高中数学线性规划题型总结

高考线性规划归类解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
2x y2
例 1、设变量 x、y 满足约束条件x y 1 ，则z 2 x 3 y
x y1
的最大值为。

解析：如图 1，画出可行域，得在直线2x-y=2 与直线 x-y=-1
的交点 A(3,4) 处，目标函数z 最大值为 18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可
行域 ,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分
题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
图 1
x 1,
例 2、已知x y10,则 x2y2的最小值是.
2x y20
解析：如图 2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2y2表示
可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A（ 1，2）是满足条
件的最优解。

x2y2的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关
系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

图 2
x0C
例 3 、在约束条件y0下，当 3s 5 时，目标函数
y x s
y 2x4
z3x 2y 的最大值的变化范围是（）
A. [6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
解析：画出可行域如图 3 所示,当 3s 4 时 , 目标函数
z3x2y在 B(4s,2 s4) 处取得最大值,即
z
max3(4s) 2(2s 4)s 4[7,8); 当 4s 5 时 , 目标函数
z 3x2y在点E(0, 处取得最大值,即
z max 3 0 2 48,故z[7,8],从而选 D;
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于 S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例 4、已知双曲线x2y2 4 的两条渐近线与直线x 3 围成一个三角形
区域 ,表示该区域的不等式组是（）
x y 0x y 0x y 0x y 0
(A) x y 0(B)x y 0(C) x y0(D) x y 0
0 x 30 x 30 x 30 x 3
解析：双曲线 x2y2 4 的两条渐近线方程为y x ，与直线 x 3围
成一个三角形区域（如图
4 所示）时有
x y 0 。

x y 0
0 x 3
点评 ：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。

验证法或排除法是最效的方法。

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例 5 已知变量 x ， y 满足约束条件
1 x y
4 。

若目标函数
2 x y
2
z ax y （其中 a
0 ）仅在点
(3,1) 处取得最大值，则 a 的取
值范围为。

解析： 如图 5 作出可行域， 由 z ax y y ax z 其表示为
斜率为 a ，纵截距为ｚ的平行直线系
, 要使目标函数 z ax
y
（其中 a 0 ）仅在点 (3,1) 处取得最大值。

则直线 y ax z 过
Ａ点且在直线 x y 4, x （不含界线） 之间。

即
a 1 a 1.
3
则 a 的取值范围为 (1,
) 。

点评： 本题通过作出可行域，在挖掘 a 与 z 的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直
线间的斜率变化关系， 建立满足题设条件的 a 的不等式组即可求解。

求解本题需要较强的基 本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
x y 2 0
例６在平面直角坐标系中，不等式组
x y 2 0 表示的平面
y 0
区域的面积是（） (A) 4 2 (B)4 (C)
2 2 (D)2
x y 2 0 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组
x y 2
0 表示
y 0
的平面区域是一个三角形。

容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２）
， B(2,0),C(-2,0). 于
是三角形的面积为： S
1
|BC| |AO|
1 4
2 4. 从而选Ｂ。

2 2 点评 ：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

七、研究线性规划中的整点最优解问题
例 7、某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名， x 和 y 须满足约
5x 11 y
22, 束 条 件 2 x 3y
9,
2 x 11.
则 z 10 x 10 y 的 最 大 值 是 (A)80
(B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７，作出可行域，由
10
10 z
z y
y x
，
z
10
它表示为斜率为
1 ，纵截距为 的平行直线系
,要使 z 10 x 10 y 最得最大值。

当直线
10
z 10 x 10 y 通过 A(
11, 9
) z 取得最大值。

因为 x, y N ，故Ａ点不是最优整数解。

于是考虑 2 2
可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４） ，Ｃ（４，４） ，经检验直线经过Ｂ点时，Z max 90.
点评： 在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。