？要求什么？ 答：已知α=30°，β=60°，AD=120 m，求BC的长． （4）你能用不同方法解决这个问题吗？ 答：方法1：利用正切先求出BD的长，再求CD的长； 方法2：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出BC 的长．
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如下图，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把 水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角． 一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的 水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅 直高度．坡面的铅直高度h和水平宽度l的比 叫做坡面的坡度（或坡比），用i表示，记 作i=h︰l，坡度通常写成h︰l的形式，坡面 与水平面的夹角叫做坡角，记作α．
故α≈33°41′24″，β≈18°26′6″．
6 （2）在Rt△ABF中，因为 sin ， AB 6 6 所以 AB ≈ ≈ 10.8 (m)． sin 0.5547
巩固练习
1．如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝 顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水 能力，需要将水坝加高2 m，并保持坝顶宽度不变， 但背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5（有关数据 在图上已注明），求加高后的坝底HD的长为多少？
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把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就 能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们 就学习“解直角三角形的应用”．
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例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞 船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接． “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地 球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面 最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地 球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？