数学建模：最小二乘拟合实验

《数学建模期末实验作业》
院系：数学学院
专业：信息与计算科学
年级:2０14级
试题编号：３7
胡克定律得综合评价分析
背景摘要：
利用一个打蛋器与一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚得承重墙，这么天方夜谭得事您能相信吗？但它却真得发生了！
《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没瞧过里面得内容,但应该都曾经听过它得大名.在《越狱》第一季第六集中,Michaeｌ要通过地下管道爬到医务室得下面,但就是一条重要通道就是被封死得,因此必须要把这个封死得墙破坏掉，由于就是混凝土结构,因此破坏起来很难,Miｃhael从纹身上拓下魔鬼得画像,投影在掩住管道入口得墙上,用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧得打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。

相信大多数人都觉得很梦幻很不科学,但事实就就是这样得令人惊讶。

搜狐娱乐曾经报道过,有《越狱》粉丝不相信这一情节,在现实生活中进行实验，结果真得重现了“胡克定律”凿墙这一情节。

胡克定律得表达式为F=k·x或△F=k·Δｘ，其中k就是常数，就是物体得劲度（倔强）系数。

在国际单位制中，Ｆ得单位就是牛,x得单位就是米，它
就是形变量（弹性形变）,ｋ得单位就是牛／米.倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短)单位长度时得弹力。

弹性定律就是胡克最重要得发现之一,也就是力学最重要基本定律之一.在现代,仍然就是物理学得重要基本理论。

胡克得弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧得弹力Ff与弹簧得伸长量（或压缩量）x成正比，即F＝-k·x.k就是物质得弹性系数,它由材料得性质所决定，负号表示弹簧所产生得弹力与其伸长(或压缩）得方向相反。

但当我们进行多次实验，便会发现随着F得逐步增大，便不再服从胡克定律.为此我们应当运用插值与拟合得内容，探索更加准确得公式。

一、建模问题
1、问题提出
1、１问题背景
弹簧在压力F 得作用下伸长x,一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F＝kｘ。

现在得到下面一组Ｆ,x数据，并在(x，F）坐标下作图,可以瞧到当F大到一定数据值后,就不服从这个定律了。

表1—１
试根据上述所给出得数据及已知得胡克公式，解决一下问题:
(1）试由数据确定k
(2）给出不服从胡克定理时得近似公式
1、3 问题分析
这就是一道关于弹簧劲度系数得问题，对于此类建模有实际得价值,而且也可以让我们拓宽物理学习得视野,很有价值。

二、模型假设
通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，F得值就是随着Ｘ得改变而改变得，当X小于某一值时，F遵循胡克定律，而当X大于某一值时，F便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。

假设１：当Ｘ<9时,F遵循胡克定律。

假设2：当X>9时，Ｆ不遵循胡克定律。

三、模型建立
已知胡克定律为:F=KX，但通过简单得计算题目中所给得数据，便会发现K得值并非固定值,我们可假设F=KX中还有第三个未知量S。

故建立模型公式:Ｆ=ＫX＋Ｓ
运用数学建模与数学实验(第四版)7、4、1线性最小二乘拟合内容,在matl ａb程序上可进行求解.
四、符号说明
表4-1
解：
（1)试由数据确定ｋ
输入以下程序:
ｘ=［0 1 2 4 7 9 12 13 15 17]；
f=［0 １、5 3、9 6、６ 11、7 15、６ 18、8 １9、６20、6 ２1、1］；
k=f/x
可得结果:
ｋ＝
1、4３7７
（2)给出不服从胡克定理时得近似公式:
输入以下程序:
x=［０１２ 4 ７ 9 1２ 13 １5 17］；
f=[0 1、5 ３、9 6、6 11、７ 15、6 18、8 19、6 20、６２1、1］;
ａ＝polyfit（x，ｆ，1）
z=polyvaｌ（ａ，ｘ）；
ploｔ（ｘ,ｆ,’ｋ＋',x，z,’ｒ’）
运行结果:
a =
1、334０1、2６78
可得图5-2—1：
通过图5-2－１,可以瞧到当弹簧伸长1０个单位长度后，拟合得情况并不好，偏差较多，且用计算结果得出得公式Ｆ=1、３340Ｘ+1、２６7８与胡克定律也相差甚远，故可以根据图5－１，将十个数据分为两组来进行验算.
先取前六个数据得值进行线性拟合：
输入程序：
x＝［０１ 2 ４7 9];
ｆ=［0 1、5 3、9 6、６ 11、7 １5、6];
a=polｙfiｔ（x,ｆ，1）
z=polｙvaｌ（a,ｘ)；
pｌot（x，ｆ,’k+',x，z,'r＇）
可得结果：
a =
１、7０85 0、000８
可得图5－２—2:
图5－2－2
通过图５－2-2,可以瞧到拟合良好，且0、0０8可以忽略不计，故可以用F=1、7085Ｘ来表示力与弹簧伸长得关系,该公式较符合胡克定律.
接下来对后面得四个数据进行二次拟合来观察效果:
输入程序：
ｘ＝[12 １3 15 17];
f=[18、8 19、6 20、6 21、1］；
a=poｌyfiｔ（ｘ，f，２）
z＝polyval（a,x）；
ｐlot（x,ｆ，’ｋ+’，x，z，’r’）
可得结果:
a =
－0、０732 2、5790 -1、5８34 可得图5—2—3:
图5－2-３
通过图５－2－3可以瞧出,当才用后四个数据来进行拟合时，拟合情况较为准确,可以接受,近似公式为F＝－0、0７32+２、57９0X-1、5834
六、结果分析
通过运用ｍａtlab分别进行三次拟合,可以发现三次拟合得结果大不相同。

第一次将所有数据进行拟合，拟合得情况并不好，偏差较多,得出得公式与胡克定律也相差甚远;第二次按照模型假设,只采用[0 1 ２４ 7 9］这六个数据进行拟合，拟合情况较为良好,所得到得公式也极为接近胡克定律；第三次同样按照模型假设,采用[12 13 １５17]这四个数据进行拟合,拟合情况同样良好，且所得公式也符合我们得模型假设.综合三次拟合,现在可以解答第二步所建立得模型假设。

假设1：当Ｘ<9时，F遵循胡克定律。

假设1结果:当X＜9时,F遵循胡克定律，其公式为F=1、7085X
假设2:当X＞９时，F不遵循胡克定律。

假设2结果:当X>９时,F不遵循胡克定律,其近似公式为近似公式为F＝－0、073２+２、5790X-1、5834
七、实验心得
在进行建模与仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合.拟合得目得就是寻找给定得曲线(直线)，它在某种准则下最佳得拟合数据.常用得拟合方法之一就是多项式得最小二乘拟合,其准则就是最小误差平方与准则，所用得拟合曲线为多项式。

在本次建模实验中，我们所用到得方法就就是就是线性最小二乘拟合,通过这次实验,使得我掌握了用线性最小二乘拟合建立回归数学模型（包括参数估计与模型建立）,并通过几个数据拟合得回归分析来判断曲线（直线)拟合得精度，判断模型建立就是否正确。

八、参考文献
附录A：其实除我们所熟知得Ｆ=KX这一简单得胡克定律,还有一个广义得胡克定律,其内容为:在材料得线弹性范围内（见下图得材料应力应变曲线得比例极限范围内)，固体得单向拉伸变形与所受得外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限得情况下,固体中得应力σ与应变ε成正比,即σ=Εε，式中E 为常数,称为弹性模量或杨氏模量。

把胡克定律推广应用于三向应力与应变状态，则可得到广义胡克定律。

图A1
附录B:各向同性材料得广义胡克定律有两种常用得数学形式：
图B1
式中σiｊ为应力分量;εiｊ为应变分量（ｉ，j=1，2，3);λ与Ｇ为拉梅常量，Ｇ又称剪切模量。

这些关系也可写为：
图B２
E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。

λ、G、E与v之间存在下列联系：
图B３
式（１）适用于已知应变求应力得问题,式(２)适用于已知应力求应变得问题。