江苏省昆山陆家高级中学高三数学一轮复习讲义：十一、

课题：十．圆锥曲线 5. 抛物线（1）

教学目标：1.紧扣抛物线的定义，灵活解题.

2.掌握抛物线的几何性质（尤其是开口向右的情况）.

考点要求：

知识梳理：1.抛物线的几何性质

2.焦点弦：AB 为抛物线22(0)y px p =>的经过焦点F 的弦(简称焦点弦).已知

11(,)A x y ,22(,)B x y ,则: (1) 2

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p x x =;(2) 212y y p =-;(3) 12AB x x p =++ 一．基础回归：

1．抛物线x y 82-=的准线方程是 ；抛物线2

2x y =的

焦点坐标为 ．

2．抛物线C 的顶点在原点，对称轴为y 轴，焦点在直线2120x y ++=上，则C 的方程为 ．

3.已知抛物线方程为2

8y x =，若该抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于 ，抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标是 ．

二．例题选讲：

题型一：抛物线方程与几何性质

例7．⑴已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ．

（2）已知抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_____________．

（3）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且8=+BF AF ，线段AB 的垂直平分线恒过定点()0,6Q ，则此抛物线的方程为________．

例8．⑴在抛物线x y 42=上找一点M ，使MA ＋MF 最小，其中A (3，2)，F (1，0)，则M 点的坐标为_______及此时的最小值为____________．

⑵已知抛物线x y 22

=和定点1033A ⎛⎫

⎪⎝⎭

， ，抛物线上有动点P ，P 到定点A 的距离为d 1，P 到抛物线准线的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为______________及此时P 点的坐标为_________________．

题型二：抛物线与直线

例9．（1）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点)01

(，F ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的坐标为（2，2），则直线l 的方程为_____________．

课题：十．圆锥曲线 5. 抛物线（2）

教学目标：1.紧扣抛物线的定义，灵活解题.

2.掌握抛物线的几何性质（尤其是开口向右的情况）.

变式：直线l 过点()0,1，与抛物线x y 42

=交于()11,y x A 、()22,y x B 两点，抛物线的顶点

是O 。

⑴证明：⋅为定值；

⑵若AB中点横坐标为2，求AB的长度及l的方程．

题型三：抛物线与圆

例10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线px y 22=上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5. ⑴求抛物线的标准方程；

⑵设点C 是抛物线上的动点，若以C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为4，求证：圆C 过定点．

变式：已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，且过点()2,2P ，过F 的直线交抛物线于()11,y x A 、()22,y x B 两点．⑴求抛物线的方程；⑵设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与直线l 相切．

三．课堂练习：

1．已知抛物线2

4y x =，F 为其焦点，A 是抛物线上一点，若,4-=⋅→

→

AF OA 则点A 的横坐标为 ．

2．若抛物线2

2y x =上的两点A ，B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离是 ．

3．抛物线2

x y =上的点到直线23y x =-的距离的最小值为 ． 4．如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上．

⑴写出抛物线得方程及其准线方程；

⑵当PA PB 与的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率．