二次函数综合题型分类训练

专题一二次函数之面积、周长最值问题

1、如图，抛物线

c

bx

x

2

1

-

y2+

+

=

与x轴交于A、B两点,

与y轴交于点C,且OＡ=2，OC=3． (1）求抛物线的解析式。

（2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是

否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在，请求出点P的

坐标,若不存在,请说明理由．

2、如图，已知抛物线y＝-x２＋bｘ＋c与一直线相交于Ａ（－

１，0),Ｃ(２，3)两点,与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式;

（2)设点M在对称轴上一点,求使MN+MＤ的值最小时的Ｍ的

坐标；

(３)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的

面积的最大值．

３、如图,已知抛物线ｙ=ａx2+ｂｘ﹣2（a≠0)与ｘ轴交于Ａ、

B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点Ｄ，并且D

（2,3）,taｎ∠DBＡ=21．

（１）求抛物线的解析式;

(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、

Ｍ、C、A，求四边形BMCＡ面积的最大值;

4、如图,在平面直角坐标系中，已知点Ａ的坐标是（４,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点Ｐ，使得△AＣP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由;

(３）过动点Ｐ作PE垂直于y轴于点E,交直线ＡC于点D，过点D作ｙ轴的垂线．垂足为F,连接ＥＦ,当线段ＥＦ的长度最短时,求出点P的坐标．

5、如图1２，已知二次函数

c

bx

x

2

1

-

y2+

+

=

的图象与ｘ轴的正半轴相交于点Ａ、B,与y

轴相交于点C,且OC２=OＡ·ＯB．

（1)求c的值；

（2）若△ＡBC的面积为3，求该二次函数的解析式；

(３）设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC上是否存在一点P使△P ＢD的周长最小?若存在,求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图,在直角坐标系中，点Ａ的坐标为(-2，0），连结OA,将线段ＯA绕原点O顺时针旋转１2０°,得到线段OB.

（1）求点Ｂ的坐标；

（２)求经过A、Ｏ、Ｂ三点的抛物线的解析式；

（3)在（２)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ＢOC的周长最小？若存在,求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由.

(4)如果点P是（２）中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PＡB的最大面积；若没有，请说明理由.

ﻬ专题二二次函数之等腰三角形问题

1、如图,抛物线y=aｘ2-5ax+4经过ＡＢC△的三个顶点，已知BC∥x轴,点A在x轴上，点C在y轴上,且AC＝BC.（1)求抛物线的对称轴；

(2)写出Ａ、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式;

（3）探究:若点Ｐ是抛物线对称轴上且在ｘ轴下方的动点,是否存在PAB是等腰三角形．若存在, 求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由．

2、如图,已知抛物线与ｘ轴交于A(－１,０)，B(3,0）两点,与y轴交于点C（０，3). （1)求抛物线的解析式;

（2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDＣ是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由；

(３）点M是抛物线上一点，以B,C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标.

3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线ｙ=ｘ2﹣(m+n）x+mn（ｍ＞n）与ｘ轴相交于Ａ、B两点(点Ａ位于点Ｂ的右侧），与y轴相交于点C.

（1）若m=2,n＝1，求A、Ｂ两点的坐标;

（2）若A、Ｂ两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,﹣1）,求∠ACB的大小；

（3）若ｍ=2,△ＡBＣ是等腰三角形,求n的值.

４、如图，已知抛物线y=aｘ２+bx+ｃ与x轴的一个交点为A（3，

0）,与ｙ轴的交点为Ｂ(０,3)，其顶点为C，对称轴为x=1． (1）

求抛物线的解析式;

（２）已知点Ｍ为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标；

（3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m<3）得到另一个三角形,将所得的三角形与△AＢＣ重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

5、如图，已知抛物线经过A(１，0)，Ｂ（０，3)两点,对称

轴是x=﹣1.

（1)求抛物线对应的函数关系式;

(2）动点Ｑ从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段O

Ａ上运动，同时动点Ｍ从M从O点出发以每秒3个单位长

度的速度在线段ＯB上运动,过点Ｑ作x轴的垂线交线段AB

于点N,交抛物线于点Ｐ，设运动的时间为t秒.

①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形；

②△AＯN能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说

明理由．

６、如图，已知抛物线y=﹣41ｘ2+ｂｘ+４与x轴相交

于A、B两点,与y轴相交于点Ｃ，若已知Ａ点的坐标为

A（﹣２，0）.

(１）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

(2）求点C的坐标，连接ＡＣ、ＢC并求线段ＢC所在

直线的解析式;

(３）试判断△AＯC与△COB是否相似？并说明理由；

(４)在抛物线的对称轴上是否存在点Ｑ,使△ACQ为等腰

三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存

在,请说明理由．

ﻬ7、已知Ｒt△ＡＢC的斜边长为５，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内,使其斜边AＢ与x轴重合（其中OＡ

(２）如图２，点D的坐标为(2，0）,点P（m，n）是该抛物线上的一个动点(其中m＞0,ｎ>0）,连接DP交ＢＣ于点E。

①当△BDＥ是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；