截面的静矩和形心位置ppt课件

zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I 1 y C 1 1 2 2 1 03 4 2 0 1 0 4 ( 8 0 4 0 .7 ) 6 2 I 2 y C 1 1 1 2 0 2 3 0 0 1 0 2 0 ( 0 4 .7 ) 6 2
zc
20
I y C I 1 y C I y 2 C 1 .1 2 1 2 6 m 0 4
y 10
x1 1
y1
o x2
80
y2
2 10 x
矩形 1
A 1 1 0 12 102 m 0 2 m 0 y 10
x15mm
y160mm 矩形 2 A 2 1 0 7 0 7m 00 2m
x21072045mm
y2 5mm
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
所以
xA1x A1 1 A A2 2x2 3 17 95 00 02 00mm yA1y A1 1 A A2 2y2 7 15 95 00 04 00mm
截面对形心轴的静矩等于零。
二 、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截 面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
n
Sz
Ai
y i
i1
n
Sy Ai zi i1
其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积
(
y, i
z i)
——
第 i个简单截面的形心坐标
α α I y 1 I x 2 I y I x 2 I y c2 o I x s s y2 in
α α I x 1 y 1 I x 2 I ys2 in I xc y2 os
y y1
o
上式称为转轴公式
显然
x1
Ix 1 Iy 1 Ix Iy
x
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
α α I x 1 y 1I x 2 I ys2 in I xc y2 os
y 10
1 x1
C(y, x)
y1
2 y2
10
o x2
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
y 0
p I A 2 d ρA
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
IyAz2d A IzAy2d A
因为 ρ 2 y 2 z 2
y dA
y
p I A 2d ρA
轴平 行的坐 标轴（形心轴）
yc
C(a,b)
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
IxIxca2A
IyIycb2A
IxyIxcycabA
所以 Ip = Ix + Iy
x
xwenku.baidu.com0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy AxydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
a
C(a,b)
xc
ob
x
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , I xyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
Ixy Ixyi i1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
极惯性矩为 y
Iρ
π d4 32
IxIyIρ
x
Ix Iy
所以
Ix
Iy
π d4 64
§ І -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y
§І-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义
z
截面对 z , y 轴的静矩为：
dA
Sz A ydA
z
Sy AzdA
oy
y
静矩可正，可负，也可能等于零。
截面的形心 C 的坐标
公式为：
y
A
ydA
Sz
AA
z
z
z
dA
c
z AzdA Sy
o
y
y
A
A
y
Sz Ay
S y Az
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。
解：将截面分成两个矩形截面。
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
20 140
zc
20
1
yc
2
y
100
A 12 0140 A 210 200
Z180 Z2 0
所以截面的形心坐标为 ZCA1Z A 1 1 A A2 2Z24.67mm
20 140
计算组合截面形心坐标的公式如下：
n
Aiyi
y
i1 n
Ai
i1
n
Aizi
z
i1 n
Ai
i1
例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。
取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
n
x
Ai xi
i1 n
Ai
A1x1 A1
A2x2 A2
i1
y A1y1A2y2 A1A2
主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角，
则有
I Ix Iy 2 sin20 xyco2s0 0
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩。
1
yc
ZC
2
20 140
y
100
§ І -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 转轴公式
xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系
y y1
o
x1
x
逆時针转取为 + 号， 顺時针转取为 – 号
α α I x 1 I x 2 I y I x 2 I yc2 o sI xs y i 2 n
i yI A y ,i xI A x
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
IxAy2dA h 2h 2b2 y dy b 13 h 2
Ix Ay2dA
y
Iy
hb 3 12
dy
h
y
C
x
b
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
解：因为截面对其圆心 O 的