求极限方法总结-全
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极限求解总结
1、极限运算法则
设,,则
(1)
(2)
(3)
2、函数极限与数列极限的关系
如果极限存在,为函数的定义域内任一收敛于的数列,且满足:,那么相应的函数值数列必收敛,且
3、定理
(1)有限个无穷小的和也是无穷小;
(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小;
4、推论
(1)常数与无穷小的乘积是无穷小;
(2)有限个无穷小的乘积也是无穷小;
(3)如果存在,而c为常数,则
(4)如果存在,而n是正整数,则
5、复合函数的极限运算法则
设函数是由函数与函数复合而成的,在点的某去心领域内有定义,若
,且存在,当
时,有,则
6、夹逼准则
如果
(1)当(或>M)时,
(2)
那么存在,且等于A
7、两个重要极限
(1)
(2)
8、求解极限的方法
(1)提取因式法
例题1、求极限
解:
例题2、求极限
解:
例题3、求极限
解:
(2)变量替换法(将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势)
例题1、
解:令
例题2、
解:令x=y+1
=
例题3、
解:令y=
=
(3)等价无穷小替换法
注:若原函数与x互为等价无穷小,则反函数也与x互为等
价无穷小
例题1、解:
例题2、解:
例题3、解:
例题4、
解:
例题5、
解:
令y=x-1
原式=
例题6、
解:令
型求极限
例题1、
解:解法一(等价无穷小):
解法二(重要极限):
(5)夹逼定理(主要适用于数列)例题1、
解:
所以
推广:
例题2、
解:
1)
所以
2)
所以
例题3、解:
所以
例题4、
所以
例题5、解:
所以
(6)单调有界定理
例题1、
解:
单调递减
极限存在,记为A
由(*)求极限得:A=A
所以A=0
例题2、求解:
单调递增
所以
极限存在,记为L
时
例题3、
求极限
解:
当
当
所以极限存在时
注:单调性有时依赖于的选取
例题4、求极限
解:(整体无单调性)
所以单调递减,同理,单调递增
有因为
故和均存在,分别记为A,B
即
解得A=B=
所以
(7)泰勒公式法
例题1、设f有n阶连续导数
证明:
证明:
即
(8)洛必达法则例题1、求
解:
例题2、求
解:
例题3、求
解:
例题4、求
解:
(9)利用函数的图像通过对求解极限方法的研究,我们对极限有了进一步的了解。极限方法是研究变量的一种基本方法,在以后的学习过程中,极限仍然起着重要的作用,因此学习、掌握极限是十分必要的。相信通过对极限的学习总结,我们在今后的学习中能更进一步。
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