高三数学(文)二轮复习训练：17题型专练——解答题专练

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高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案

解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3，解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0，即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π，解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12，又因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ，即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。

2017届高考数学(文)二轮复习高考大题标准练(二)Word版含解析

于是，存在 x0∈ (1， e)，使得 φ(x0) ＝0. 令 a0＝ x0－ 1－ln x0＝ u(x0)，其中 u( x)＝ x－ 1－ lnx(x≥ 1)．由 u′ (x)＝ 1－1x≥ 0 知，函数 u(x)在区间 (1，＋ ∞ )上单调递增．
故 0＝u(1)< a0＝u(x0)<u(e)＝ e－ 2<1. 即 a0∈ (0,1)．当 a＝a0 时，有 f ′ (x0)＝ 0， f(x0) ＝φ(x0)＝ 0. 再由 (1)知， f ′ (x)在区间 (1，＋ ∞ )上单调递增，
×√××
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解： (1) 从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所
以顾பைடு நூலகம்同时购买乙和丙的概率可以估计为
(1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g( x)的单调性；
(2)证明：存在 a∈ (0,1)，使得 f(x)≥ 0 恒成立，且 f(x)＝ 0 在区间 (1，＋∞ )内有唯一解．
(1)解：由已知，函数 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )，
g(x)＝ f ′( x)＝2( x－ 1－ lnx－ a)，
又 AB∩ AP＝ A，所以 BD⊥平面 PAB .
又 BD ? 平面 PBD ，所以平面 PAB⊥平面 PBD . 5．已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋ y2－ 8y＝ 0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点．
(1)求 M 的轨迹方程；

高三数学二轮复习专题高效升级卷17　统计与统计案例课件文新人教A版

专题高效升级卷17 统计与统计案例
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48 分）
1.下列抽样试验中，最适宜用系统抽样的是（）
A.某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200 个入样
设选中的2人都来自高校C的事件为X，
则Xc3包）含共的3种基.本因事此件P（有X（1）03 c＝1，c2）. ，10（3 c1，c3），（c2，故选中的2人都来自高校C的概率为 .
18.某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利润y （元）与该周每天销售这种服装的件数x（件）之间的一组数据如下：
x
答案：C
3.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）
A.92，2
B.92，2.8
C.93，2
D.93，2.8
答案：B
4.为了了解高三学生的数学成绩，抽取某班60 名学生的数学成绩，将所得数据整理后，画
回归方程为 yˆ ＝aˆ ＋bˆ x＝77.37－1.82x.
（2）因为单位成本平均变动 bˆ ＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数b的意义有：
产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元.
（3）当产量为6 000件，即x＝6时，代入回归方程：
yˆ ＝77.37－1.82×6＝66.45（元）
会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量
为200的样本；（2）从20人中抽取6人参加座谈会，给出下列抽样方法：a简单随机抽样； b系统抽样；c分层抽样.上述两个问题应采用的抽样方法分别为（）

山东省2022高三数学二轮专题复习检测题+答案解析(附后)

山东省2022高三数学二轮专题复习检测题（立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设e 是椭圆的离心率，且，则实数k 的取值范围是( )A. B.C.D.2.两圆和的位置关系是( )A. 相离 B. 相交C. 内切D. 外切3.已知直线与直线垂直，则实数( )A.B. 0或C. 0或D. 4.已知棱长为1的正方体中，E ，F 分别为，的中点，则异面直线EF 与BD 所成的角为( )A.B.C. D.5.如图，在菱形ABCD 中，，，E 是AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得面面BCDE ，则点到直线DB 的距离为( )A. B. C.D.6.设P 是圆上的动点，则点P 到直线的距离的最大值为 ( )A.B. C.D.7.直线l 过点且与以点为端点的线段恒相交，则l 的斜率取值范围是.( )A. B.C.D.8.已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则r的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共5小题，共25分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，分别为直线，的方向向量不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中正确的有( )A. B. C. D.10.在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是( )A. B.C. D.11.已知圆C：，直线l：，则下列结论正确的是( )A. 当时，直线l与圆C相交B. 为圆C上的点，则的最大值为9C. 若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是D. 若直线l上存在一点P，圆C上存在两点A、B，使，则m的取值范围是12.已知圆M：，则下列四个命题中正确的命题有( )A. 若圆M与y轴相切，则B. 圆M的圆心到原点的距离的最小值为C. 若直线平分圆M的周长，则D. 圆M与圆可能外切13.已知圆O：和圆C：现给出如下结论，其中正确的是( )A. 圆O与圆C有四条公切线B.过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或C. 过C且与圆O相切的直线方程为D. P、Q分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

高三题型专练题型十七有机推断与合成

题型十七有机推断与合成高考真题1.(2016课标Ⅰ)秸秆(含多糖类物质)的综合应用具有重要的意义,下面是以秸秆为原料合成聚酯类高分子化合物的路线:回答下列问题:(1)下列关于糖类的说法正确的是__________。

(填标号)a.糖类都有甜味,具有C n H2m O m的通式b.麦芽糖水解生成互为同分异构体的葡萄糖和果糖c.用银镜反应不能判断淀粉水解是否完全d.淀粉和纤维素都属于多糖类天然高分子化合物(2)B生成C的反应类型为______________。

(3)D中官能团名称为_____________,D生成E的反应类型为_____________。

(4)F 的化学名称是__________,由F生成G的化学方程式为_______________________________________。

(5)具有一种官能团的二取代芳香化合物W是E的同分异构体,0.5 mol W与足量碳酸氢钠溶液反应生成44 gCO2,W共有______种(不含立体结构),其中核磁共振氢谱为三组峰的结构简式为________________。

(6)参照上述合成路线,以(反,反)-2,4-己二烯和C2H4为原料(无机试剂任选),设计制备对二苯二甲酸的合成路线___________________________________________________。

【答案】(1)cd；(2)取代反应(酯化反应)；(3)酯基、碳碳双键；消去反应；(4)己二酸；；(5)12 ；；(6)。

2.(2016课标Ⅱ)氰基丙烯酸酯在碱性条件下能快速聚合为,从而具有胶黏性,某种氰基丙烯酸酯(G)的合成路线如下:已知:①A的相对分子量为58,氧元素质量分数为0.276,核磁共振氢谱显示为单峰②回答下列问题:(1)A的化学名称为_________。

(2)B的结构简式为_____________,其核磁共振氢谱显示为______组峰,峰面积比为______。

2020高三高考数学二轮复习专题训练+17+Word版含答案

20xx 最新高三高考数学二轮复习专题训练+17+Word 版含答案一、构造构造辅助数列1、递推公式满足型()n g a c a n n +⋅=+1 ①当为常数)(n g思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列。

（待定系数法，构造等比数列）d ca a n n +=+1()x a c x a n n +=++1{}x a n +例1：数列满足，求数列的通项公式。

解：故由得，即，得新数列是以,121-=+n n a a )1(211-=-+n n a a 2111=--+n n a a {}1-n a为首项，以2为公比的等比数列，，即通项。

11211=-=-a 121-=-∴n n a 121+=-n n a②当为类一次函数)(n g思路：利用待定系数法，构造数列，使其为等比数列；{}b kn a n ++2、已知数列中，，，求数列的通项公式。

{}n a 11a =1111()22n n n a a ++=+{}n a解：在两边乘以得：1111()22n n n a a ++=+12+n 112(2)1n n n n a a ++•=•+令，则，解之得：，所以。

n n n a b •=211n n b b +-=111n b b n n =+-=-1+=n 122n n n n b n a -==n n 21+=3、已知，当时，，求数列的通项公式。

}{n a解：设，∴解得： ∴ ∴ 是以3为首项，为公比的等比数列；∴∴。

4、已知数列满足，求数列的通项公式。

{}n a 112356n n n a a a +=+⨯=，{}n a解：设.，比较系数得，，1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯1152(5)n n n n a a ++-=-则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，{5}n n a -1151a -=152n n n a --=故。

新课标新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十七)(含答案详析)

专题限时集训(十七)[第17讲统计与统计案例](时间：45分钟)1．某同学学业水平考试的9－1所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为( )A ．79B ．80C ．81D ．822．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4，5)，则回归直线的方程为( )A.y ^＝1.23x ＋4B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08 D.y ^＝0.08x ＋1.233．根据一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程y ^＝0.85x －85.7，则在样本点(165，57)处的残差为( )A ．54.55B ．2.45C ．3.45D ．111.55 4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：则y 与x 的线性回归方程y ^＝b x ＋a 必过点( ) A ．(1，2) B ．(2，6) C.⎝⎛⎭⎫32，154 D ．(3，7)5．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图X17－2所示，x 1，x 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s 1，s 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )A ．x 1>x 2，s 1<s 2B ．x 1＝x 2，s 1>s 2C ．x 1＝x 2，s 1＝s 2D ．x 1＝x 2，s 1<s 26．总体由编号为01，02，…，195个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 B ．07 C ．02 D ．017．某社区对该区所辖的老年人是否需要特殊照顾进行了一项分性别的抽样调查，针对男性老年人和女性老年人需要特殊照顾和不需要特殊照顾得出了一个2×2的列联表，并计算得出k ＝4.350，则下列结论正确的是( )A ．有95%的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别有关B ．有95%的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别无关C ．该社区需要特殊照顾的老年人中有95%是男性D ．该地区每100名老年人中有5个需要特殊照顾8．一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8且前4项和S 4＝28，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．22，23B ．23，22C ．23，23D ．23，249．样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y(x ≠y)．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n<mB ．n>mC ．n ＝mD ．不能确定10．某地区高中学校分三类，A 类学校共有学生2000人，B 类学校共有学生3000人，C 类学校共有学生4000人．若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中应抽取学生________人．11．从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如下表，则这50人成绩的方差为________．12.12342，且标准差等于1，则这组数据为________．13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.根据此模型，当预报广告费用为10万元时，销售额为________万元．14率不超过________．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）15．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图X17－3所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班样本的方差．－316．一家商场为了确定营销策略，进行了投入促销费用x 和商场实际销售额y 的试验，得到如下四组数据．(1)好的线性相关性；(2)求出x ，y 之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？专题限时集训(十七)1．B [解析] 80＋－12＋12＋1＋9＋9－8－7－2－29＝80.2．C [解析] 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^经过样本中心点，所以5＝1.23×4＋a ，解得a ＝0.08，故回归直线方程是y ^＝1.23x ＋0.08.3．B [解析] 把x ＝165代入回归方程得y ^＝0.85×165－85.7＝54.55，所以残差为57－54.55＝2.45.4．C [解析] 因为x ＝0＋1＋2＋34＝32，y ＝0＋2＋6＋74＝154，所以线性回归方程y ^＝b ^x＋a ^必过点⎝⎛⎭⎫32，154.5．D [解析] 由样本中数据可知x 1＝15，x 2＝15，由茎叶图得s 1<s 2.6．D [解析] 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D. 7．A [解析] 根据独立性检验的基本思想方法可知选项A 正确．8．C [解析] 设公差为d ，则a 1＋2d ＝8且4a 1＋6d ＝28，解得a 1＝4，d ＝2，所以中位数是a 10＋a 112＝a 1＋192d ＝4＋19＝23，平均数是S 2020＝a 1＋192d ＝23.9．A [解析] 由题意知，样本(x 1，…，x n ，y 1，…，y m )的平均数为z ＝nx ＋my m ＋n ＝n n ＋mx ＋m n ＋m y ，且z ＝αx ＋(1－α)y ，所以α＝n m ＋n ，1－α＝m m ＋n .又因为0<α<12，所以0<n n ＋m <12，解得n<m.故选A.10．200 [解析] 高中生共有9000人，抽取900人，抽取比例为9009000，故A 类学校中应抽学生人数为2000×110＝200.11.85 [解析] ∵x ＝50＋20＋45＋30＋550＝3，∴s 2＝1n [(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2]＝150×(10×22＋5×12＋15×12＋5×22)＝85. 12．1，1，3，3 [解析] 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，且x 1，x 2，x 3，x 4∈N *，则s ＝14[（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（x 3－2）2＋（x 4－2）2]＝1，即(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝4.又因为平均数和中位数都为2，所以x 4≤3，则只能取x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3.故这组数据为1，1，3，3.13．73.5 [解析] x ＝4.5，y ＝35，则a ＝35－7×4.5＝3.5，所以y ^＝7×10＋3.5＝73.5. 14．0.050 [解析] ∵K 2＝30×（12×8－2×8）214×16×20×10＝307＝4.2857>3.841，∴错误的概率不超过0.050.15．解：(1)由茎叶图可知，在160～179之间的身高数据显示乙班平均身高应高于甲班，而其余数据可直接看出身高的均值是相等的，因此乙班平均身高应高于甲班．(2)由题意知甲班样本的均值为x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，故甲班样本的方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.16．解：(1)如图所示，从散点图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．(2)因为x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝100＋200＋300＋4004＝250，则=4+1+1+4=10，(x i －x)(y i －y)＝(－2)×(－150)＋(－1)×(－50)＋1×50＋2×150＝700，所以b ^＝＝70010＝70， a ^＝y －b ^x ＝250－70×4＝－30.故所求的回归直线方程为y ^＝70x －30.(3)由题意得70x －30≥600，即x ≥600＋3070＝9，所以若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用．。

浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十七)(含答案详析)

专题限时集训(十七)[第17讲圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟)1．已知椭圆C ：x 24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上3．已知两定点A (1，1)，B (－1，－1)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线4．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22C ．(0，1) D.⎝⎛⎭⎫0，12 5．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(4，0)D ．(0，4)6．过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23C ．1 D.437．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫14，18．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，m 交抛物线于A ，B 两点，且A点在x 轴上方，则|F A |的取值范围是________．9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．10．已知E (2，2)是抛物线C ：y 2＝2px 上一点，经过点(2，0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(不同于点E )，直线EA ，EB 分别交直线x ＝－2于点M ，N ，则∠MON 的大小为________．11．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，过点M (2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．在x 轴上若存在定点P ，使PM 平分∠APB ，则P 的坐标为________．12．已知点A (m ，4)(m >0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为点B 和点C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值；(2)图X17－113．如图X17－2所示，已知圆C 1：x 2＋(y －1)2＝4和抛物线C 2：y ＝x 2－1，过坐标原点O 的直线与C 2相交于点A ，B ，定点M 的坐标为(0，－1)，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .(1)求证：MA ⊥MB ；(2)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1＝λ，求λ的取值范围．图X17－214．已知直线l ：y ＝2x －2与抛物线M ：y ＝x 2的切线m 平行． (1)求切线m 的方程和切点A 的坐标；(2)若点P 是直线l 上的一个动点，过点P 作抛物线M 的两条切线，切点分别为B ，C并且分别与切线m 交于E ，F 两点，试问S △ABC|EF |是否为定值？若是，求出其值；若不是，则说明理由．专题限时集训(十七)1．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去它到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．3．B [解析] 由题知PA →＝(1－x ，1－y)，PB →＝(－1－x ，－1－y)，所以PA →·PB →＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，得x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆．4．A [解析] 根据已知得m>0，n>0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，解得n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2，由于m>0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e<1.5．B [解析] x ＋2＝0为抛物线的准线．根据抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，又圆心在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0)．6．B [解析] 设M(x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y＝2，由此得P ⎝⎛⎭⎫2x 0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪2y 0＝2|x 0y 0|.因为点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时等号成立．7．D [解析] 抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x ＝－1，过点P 作准线的垂线交准线于B ，则|PF|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PB|，所以当A ，P ，B 三点共线时，|PA|＋|PF|最小，此时y P ＝y A ＝1，所以x P ＝14y 2A ＝14，即P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1. 8.⎝⎛⎦⎤14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p 2＝14，但取不到．右端点是当直线的倾斜角等于π4时，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，根据题意点A 的横坐标是x ＝32＋⎝⎛⎭⎫322－142＝34＋22，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.9.3 [解析] 由y 2＝4x 可求得焦点F 的坐标为(1，0)．因为l 的倾斜角为60°，所以斜率为k ＝tan 60°＝ 3.利用点斜式求得直线l 的方程为y ＝3x － 3.将直线和抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x ，可解得A ，B 两点的坐标分别为(3，2 3)，⎝⎛⎭⎫13，－2 33，因此S △OAF ＝12·|OF|·y A＝12×1×2 3＝ 3. 10.π2[解析] 将E(2，2)的坐标代入y 2＝2px ，得p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝2x.设A ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，M(x M ，x N )，直线l 方程为x ＝my ＋2，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2my －4＝0，则由韦达定理得y 1y 2＝－4，y 1＋y 2＝2m.直线AE 的方程为y －2＝y 1－2y 212－2(x －2)，即y ＝2y 1＋2(x －2)＋2，令x ＝－2，得y M ＝2y 1－4y 1＋2.同理可得y N ＝2y 2－4y 2＋2.又OM →＝(－2，y M )，ON →＝(－2，y N )，OM →·ON →＝4＋y M y N ＝4＋4（y 1－2）（y 2－2）（y 1＋2）（y 2＋2）＝4＋4[y 1y 2－2（y 1＋y 2）＋4][y 1y 2＋2（y 1＋y 2）＋4]＝4＋4（－4－4m ＋4）－4＋4m ＋4＝0.所以OM →⊥ON →，即∠MON 为定值π2.11.⎝⎛⎭⎫92，0 [解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋2.将直线AB的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得(4m 2＋9)y 2＋16my －20＝0，所以y 1＋y 2＝－16m4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9.若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA ＋k PB ＝0.设P(a ，0)，则有y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0，将x 1＝my 1＋2，x 2＝my 2＋2代入上式，整理得2my 1y 2＋（2－a ）（y 1＋y 2）（my 1＋2－a ）（my 2＋2－a ）＝0，所以2my 1y 2＋(2－a)(y 1＋y 2)＝0.将y 1＋y 2＝－16m 4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9代入上式，整理得(－2a ＋9)·m ＝0.由于上式对任意实数m 都成立，所以a ＝92.综上，x 轴上存在定点P ⎝⎛⎭⎫92，0，使PM 平分∠APB.12．解：(1)证明：设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)．由已知可得A(4，4)．由题意知k AB ＋k AC ＝4－y 14－x 1＋4－y 24－x 2＝4－x 2144－x 1＋4－x 2244－x 2＝x 1＋44＋x 2＋44＝0，得x 1＋x 2＝－8.所以k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 21－x 224（x 1－x 2）＝x 1＋x 24＝－2.(2)设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，存在点P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M(x 0，y 0)，则k PQ ＝x 3＋x 44＝2x 04＝x 02＝12，∴x 0＝1，∴M(1，－2＋b)．∵M 在抛物线内部，∴y 0>x 204，即－2＋b>14，b>94.将y ＝－2x ＋b 代入x 2＝4y 得x 2＋8x －4b ＝0， ∴|BC|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·64＋16b>10 5，即|BC|∈(10 5，＋∞)．13．解：(1)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0，所以x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又MA →·MB →＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝－k 2－1＋k 2＋1＝0， ∴MA ⊥MB.(2)设直线MA 的方程为y ＝k 1x －1，MB 的方程为y ＝k 2x －1，k 1k 2＝－1.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1， ∴A(k 1，k 21－1)，同理可得B(k 2，k 22－1)，∴S 1＝12|MA||MB|＝121＋k 211＋k 22|k 1k 2|. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，x 2＋（y －1）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 11＋k 21，y ＝3k 21－11＋k 21，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 11＋k 21，3k 21－11＋k 21，同理可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋k 22，3k 22－11＋k 22.∴S 2＝12|MD||ME|＝121＋k 211＋k 22|16k 1k 2|（1＋k 21）（1＋k 22）. S 1S 2＝λ＝（1＋k 21）（1＋k 22）16＝2＋1k 21＋k 2116≥14. 故λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.14．解：(1)设A(x 0，x 20)，则切线斜率k ＝2x 0. 依题意有2x 0＝2，x 0＝1，所以切点A 的坐标为(1，1)，切线m 的方程为y ＝2x －1.(2)设P(s ，t)，切点B(x 1，x 21)，C(x 2，x 22)． ∵y ′＝2x ，∴切线PB ，PC 的方程分别是y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22，得交点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧s ＝x 1＋x 22，t ＝x 1x 2.∵点P 在直线l ：y ＝2x －2上，∴t ＝2s －2.又∵直线BC 的方程为y ＝(x 1＋x 2)x －x 1x 2＝2sx －t ，∴点A(1，1)到直线BC 的距离d ＝|2s －1－t|1＋4s 2＝11＋4s2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sx －t ，y ＝x 2，化简得x 2－2sx ＋t ＝0， |BC|＝1＋4s 2|x 1－x 2|.∴S △ABC ＝12|BC|d ＝12|x 1－x 2|，又由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x －1，解得交点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋12，x 1，同理可得交点F ⎝⎛⎭⎫x 2＋12，x 2， ∴|EF|＝52|x 1－x 2|，∴S △ABC |EF|＝55.。

2017年高考全国新课标数学文大二轮复习检测应试技能专

三、压轴题专练(一)1．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线x ＋3y ＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NF 恰好为△PNQ 的内角平分线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知F (－c,0)， ∵e ＝12，∴b ＝3c ，即B (0，3c )， ∵k BF ＝3c0－(－c )＝3，又∵BC ⊥BF ，∴k BC ＝－33，∴C (3c,0)，圆M 的圆心坐标为(c,0)，半径为2c ，由直线x ＋3y ＋3＝0与圆M 相切可得|c ＋3|1＋(3)2＝2c ，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足条件的点N (x 0,0)由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵NF 为△PNQ 的内角平分线， ∴k NP ＝－k NQ ，即y 1x 1－x 0＝－y 2x 2－x 0，∴k (x 1＋1)x 1－x 0＝－k (x 2＋1)x 2－x 0⇒(x 1＋1)(x 2－x 0)＝－(x 2＋1)(x 1－x 0)．∴x 0＝x 1＋x 2＋2x 1x 2x 1＋x 2＋2.又⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，∴3x 2＋4k 2(x ＋1)2＝12.∴(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∴x 0＝－8k 23＋4k 2＋8k 2－243＋4k 22－8k 23＋4k 2＝－4， ∴存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(－4,0)． 2．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx ，当m ≤0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．当m >0时，f ′(x )＝(x ＋m )(x －m )x ，当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上：当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x >0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－(x －1)(x －m )x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，0<x <1或x >m 时，F ′(x )<0；1<x <m 时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln (2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．当0<m <1时，0<x <m 或x >1时，F ′(x )<0；m <x <1时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m <0，所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )>0，而F (2m ＋2)＝－m ln (2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.①直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； ②设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． (2)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .①若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值． ②在①的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围．解 (1)①直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. ②∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋3≥1>0， ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522. (2)①∵|2x －a |＋2a ≤6，∴|2x －a |≤6－2a ， ∴2a －6≤2x －a ≤6－2a ， ∴32a －3≤x ≤3－a2，∵不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a －3＝－6，3－a 2＝4，解得a ＝－2.②由①得f (x )＝|2x ＋2|－4. ∴|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5，化简整理得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1，y ＝g (x )的图象如图所示，要使不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，需k 2－1>2或k 2－1≤－1，∴k 的取值范围是{k |k >3或k <－3或k ＝0}．(二)1．[2016·西安质检] 如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则P A ，PB 的斜率互为相反数，可设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线P A 的方程为：y －3＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k 2.同理可得：x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36.2．[2016·河南六市一联]已知函数f (x )＝a ln x －x ，g (x )＝x 2－(1－a )x －(2－a )ln x ，其中a ∈R .(1)若g (x )在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象交x 轴于A ，B 两点，AB 中点的横坐标为x 0，问：函数F (x )的图象在点(x 0，F (x 0))处的切线能否平行于x 轴？解 (1)g ′(x )＝2x －(1－a )－2－a x ＝2x 2－(1－a )x －(2－a )x， ∵g (x )的定义域为{x |x >0}，且g (x )在其定义域内为增函数， ∴g ′(x )≥0在x >0时恒成立，则2x 2－(1－a )x －(2－a )≥0在x >0时恒成立，∴a ≥5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋1)＋1x ＋1在x >0时恒成立．而当x >0时，2(x ＋1)＋1x ＋1>3，∴a ∈[2，＋∞)．(2)设F (x )的图象在(x 0，F (x 0))处的切线平行于x 轴，F (x )＝2ln x －x 2－ax ，F ′(x )＝2x －2x －a ，不妨设A (m,0)，B (n,0)，0<m <n ，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln m －m 2－am ＝0， ①2ln n －n 2－an ＝0， ②m ＋n ＝2x 0， ③2x－2x 0－a ＝0， ④①－②得2ln mn －(m ＋n )(m －n )＝a (m －n )， ∴a ＝2ln m n m －n －2x 0，由④得a ＝2x 0－2x 0，∴ln m n ＝2(m －n )m ＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m n －1m n ＋1，⑤设t ＝mn ∈(0,1)，⑤式可变为ln t －2(t －1)t ＋1＝0(t ∈(0,1))．设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，h ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t ＋1)2－4tt (t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0(t ∈(0,1))， ∴函数h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1在(0,1)上单调递增，因此h (t )<h (1)＝0，也就是ln m n <2⎝ ⎛⎭⎪⎫m n －1m n ＋1，此式与⑤矛盾．∴F (x )的图象在点(x 0，F (x 0))处的切线不能平行于x 轴． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数)．①若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； ②若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长． (2)选修4－5：不等式选讲已知定义在R 上的连续函数f (x )满足f (0)＝f (1)． ①若f (x )＝ax 2＋x ，解不等式|f (x )|<ax ＋34；②若任意x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.解 (1)①直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程： 4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x ，可得y 2＋3y －m ＝0，因为直线l 和曲线C 恰好有一个公共点，所以Δ＝9＋4m ＝0，所以m ＝－94.②当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x ，可得4x 2－17x ＋4＝0，设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为 |AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254.(2)①f (0)＝f (1)，即a ＋1＝0，即a ＝－1，所以不等式化为|－x 2＋x |<－x ＋34.a ．当x <0时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，所以－32<x <0；b ．当0≤x ≤1时，不等式化为－x 2＋x <－x ＋34，所以0≤x <12； c ．当x >1时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，所以x ∈∅.综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <12. ②证明：由已知任意x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2，则不妨设x 2>x 1，则当x 2－x 1≤12时，|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|≤12，当x 2－x 1>12时，则x 1<12，且1－x 2<12，那么|f (x 1)－f (x 2)|＝|f (x 1)－f (0)＋f (1)－f (x 2)|≤|f (x 1)－f (0)|＋|f (1)－f (x 2)|<x 1－0＋1－x 2＝1－(x 2－x 1)<12.(三)1．[2016·郑州质检]已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点，C ，D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为－1时，求线段AB 的长．解 (1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意可得，(x ＋1)2＋y 2＝ 3(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3.(2)由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解之得t ＝0或t ＝3，又C ，D 两点均在x 轴下方，所以直线CD ：y ＝－x .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝－x ，解得⎩⎨⎧x ＝1－22，y ＝22－1或⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝－22－1.不失一般性，可设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，－22－1，AC ：y ＝u (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝u (x －1)，消y 得：(u 2＋1)x 2－2(u 2＋2)x ＋u 2＋1＝0，①方程①的两根之积为1，所以点A 的横坐标x A ＝2＋2，又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1在直线l 1：x －my －1＝0上，解得m ＝2＋1，直线l 1：y ＝(2－1)(x －1)，所以A (2＋2，1)，同理可得B (2－2，1)，所以线段AB 的长为2 2. 2．[2016·唐山统考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －ax ＋1(x ≥a )，e x －1＋(a －2)x (x <a )(a >0)．(1)若a ＝1，证明：y ＝f (x )在R 上单调递减； (2)当a >1时，讨论f (x )零点的个数．解 (1)证明：当x ≥1时，f ′(x )＝1x －1≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0；当x <1时，f ′(x )＝e x －1－1<0，f (x )在(－∞，1)上单调递减，且此时f (x )>0.所以y ＝f (x )在R 上单调递减．(2)若x ≥a ，则f ′(x )＝1x －a ≤1a －a <0(a >1)，所以此时f (x )单调递减，令g (a )＝f (a )＝ln a －a 2＋1，则g ′(a )＝1a －2a <0，所以f (a )＝g (a )<g (1)＝0，(另解：f (a )＝ln a －a 2＋1<ln a －a ＋1<0，事实上，令h (a )＝ln a －a ＋1，h ′(a )＝1a －1<0，h (a )<h (1)＝0)即f (x )≤f (a )<0，故f (x )在[a ，＋∞)上无零点．当x <a 时，f ′(x )＝e x －1＋a －2， ①当a >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，又f (0)＝e －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a <0，所以此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a，0上有一个零点．②当a ＝2时，f (x )＝e x －1，此时f (x )在(－∞，2)上没有零点． ③当1<a <2时，令f ′(x 0)＝0，解得x 0＝ln (2－a )＋1<1<a ，所以f (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，a )上单调递增．f (x 0)＝e x 0－1＋(a －2)x 0＝e x 0－1(1－x 0)>0，所以此时f (x )没有零点．综上，当1<a ≤2时，f (x )没有零点；当a >2时，f (x )有一个零点． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y轴交于点P .①求曲线C 的直角坐标方程； ②求1|P A |＋1|PB |的值． (2)选修4－5：不等式选讲已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R .①求m ，n 的值；②若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 解 (1)①利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程 ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴普通方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2.②∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t代入曲线C 的普通方程 (x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1·t 2＝－1，t 1＋t 2＝1， ∴1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝12－4×(－1)＝ 5.(2)①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧|9＋3m ＋n |≤0，|1－m ＋n |≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝0，1－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3，故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．(四)1．[2016·石家庄模拟]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点M (m,2)，其焦点为F ，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：(x －1)2＋y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 过定点．解 (1)抛物线C 的准线方程为x ＝－p 2， ∴|MF |＝m ＋p2＝2，又4＝2pm ，即4＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2， ∴p 2－4p ＋4＝0，∴p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设点E (0，t )(t ≠0)，由已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y 2＝4x ，消去y ，可得k 2x 2＋(2kt －4)x ＋t 2＝0，①∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝(2kt －4)2－4k 2t 2＝0，即kt ＝1，代入 ①可得1t 2x 2－2x ＋t 2＝0，∴x ＝t 2，即A (t 2,2t )．设切点B (x 0，y 0)，则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝－tx ＋t 对称，则⎩⎨⎧y 0x 0×t －00－1＝－1，y2＝－t ·x02＋t ，解得⎩⎨⎧x 0＝2t 2t 2＋1，y 0＝2tt 2＋1，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2t 2＋1，2t t 2＋1.解法一：直线AB 的斜率为k AB ＝2tt 2－1(t ≠±1)，直线AB 的方程为y ＝2tt 2－1(x －t 2)＋2t ，整理得y ＝2tt 2－1(x －1)，∴直线AB 恒过定点F (1,0)，当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时直线AB 为x ＝1，过点F (1,0)．综上，直线AB 恒过定点F (1,0)．解法二：直线AF 的斜率为k AF ＝2tt 2－1(t ≠±1)，直线BF 的斜率为k BF ＝2tt 2＋1－02t 2t 2＋1－1＝2tt 2－1(t ≠±1)，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时A ，B ，F 三点共线． ∴直线AB 过定点F (1,0)．2．[2016·贵州测试]设n ∈N *，函数f (x )＝ln x x n ，函数g (x )＝exx n (x >0)．(1)当n ＝1时，求函数y ＝f (x )的零点个数；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象分别位于直线y ＝1的两侧，求n 的取值集合A ；(3)对于∀n ∈A ，∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，求|f (x 1)－g (x 2)|的最小值．解 (1)当n ＝1时，f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)．由f ′(x )>0得0<x <e ；由f ′(x )<0得x >e.所以函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因为f (e)＝1e >0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e<0，所以函数f (x )在(0，e)上存在一个零点；当x ∈(e ，＋∞)时，f (x )＝ln xx >0恒成立，所以函数f (x )在(e ，＋∞)上不存在零点．综上得函数f (x )在(0，＋∞)上存在唯一一个零点． (2)对函数f (x )＝ln xx n 求导，得f ′(x )＝1－n ln x xn ＋1(x >0)，由f ′(x )>0，得0<x <e1n；由f ′(x )<0，得x >e1n .所以函数f (x )在(0，e1n )上单调递增，在(e1n ，＋∞)上单调递减，则当x ＝e1n时，函数f (x )有最大值f (x )max ＝f (e1n )＝1n e .对函数g (x )＝e xx n (x >0)求导，得g ′(x )＝(x －n )e xx n ＋1(x >0)，由g ′(x )>0，得x >n ；由g ′(x )<0，得0<x <n .所以函数g (x )在(0，n )上单调递减，在(n ，＋∞)上单调递增，则当x ＝n 时，函数g (x )有最小值g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n .因为∀n ∈N *，函数f (x )的最大值f (e1n )＝1n e<1，即函数f (x )＝ln xx n 在直线y ＝1的下方，故函数g (x )＝e xx n (x >0)在直线y ＝1的上方，所以g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n>1，解得n <e.所以n 的取值集合A ＝{1,2}．(3)对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－g (x 2)|的最小值等价于g (x )min －f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n －1n e .当n ＝1时，g (x )min －f (x )max ＝e －1e ；当n ＝2时，g (x )min －f (x )max ＝e 24－12e ；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24－12e ＝e 2(4－e )－24e >0，所以|f (x 1)－g (x 2)|的最小值为e 24－12e ＝e 3－24e .3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，y ＝sin2α＋1(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.①求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； ②求曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值． (2)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －2a |.①当a ＝1时，求不等式f (x )>2的解集；②若对任意x ∈R ，不等式f (x )≥a 2－3a －3恒成立，求a 的取值范围．解 (1)①x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝(sin α＋cos α)2＝sin2α＋1＝y ，所以C 1的普通方程为y ＝x 2.将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入C 2的方程得x 2＋y 2＝4y －3，所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＋3＝0.②将x 2＋y 2－4y ＋3＝0变形为x 2＋(y －2)2＝1，它的圆心为C (0,2)．设P (x 0，y 0)为C 1上任意一点，则y 0＝x 20，从而|PC |2＝(x 0－0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 20－2)2＝x 40－3x 20＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x 20－322＋74，所以当x 20＝32时，|PC |min ＝72，故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值为72－1. (2)①当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.当x ≤1时，f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x ，此时由f (x )>2得x <12；当1<x ≤2时，f (x )＝x －1＋2－x ＝1，此时f (x )>2无解；当x >2时，f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3，此时由f (x )>2得x >52. 综上可得不等式f (x )>2的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.②因为f (x )＝|x －a |＋|x －2a |≥|(x －a )－(x －2a )|＝|a |，故f (x )取得最小值|a |，因此原不等式等价于|a |≥a 2－3a －3.当a ≥0时，有a ≥a 2－3a －3，即a 2－4a －3≤0，解得2－7≤a ≤2＋7，此时有0≤a ≤2＋7. 当a <0时，有－a ≥a 2－3a －3，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3，此时有－1≤a <0. 综上可知a 的取值范围是[－1,2＋7]．。

2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练专题二不等式、函数与导数第4讲特训13题Word版含答案

第一部分专题二第4讲1．(2016·浙江杭州调考)函数f (x )＝3x 2＋1n x －2x 的极值点的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：由题意，知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x .由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的判别式Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．故选A ．2．(2016·湖北武汉二月调考)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝( A )A ．－1B ．12C ．－2D ．2解析：∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )·cos x sin 2x ＝－1－cos xsin 2 x ， ∴y ′|x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.故选A ．3．(2016·河南郑州质量预测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.4．(湖北部分重点中学)已知函数f (x )的导函数是f ＇(x ),且满足关系式f (x )=x 2+ 3xf ＇(2)+ln x,则f ＇(2)的值等于（ C ）A ．－2B ．2C ．－D ．解析：因为f (x )=x 2+3x (2)+ln x ，所以(x )=2x +3(2)+，所以(2)=2×2+3(2)+，解得(2)=.故选C.5．(2016·河北石家庄模拟)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a 1n x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( B )A ．1B ．2C ．0 D. 2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.故选B.6. 在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示,则关于x 的不等式x · f ′(x )＜0的解集为 ( A )A. (-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)解析：(1)当x ∈(-∞,-1)和x ∈(1,+∞)时,f (x )是增函数, ∴f ′(x )＞0.由x ·f ′(x )<0得x ＜0, ∴x ·f ′(x )＜0的解集是(-∞,-1). (2)当-1＜x ＜1时,f (x )递减,∴f ′(x )＜0. 由x ·f ′(x )＜0,得x ＞0,∴0＜x ＜1. 故x ·f ′(x )＜0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).7．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为16.解析：曲线y ＝x 2与y ＝x 的交点为(0,0)，(1,1)，则两图形围成的封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 8．(2016·辽宁沈阳调考)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为__－4__.解析：f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a .又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝－1×4＝－4.9．(2016·福建福州调考)设函数f (x )＝1n x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a的取值范围为(－1，＋∞)．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x .①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是(－1，＋∞)．10．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为(1,1)．解析：∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，则有k 1k 2＝－1，即1·(－1x 20)＝－1，解得x 20＝1. 又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．11．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b ＞2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.解析：设f (x )＝x 3＋ax ＋b .当a ＝－3，b ＝－3时，f (x )＝x 3－3x －3，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )>0，得x >1或x <－1；令f′(x)<0，得－1<x<1，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，又f(－1)＝－1，f(1)＝－5，故方程f(x)＝0只有一个实根，故①正确．当a＝－3，b＝2时，f(x)＝x3－3x＋2，易知f(x)在(－∞，－1)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，在(1，－∞)上为增函数，又f(－1)＝4，f(1)＝0，x→－∞时，f(x)→－∞，从而方程f(x)＝0有两个根，故②错．当a＝－3，b>2时，f(x)＝x3－3x＋b，易知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋b>0，极小值为f(1)＝b－2>0，x→－∞时，f(x)→－∞，故方程f(x)＝0有且仅有一个实根，故③正确．当a＝0，b＝2时，f(x)＝x3＋2，显然方程f(x)＝0有且仅有一个实根，故④正确．当a＝1，b＝2时，f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x3＋1>0，则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，易知f(x)的值域为R，故f(x)＝0有且仅有一个实根，故⑤正确．综上，正确条件的编号有①③④⑤.12．(2016·河南郑州质检)设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)＞x2，则不等式(x＋2 015)2f(x＋2 015)－4f(－2)＞0的解集为_(－∞，－2_017)．解析：由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0得2xf(x)＋x2f′(x)<x3，∴[x2f(x)]′<x3<0.令F(x)＝x2f(x)(x<0)，则F′(x)<0(x<0)，即F(x)在(－∞，0)上是减函数，因为F(x＋2 015)＝(x＋2 015)2f(x ＋2 015)，F(－2)＝4f(－2)，所以不等式(x＋2 015)2f(x＋2 015)－4f(－2)>0 即为F(x＋2 015)－F(－2)>0，即F(x＋2 015)>F(－2)，又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以x＋2 015<－2，∴x<－2 017.。

2017届高考数学(文)二轮复习专题能力提升练练五Word版含解析

① l∥平面 ABCD ② l ⊥ AC ③直线 l 与平面 BCC1B1 不垂直 ④当 x 变化时， l 不是定直线．
其中不成立的结论是 __________ ．(写出所有不成立结论的序号 ) 解析：连接 BD， B1D 1，∵ A1P＝ A1Q＝ x， ∴ PQ∥ B1D 1∥ BD∥ EF，易证 PQ∥平面 MEF ，又平面 MEF ∩平面 MPQ ＝ l，∴ PQ∥l ， l∥ EF ， ∴ l∥平面 ABCD ，故①成立；又 EF⊥ AC，∴ l ⊥ AC，故②成立； ∵ l∥ EF ∥ BD，∴易知直线 l 与平面 BCC1B1 不垂直，故③成立；当 x 变化时， l 是过点 M 且与直线 EF 平行的定直线，故④不成立．答案： ④
置关系不确定，所以 D 错误，故选 C. 答案： C
4．将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 进行翻折，使翻折后两部分所在的平面互相垂直，则翻折后形成的空间四面体 ABCD 的内切球的半径为 ( )
6 A. 2－ 2
B. 6－ 1 2
2 C．1－ 2
D． 1
解析：由题意可知翻折后形成的空间四面体
命题正确的是 __________ ． (写出所有正确命题的序号 )
①当 x＝ 0 时， S 为矩形，其面积的最大值为 1 ②当 x＝ y＝ 12时， S 为等腰梯形 ③当
x＝12， y＝ 34时， S 为六边形 ④当 x＝ 12， y∈ 12， 1 时，设 S 与棱 C1D 1 的交点为 R，则 RD1
再取 PQ 的中点 O，可得点 O 到 A，B， C， A1， B1，C1 的距离相等，
∴点 O 是三棱柱 ABC－A1B1C1 的外接球的球心．
∵在
Rt△ OPB

安徽新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十七)(含答案详析)

专题限时集训(十七)[第17讲概率](时间：45分钟)1．投掷两颗骰子，(m ＋ni)2是纯虚数的概率是( )A.13B.14C.16D.1122．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n)，q ＝(3，6)，则向量p 与q 共线的概率为( )A.13B.14C.16D.1123．从集合{1，2，3，4}中随机取一个元素a ，从集合{1，2，3}中随机取一个元素b ，则a>b 的概率是( )A.512B.12C.712D.234．从1，3，5，7这四个数中随机地取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为________．5．设a ，b 随机取自集合{1，2，3}，则直线ax ＋by ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率是________．6．甲、乙两人需安排值班，周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是7个点中任取3个为顶点画三角形，则画出的三角形恰为等边三角形的概率为( )A.120B.110C.19D.158．已知函数f(x)＝ax ＋1x －1＋1(x>1)，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任取的一个数，则f(x)>b 恒成立的概率为( )A.12B.23C.34D.569．6名外语翻译者中有4人会英语，另外2人会俄语．现从中抽出2人，则抽到英语，俄语翻译者各1人的概率等于________． 10．从边长为1的正方形的中心和四个顶点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离是22的概率为________． 11．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，若记向量a ＝(m ，n)与向量b ＝(1，－2)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．12．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个小球．现从这个盒子中，有放回地先后抽得两个小球的标号分别为x ，y ，设O 为坐标原点，M 的坐标为(x －2，x －y)．(1)求|OM →|2的所有取值之和；(2)求事件“|OM →|2取得最大值”的概率．13．公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X 毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X ≥80时，认定为醉酒驾车，重庆市公安局交通管理部门在对G42高速路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X(单位：毫克)的统计结果如下表：(1)求t 的值；(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率．14．为了了解2013年某校高三学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为(3.9，4.2]，(4.2，4.5]，…，(5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：(1)(2)从样本中视力在(3.9，4.2]和(5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．专题限时集训(十七)1．C [解析] 当m ＝n 时，(m ＋ni)2是纯虚数，所以其概率为16. 2．C [解析] 后一个正方形的面积是前一个的12，故第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18.故所求的概率为18. 3．D [解析] 投中阴影区域的概率P ＝38. 4.14[解析] 从1，3，5，7这四个数中随机地取出两个数组成一个两位数，共有12种取法．若组成的两位数是5的倍数，则个位数应为5，所以有3种．故组成的两位数是5的倍数的概率为14. 5.59[解析] 若直线ax ＋by ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，则|3|a 2＋b 2≤1，即a 2＋b 2≥9.当a ＝1时，b 2≥8，此时b ＝3，有1组；当a ＝2时，b 2≥5，此时b ＝3，有1组；当a ＝3时，b 2≥0，此时b ＝1，2，3，有3组．所以满足条件的a ，b 组合共有5组，a ，b 所有的组合有9组．故满足条件的概率为59. 6.13[解析] 甲、乙两人值班四天，每人两天，共有6种不同的方法：(甲值周一、周二，乙值周三、周四)，(甲值周一、周三，乙值周二、周四)，(甲值周一、周四，乙值周二、周三)，(甲值周二、周三，乙值周一、周四)，(甲值周二、周四，乙值周一、周三)，(甲值周三、周四，乙值周一、周二)．其中不出现同一人连续值班的情况有两种：(甲值周一、周三，乙值周二、周四)，(甲值周二、周四，乙值周一、周三)．因此所求概率为P ＝26＝13. 7．B [解析] 在6个点中选3个点画三角形有20种画法(注意没有三点共线)，其中等边三角形只有2个，所以所求概率是110. 8．D [解析] a ，b 的不同选取方式共有12种．f(x)＝a(x －1)＋1x －1＋a ＋1≥2 a ＋a ＋1>b. 当a ＝1时，b ＝2，3；当a ＝2时，b ＝2，3，4，5；当a ＝3时，b ＝2，3，4，5.因此满足f(x)>b 恒成立的a ，b 的不同取值共有2＋4＋4＝10种结果．所以f(x)>b 的概率为P ＝1012＝56. 9.815[解析] 从6人中抽2人共有15种抽法，而抽到英语、俄语翻译者各1人的方法有8种，所以P ＝815. 10.25 [解析] 从5点中取2点形成的线段共有10条，而其中距离为22的有4条，所以P ＝410＝25. 11.16[解析] 连掷两次骰子得到的点数记为(m ，n)，其结果有36种情况．若向量a ＝(m ，n)与向量b ＝(1，－2)的夹角θ为锐角，则⎩⎪⎨⎪⎧m －2n>0，－2m －n ≠0，满足这个条件的有6种情况．故θ为锐角的概率是16. 12．解：(1)∵x ，y 可能的取值为1，2，3，∴(x －2，x －y)的所有可能取值为(－1，0)，(－1，－1)，(－1，－2)，(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，2)，(1，1)，(1，0)，共9种．由|OM→|2＝(x －2)2＋(x －y)2可知|OM →|2的所有可能值为0，1，2，5.故|OM →|2的所有可能取值之和为8.(2)由于|OM →|2取最大值5时，x ，y 的取值为(1，3)，(3，1)，共2种，故事件“|OM →|2取得最大值”的概率为29. 13．解：(1)t ＝200－5＝195.(2)设酒后驾车的司机分别为A ，B ，C ，醉酒驾车的司机分别为a ，b.抽取2人的可能为(A ，B)，(A ，C)，(A ，a)，(A ，b)，(B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(C ，a)，(C ，b)，(a ，b)，则含有醉酒驾车司机的概率为710. 14．解：(1)由表可知，样本容量为n ，由2n ＝0.04，得n ＝50，则x ＝25n＝0.5， y ＝50－3－6－25－2＝14，z ＝y n ＝1450＝0.28. (2)设样本视力在(3.9，4.2]的3人为a ，b ，c ，在(5.1，5.4]的2人为d ，e.由题意从5人中任取两人的基本事件有(a ，d)，(a ，e)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，(d ，e)，共有10个基本事件．设事件A 表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 等价于“抽取两人来自同一组”，其包含的基本事件有(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，(d ，e)，共有4个基本事件．∴P(A)＝410＝25，故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25.。

高三数学二轮复习高考小题标准练(十七)理新人教版(2021年整理)

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高考小题标准练(十七）满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知R是实数集，M=，N={y｜y=+1｝，则N∩(R M）=( ）A.（1，2）B。

[0，2] C.∅ D.[1，2］【解析】选D.因为<1,所以〉0，所以x<0或x〉2，所以M={x|x〈0或x>2｝.因为y=+1≥1,所以N=｛y｜y≥1},所以N∩(M）=[1，2］.2。

设i是虚数单位，复数z=1+为（)A。

1+i B。

1-i C。

-1+i D。

—1—i【解析】选B。

复数z=1+=1+=1—i.3。

袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个,如果不放回地依次取出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A。

B。

C.D。

【解析】选C.因为第一次摸到红球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为×=,所以所求概率为p==。

4.已知双曲线C：-=1（a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( ) A。

y=±x B。

y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C。

江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷文科数学(四)(解析版)

2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷文科数学(四)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.集合，，则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合和集合，求出集合的补集，即可求得.【详解】∵集合∴∵集合∴∵∴∴故选C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．2.2.等比数列中，，则公比（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数列为等比数列及，即可求得公比.【详解】∵数列为等比数列，∴∴故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.3.3.命题若为第一象限角，则; 命题函数有两个零点，则（）A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】对于命题，取，即可判断命题为假命题；对于命题，分别画出函数与函数的图象，即可判断命题的真假，再根据复合命题的真值表判断即可．【详解】对于命题：若，则，此时，故为假命题；对于命题：画出函数与函数的图象，如图所示：由图像可知，有3个交点，故为假命题.∴为假命题，为假命题，为真命题，为假命题故选C.【点睛】本题主要考查复合命题的真假，意在考查学生对复合命题知识的掌握水平.复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.4.4.已知复数满足关于的方程，且的虚部为1，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可设复数，代入方程，根据待定系数法即可求得的值，从而可得.【详解】∵复数满足关于的方程，且的虚部为1∴设复数，则.∴∴，∴，即.故选A.【点睛】本题考查复数及一元二次方程的应用，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运输技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点、共轭为.5.5.函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数图象的平移规律：在上的变化符合“左加右减”，在上的变化符合“上加下减”.再根据复合函数的单调性即可得出结论.【详解】将函数向右平移1个单位，得到函数为，再向上平移2个单位可得函数为.根据复合函数的单调性可知在上为单调减函数，且恒过点，故C正确.故选C.【点睛】本题主要考查函数的“平移变换”.解答本题的关键是掌握函数的平移规律“左加右减，上加下减”，属于基础题.6.6.函数的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式将函数转化为，再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间，对照各选项即可得到答案.【详解】∵∴令，得.取，得函数的一个单调递增区间是.故选B.【点睛】函数的性质：（1），；（2）周期为；（3）由求对称轴；（4）由求增区间，由求减区间.7.7.三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心【答案】C【解析】【分析】先画出图形，过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接，可推出，结合，根据线面垂直定理，得证，同理可证，从而可得出结论．【详解】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.又，平面又平面，同理是三角形的垂心.故选C.【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.8.8.等差数列中，，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由等差数列的性质知：，时，成立，即充分性成立，反之：等差数列为常数列，对任意成立，即必要性不成立.故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件；二是由条件能否推得条件.9.9.已知光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图形，求得点关于线段的对称点，要使反射光线与圆相切，只需射线与圆相切即可，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】如图，关于对称点，要使反射光线与圆相切，只需使得射线与圆相切即可，而直线的方程为：，直线为：.由，得，结合图象可知：.故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，解答本题的关键是通过数形结合，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，通过图象判断参数的取值范围.10.10.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据方差公式，将其化简得，结合流程图得循环结束，可得，从而可得，从而可得出答案.【详解】由，循环退出时，知.，故程序框图①中要补充的语句是.【点睛】把茎叶图与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了高考中对创新能力的考查要求．算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系密切，既直观、易懂，又需要一定的逻辑思维及推理能力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．11.11.函数在内存在极值点，则（）A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】求函数在内存在极值点的的的取值范围转化为求函数在无极值点时的的取值范围，然后求其补集，即可得出答案.【详解】若函数在无极值点，则或在恒成立.①当在恒成立时，时，，得；时，，得；②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或.∴在在存在极值.【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值. 12.12.已知函数，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标，且在单调，则的最大值是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，即，根据，可推出，再根据在单调，可推出，从而可得的取值范围，再通过检验的这个值满足条件．【详解】∵，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标∴，即.又∵，∴又∵在单调∴又∵当，时，，由是函数最小值点横坐标知，此时，在递减，递增，不满足在单调，故舍去；当，时，由是函数最小值点横坐标知，此时在单调递增，故. 故选B．【点睛】对于函数，如果它在区间上单调，那么基本的处理方法是先求出单调区间的一般形式，利用是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用和不等式组有解确定整数的取值即可.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.13.设满足，则的最大值为__________.【答案】12【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出不等式组可行域如图所示：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时，取得最大值12.故答案为12.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.14.矩形中，，，点为线段的中点，在线段（含端点）上运动，则的最小值是_________.【答案】-8【解析】【分析】以为原点，建立直角坐标系，可得，设，表示出，从而可得的最小值.【详解】以为原点，如图建立直角坐标系：则.设.∴∴，当或时，取得最小值.故答案为.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单.15.15.如图为某几何体的三视图，主视图与左视图是两个全等的直角三角形，直角边分别为与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为__.【答案】【解析】【分析】由已知的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，底面为腰长为1的等腰直角三角形，即可直接求出最长边长. 【详解】由三视图还原几何体如图所示：该几何体还原实物图为三棱锥，为腰长为1的等腰三角形，平面，则，. ∴最长边为故答案为.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.16.16.设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，根据双曲线的定义可得，结合圆的性质，从而推出内切圆圆心为，根据内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，可得出不等式，结合，即可求得离心率的取值范围.【详解】根据题意，不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，如图所示：∵∴在双曲线上，故内切圆圆心为，半径为∴圆心到渐近线的距离是∴弦长依题得，即.∴∴∵∴，同时除以得∴故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.17.在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求多面体的体积.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连接，根据分别是的中点，可推出，从而推出平面平面，即可得证平面；（Ⅱ）连接，设交于点，则，结合平面平面，即可推出平面，将多面体分解为四棱锥和四棱锥，求出梯形的面积，从而可得多面体的体积.【详解】（Ⅰ）取中点，连接.∵分别是的中点∴又∵∴平面，平面又∵平面平面又平面∴平面.（Ⅱ）连接，设交于点.又平面平面，平面平面平面多面体可以分解为四棱锥和四棱锥在菱形中，且知：.设梯形的面积为，则.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．18.18.某电视节目为选拔出现场录制嘉宾，在众多候选人中随机抽取100名选手，按选手身高分组，得到的频率分布表如图所示.（Ⅰ）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为选拔出舞台嘉宾，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、5组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视节目主持人会在上台6人中随机抽取2人表演节目，求第4组至少有一人被抽取的概率？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）3人，2人，1人；（Ⅲ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用分层抽样原理，求出各小组应抽取的人数；（Ⅲ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【详解】（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为人，第3组的频率为频率分布直方图:（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名观众，所以利用分层抽样.在60人中抽取6人，每组人数为：3人，2人，1人；（Ⅲ）设第3组的3人分别是：；第4组的2人分别是：；第5组的1人是：.从中抽取两人的可能有：共有15种不同可能性∴第4组至少有一人被抽取的概率.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适应于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.19.19.各项均为正数的数列满足：是其前项的和，且.数列满足，. （Ⅰ）求及通项；（Ⅱ）求数列的通项.【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据，分别令，，，即可求得的值，列出当时，，根据，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，利用累加及错位相减法即可求得数列的通项公式.【详解】（Ⅰ）在中，令得；令得；令得；当时，故①②得，即数列是等差数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：记，则两式相减得，又也符合，，即【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.20.已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，可求得，从而可得相同的焦点的坐标，结合，即可求得与，从而可得椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，，当时，求出，当时，直线的方程为，结合韦达定理及弦长公式求得及，表示出，通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值.【详解】（Ⅰ）抛物线：一点，即抛物线的方程为，又在椭圆：上，结合知（负舍），，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，①当时，，直线的方程，，故②当时，直线的方程为，由得.由弦长公式知.同理可得..令，则，当时，，综上所述：四边形面积的最小值为8.【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.21.21.已知函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）对函数求导，讨论当时，时，时，时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【详解】（Ⅰ）由题，（1）当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增；（2）当时，故时，,函数单调递增，时，,函数单调递减，时，,函数单调递增；（3）当时，恒成立，函数单调递增；（4）当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增；（Ⅱ）当时，有唯一零点不符合题意；由（Ⅰ）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，时，；时，，必有两个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，,函数至多有一个零点；当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，，函数至多有一个零点；综上所述：当时，函数有两个零点.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.22.在直角坐标系中，圆的方程为（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且具有相同单位长建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程为（其中为参数），若直线与交于两点，求中点到的距离．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把圆的标准方程化为一般方程，由此利用，即可求出的极坐标方程；（Ⅱ）根据直线的参数方程可得当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入到圆，设对应的参数为，根据韦达定理，即可求得.【详解】（Ⅰ）由圆的方程为知：是圆的极坐标方程.（Ⅱ）直线的参数方程为，当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入圆：得，设对应的参数为.中点对应的参数为【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式），先去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程转化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.23.23.已知函数 .（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不存在实数，使得不等式，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，函数，通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出即可；（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立，根据绝对值不等式的性质可得的最小值，从而通过解不等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】（Ⅰ），当时，，解得当时，，解得当时，，解得综上所述，不等式的解集为.（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立.当时，，解得当时，，解得时，不存在实数，使得不等式.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。

2017届高三数学(文)二轮(新课标)专题复习高考大题分层练2含解析

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高考大题分层练2.三角、数列、概率统计、立体几何（B 组）大题集训练,练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1。

已知函数f(x ）=cos 2(x +π3)-12,g （x ）=12sin (2x +2π3).(1)要得到y=f （x)的图象，只需把y=g （x)的图象经过怎样的变换？（2）设h （x)=f （x ）—g(x ）,求:①函数h(x)的最大值及对应的x 的值;②函数h （x)的单调递增区间。

【解析】f （x)=1+cos(2x+2π3)2-12=12cos (2x +2π3)。

(1)因为f （x ）=12cos (2x +2π3)=12sin [2(x +π4)+2π3],所以将y=g （x ）的图象向左平移π4个单位得到y=f(x)的图象。

(2)h(x)=f(x ）—g(x ）=12cos (2x +2π3)—12sin (2x +2π3)=√22cos (2x +2π3+π4)=√22cos (2x +11π12). ①h(x)max =√22。

当2x+11π12=2k π(k ∈Z),即x=k π—11π24(k ∈Z)时取最大值.②由2k π—π≤2x+11π12≤2k π，k ∈Z ，解得k π-23π24≤x ≤k π—11π24，k ∈Z ，所以递增区间为[k π−23π24,kπ−11π24](k ∈Z ）。

2.已知数列｛b n ｝为单调递增的等差数列,b 3+b 8=26,b 5b 6=168,设数列｛a n｝满足2a1+22a2+23a3+…+2n a n=2b n。

(1)求数列{b n｝的通项。

(2)求数列{a n｝的前n项和S n.【解析】（1）设等差数列｛b n}的公差为d,因为数列{b n}为单调递增的等差数列,所以d>0。

高三数学文科二轮试卷答案

一、选择题1. 答案：D解析：本题考查函数的周期性。

根据周期函数的定义，若存在正数T，使得对于任意x，都有f(x+T) = f(x)，则函数f(x)是周期函数。

由于正弦函数的周期为2π，故选D。

2. 答案：A解析：本题考查数列的通项公式。

根据等差数列的定义，若数列{an}满足an+1 -an = d，则d为公差。

由题意得，a1 = 1，d = 3，故an = 1 + (n-1)×3 = 3n - 2。

因此，选A。

3. 答案：B解析：本题考查复数的运算。

复数a + bi的模长为√(a² + b²)。

由题意得，|a + bi| = √(1² + 2²) = √5，故选B。

4. 答案：C解析：本题考查三角函数的性质。

由题意得，sin(α + β) = sinαcosβ +cosαsinβ，代入α = 60°，β = 30°，得sin(60° + 30°) = sin60°cos30° + cos60°sin30° = (√3/2)×(√3/2) + (1/2)×(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1。

因此，选C。

5. 答案：A解析：本题考查向量共线定理。

若向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)共线，则存在实数λ，使得a = λb。

由题意得，(2, -3) = λ(1, 2)，解得λ = -2。

因此，选A。

二、填空题6. 答案：x = 2解析：本题考查一元二次方程的解法。

根据一元二次方程的求根公式，解得x = 2。

7. 答案：1/3解析：本题考查几何概型的概率。

由题意得，点P落在扇形内的概率为扇形面积与圆的面积之比，即1/3。

8. 答案：a = 3，b = 4解析：本题考查向量的坐标运算。

由题意得，向量 a = (2, 3)，向量 b = (1, 2)，则a - b = (2 - 1, 3 - 2) = (1, 1)。

江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷文科数学(一)试题(解析版)

2017—2018学年度南昌市高三第二轮复习测试卷文科数学(一)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合A，再有得，即可得解.【详解】因为，由得，故选A．【点睛】本题主要考查了集合的表示和集合的基本关系，属于基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先根据得到z然后根据复数的坐标定义即可得出结论.详解：由题得：故z所对应的坐标为，为第四象限故选D.点睛：考查复数的四则运算和坐标表示，属于基础题.3.已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.4.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样可知抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，得，由，进而求解即可.【详解】若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，则需要分为组，每组20人，若第一组抽到的号码为，则以后每组有抽取的号码分别为，所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，此等差数列的通项公式为.由题意可知，落在区间[1521,2000]的有：.解得：.，所以编号落入区间的有（人），故选B．【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.5.已知数列为等比数列，，且是与的等差中项，则的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】由是与的等差中项，得，进而解得，代入等比数列的通项公式求解即可.【详解】由题意，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了等差中项的概念及等比数列的运算，属于简单题.6.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得，由与垂直，进而得，即可得解.【详解】因为，所以，故答案选D．【点睛】本题主要考查了数量积的运算，属于基础题.7.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在上递增，，化为，由指数函数的性质，可得，故选C.8.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，计算表面积令其等于，即可得解.【详解】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为，所以该几何体的表面积，得，故选A．【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可．9.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，，)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D【解析】【分析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积. 【详解】连接，设⊙的半径为，则，所以.由于，所以，即.所以平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，故选D．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题10.某程序框图如图所示，若输出，则判断框中为A. B.C. D.【答案】B【解析】由框图程序可知，结合循环结构的终止条件可得解【详解】由框图程序可知因为，所以所以，解得，即当时程序退出，故选B．【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，进而得最值.【详解】由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为．设，则所以当时，切线长取得最小值，此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D．【点睛】圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．12.设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得令，即与恰有3个交点，由，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】恰有3个零点，则恰有3个根，令，即与恰有3个交点，，当时，，所以在上是减函数；当时，，当时，，当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，所以故选A．【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数为奇函数，若，则的值为________.【答案】3【解析】【分析】由函数为奇函数，可得，进而可得解.【详解】因为函数为奇函数，且，，所以，所以．所以．【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，属于基础题.14.已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立，可得恒成立，故，由线性规划求最值即可.【详解】由不等式恒成立，可得恒成立，故．作出不等式组满足约束条件所对应的可行域，可得经过点时有最小值，所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.记为不超过的最大整数，如，则函数的所有零点之和为________.【答案】【解析】【分析】由，令，求导利用函数单调性可证得在上无零点，只需考虑：，，，求解即可.【详解】由题意可知： .令.有：.所以在上单调递减，有，所以在上无零点，只需考虑：，，，可得三个零点分别为，故答案为．【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.16.已知数列满足，，，则使得成立的最大值为____________.【答案】999【解析】【分析】由，得数列是首项为，公差为的等差数列，，进而可得，从而列不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以．所以．解得．故答案为：999.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数的部分图像如图所示，其中、分别为函数的一个最高点和最低点，、两点的横坐标分别为，且．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求的值．【答案】(1) 单调递增区间为;(2)1.【解析】【分析】（1）由图可知，从而可解得，再由得，又因为，可得，令，即可得解；（2）由余弦定理可得，进而得，即，所以，从而得解.【详解】（1）由图可知，所以，又因为，所以，又因为，因为，所以.所以函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）因为，由余弦定理得所以所以，当且仅当等号成立，即所以，有.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式的方法.解决问题的关键是熟练掌握各个参数的意义，代表振幅，可由图象的最小最大值确定；可由函数的周期确定；是初相，可由特殊点确定.18.某大学为了更好提升学校文化品位，发挥校园文化的教育功能特举办了校园文化建设方案征集大赛，经评委会初评，有两个优秀方案入选.为了更好充分体现师生的主人翁意识，组委会邀请了100名师生代表对这两个方案进行登记评价（登记从高到低依次为），评价结果对应的人数统计如下表：（Ⅰ）若按分层抽样从对1号方案进行评价的100名师生中抽取样本进行调查，其中等级层抽取3人，等级层抽取1人，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从对2个方案的评价为的评价表中各抽取进行数据分析，再从中选取2份进行详细研究，求选出的2份评价表中至少有1份评价为的概率.【答案】(1) ,c=20;(2).【解析】【分析】（1）根据分层抽样分别求出a，b，c的值即可；（2）对1号方案、2号方案抽取的样本容量都是4.其中，1号方案的评价表中，评价为的有3份，评价为的有1份，令其分别记为；2号方案的评价表中，评价为的有2份，评价为的有2份，令其分别记为.从中抽取2份评价表，从中抽取2份，求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由分层抽样可知，.又，所以，所以.（2）由题意，对1号方案、2号方案抽取的样本容量都是4.其中，1号方案的评价表中，评价为的有3份，评价为的有1份，令其分别记为；2号方案的评价表中，评价为的有2份，评价为的有2份，令其分别记为.从中抽取2份评价表，不同的结果为：，，，，，，，共28个.其中至少有1份评价为的所包含的不同结果为，，，共18个.故所求事件的概率为.【点睛】条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得．注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A 发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．19.如图，在斜三棱柱中，已知，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，易证得，，所以，所以，从而可证得，即可证得结论；（2）由即可得解.【详解】（1）证明：连接，在平行四边形中，由得平行四边形为菱形，所以，又，所以，所以，又，所以，所以平面平面（2）.故四棱锥的体积为.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．20.已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆在第一象限内一点，直线分别交轴、轴于两点，求四边形的面积．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）四边形的面积为.【解析】【分析】（1）根据条件可得，，从而可解得椭圆方程；（2）设点，从而有，得，所以四边形的面积为，从而可得解.【详解】（1）因为椭圆经过点，有，由等面积法，可得原点到直线的距离为，联立两方程解得，所以椭圆的方程为．（2）设点，则，即．直线，令，得．从而有，同理，可得．所以四边形的面积为．所以四边形的面积为．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，需要较大的运算量，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求证：.【答案】(1) 函数的减区间为，增区间为，;(2)见解析.【解析】【分析】（1）函数求导，由得函数减区间，由得函数的增区间；（2）欲证，只需证，设，，即证，分别求导求最值即可.【详解】（1）定义域为，因为，当时，；或，此时函数的增区间为，减区间为，当时，，函数无单调区间当时，；或，此时函数的减区间为，增区间为，（2）欲证，即证，只需证，设，，即证因为，令，得当时，；当或时，，又因为，当时，，当时，所以，而所以，即成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线过点的参数方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．【答案】(1) 线过点的参数方程为（为参数）;(2).【解析】【分析】（1）先将极坐标方程变为直角坐标方程，再写成参数形式即可；（2）现将曲线化为的直角坐标方程，与直线联立得，设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，进而利用韦达定理求解即可【详解】（1）将，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程．所以直线过点的参数方程为（为参数）．（2）由，得，由代入，得．将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）．设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，即．由（*）得，，则有，得或．因为，所以．【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.已知函数（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.【答案】(1) 解集为;(2) 的取值范围为.【解析】【分析】（1）分段去绝对值解不等式即可；（2））等价于，由，去绝对值得，列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，不等式，即，当时，由，解得；当时，由，解得，故不等式无解；当时，由，解得．综上的解集为．（2）等价于．当时，等价于，即，若的解集包含，则[，，即．故满足条件的的取值范围为．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。