历年全国初中数学联赛试题总汇

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．

设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是

两两不同的实数，则2

22

23y

xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3

5

．

答（ ）

２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是

（A ）

25

1±； （B ）251±-；

（C ）

2

5

1±或251±-； （D ）251±-±．

答（ ） ４．

已知：)19911991(2

11

1

n n

x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是

（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５．

若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自

然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ）

６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７．

如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，

32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是

（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）

８．

在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则

（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2

1

；

答（ ）

（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题

１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．

２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c

b 32 ．

3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p

n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．

４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，

CD = 6，则AD = ．

11=S

3S =1

32=S

120

135

第二试

x

x + y，x －y，x y，

y

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．

二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且

BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．

求证：BF＝AF＋CF

三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式

20)2(b ax M +=的关系是

(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是

(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )

5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=

k x

k

y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1

与S 2的关系是

(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定

答( )

6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则

2

1

S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )

7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .

则AE :EB 等于