高考 三角函数的化简 求值

高考 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化 简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的
解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场
(★★★★★)已知  ＜β＜α＜ 3 ,cos(α－β)= 12 ,sin(α+β)=－ 3 ,求 sin2α的值
2
4
13
5
_________. ●案例探究
［例 1］不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较 高.属于★★★★级题目.
知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简 单更精妙，需认真体会.
解法一：sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°
= 1 (1－cos40°)+ 1 (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80°
2
2
=1－ 1 cos40°+ 1 cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°)
2
2
=1－ 1 cos40°+ 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ 3 sin20°(cos60°cos20°
2
2
－sin60°sin20°)
=1－ 1 cos40°－ 1 cos40°－ 3 sin40°+ 3 sin40°－ 3 sin220°
2
4
4
4
2
=1－ 3 cos40°－ 3 (1－cos40°)= 1
4
4
4
解法二：设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－ 3 cos20°sin80°，则
x+y=1+1－ 3 sin60°= 1 ，x－y=－cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2
=－2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0
∴x=y= 1 ，即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= 1 .
4
4
［例 2］设关于 x 的函数 y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)= 1 2
6


的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维
能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、
分类讲座等.
解：由 y=2(cosx－ a )2－ a2  4a  2 及 cosx∈［－1，1］得：
2
2
1
(a  2)
f(a)
 
a2 2

2a
1
(2  a  2)
1 4a
(a  2)
∵f(a)= 1 ,∴1－4a= 1  a= 1 ［2,+∞ )
2
2
8
故－ a 2 －2a－1= 1 ，解得：a=－1，此时，
2
2
y=2(cosx+ 1 )2+ 1 ，当 cosx=1 时，即 x=2kπ，k∈Z，ymax=5. 22
［例 3］已知函数 f(x)=2cosxsin(x+  )－ 3 sin2x+sinxcosx 3
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值；
(3)若当 x∈［  ， 7 ］时，f(x)的反函数为 f－1(x)，求 f-－1(1)的值. 12 12
命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，
综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求 f-－1(1)的值时易走弯路.
技巧与方法：等价转化，逆向思维.
解：(1)f(x)=2cosxsin(x+  )－ 3 sin2x+sinxcosx 3
=2cosx(sinxcos  +cosxsin  )－ 3 sin2x+sinxcosx
3
3
=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+  ) 3
∴f(x)的最小正周期 T=π
(2)当 2x+  =2kπ－  ，即 x=kπ－ 5 (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
3
2
12
(3)令 2sin(2x+  )=1，又 x∈［  , 7 ］,
3
22
∴2x+  ∈［  , 3 ］,∴2x+  = 5 ，则
3 32
36
6


x=  ，故 f-－1(1)=  .
4
4
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最
值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.
2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手
的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均 tanα、tanβ，且α，β∈
(－  ,  )，则 tan    的值是( )
22
2
1 A.
B.－2
4 C.
D. 1 或－2
2
3
2
二、填空题
2.(★★★★)已知 sinα= 3 ，α∈(  ，π)，tan(π－β)= 1 ，则 tan(α－2β)=_________.
5
2
2
3.(★★★★★)设α∈(  , 3 )，β∈(0，  )，cos(α－  )= 3 ，sin( 3 +β)= 5 ，则
44
4
45
4
13
sin(α+β)=_________.
三、解答题
4.不查表求值: 2sin130  sin100(1 3 tan 370) . 1 cos10
5.已知 cos(  +x)= 3 ，( 17 ＜x＜ 7 )，求 sin 2x  2sin2 x 的值.
4 5 12
4
1 tan x
6.(★★★★★)已知α－β=
8 3
π，且α≠kπ(k∈Z).求
1 cos( ) csc  sin

4 s in2
( 4

 4
)
的
22
最大值及最大值时的条件.
7.(★★★★★)如右图，扇形 OAB 的半径为 1，中心角 60°，四
边形 PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点 P 的位置，并
求此最大面积.
8.(★★★★★)已知 cosα+sinβ= 3 ，sinα+cosβ的取值范围是
D，x∈D，求函数 y= log 1
2x  3 4x  10
的最小值，并求取得最小值时 x
2
的值.
6


参考答案
难点磁场
解法一：∵  ＜β＜α＜ 3 ,∴0＜α－β＜  .π＜α+β＜ 3 ,
2
4
4
4
∴sin(α－β)= 1 cos2 (   )  5 ,cos(   )   1 sin2 (   )   4 .
13
5
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
 5  ( 4)  12  ( 3)   56 . 13 5 13 5 65
解法二：∵sin(α－β)= 5 ,cos(α+β)=－ 4 ,
13
5
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－ 72 65
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－ 40 65
∴sin2α= 1 ( 72  40)   56 2 65 65 65
歼灭难点训练
一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.
tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－  ,  )∴α、β∈(－  ,θ),则    ∈(－  ,0),又
22
2
2
2
tan(α+β)= tan   tan 1  tan  tan

 4a 1  (3a  1)

4 ,又 tan( 3
 )

2 tan    2
1  tan2   

4 3
,
2
整理得
2tan2

 2


3tan

 2


2
=0.解得
tan

 2

=－2.
答案：B
2.解析：∵sinα= 3 ,α∈(  ,π),∴cosα=－ 4
5
2
5
则 tanα=－ 3 ,又 tan(π－β)= 1 可得 tanβ=－ 1 ,
4
2
2
tan 2 
2 tan

2  ( 1) 2
  4.
1  tan2  1  ( 1 )2 3
2
tan(  2)  tan   tan2  
 3  ( 4) 43
7
1  tan   tan 2 1  ( 3)  ( 4) 24
43
答案： 7 24
6


3.解析：α∈(  , 3 ),α－  ∈(0,  ),又 cos(α－  )= 3 .
44
4
2
45
sin(  )  4 , (0, ). 3   (3 ,).sin( 3  )  5 ,cos( 3  )  12 .
45
44
4
4
13
4
13
sin(  )  sin[(  )  (3  )  ]
44
2
 cos[(  )  (3  )] 44
 cos(  )  cos( 3  )  sin(  )  sin( 3  )   3  (12 )  4  5  56 .
4
4
4
4
5 13 5 13 65
即sin(  )  56 65
答案： 56 65
三、4.答案：2
5.解 : cos(  x)  3 ,sin 2x   cos 2(  x)  7 .
4
5
4
25
又 17  x  7  , 5  x    2 ,sin( x   )   4
12
43
4
45
sin 2x  2sin 2 x  2sin x cos x  2sin 2 x  2sin x(sin x  cos x)cos x
1 tan x
1 sin x
cos x  sin x
cos x

sin 2x sin(   4
cos(  x)
x)

7 25
 ( 3
4) 5

28 75
4
5
6.解 : 令t  1  cos(  )  4sin 2 (   )
csc   sin 
44
22

sin  (1  cos ) 2 1  sin 2 

1  cos( 
4
2
2

) 2

sin
  2cos 2 2 cos 2 
 2

4( 1 2

1 sin ) 22
2
2
 2(sin   sin )  2  4sin    cos     2
22
2
2





8
,




2

8 3




2 .
3
4
4
23
t  4sin(   2 )  ( 1 )  2  2sin(   2)  2
23
2
23
   k（k∈Z）,   2   k  2 （k∈Z） 23 2 3
∴当   2  2k   , 即   4k   （k∈Z）时, sin(  2 ) 的最小值为－1.
23
2
3
23
7.解：以 OA 为 x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设 P 的坐标为(cosθ,sinθ)，
6


则
｜PS｜=sinθ.直线 OB 的方程为 y= 3 x，直线 PQ 的方程为 y=sinθ.联立解之得 Q( 3 sin 3
θ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－ 3 sinθ. 3
于是 SPQRS=sinθ(cosθ－ 3 sinθ)= 3 ( 3 sinθcosθ－sin2θ)= 3 ( 3 sin2θ－
3
3
32
1  cos2 )= 3 ( 3 sin2θ+ 1 cos2θ－ 1 )= 3 sin(2θ+  )－ 3 .
2
32
2
23
66
∵0＜θ＜  ,∴  ＜2θ+  ＜ 5 π.∴ 1 ＜sin(2θ+  )≤1.
36
66
2
6
∴sin(2θ+  )=1 时，PQRS 面积最大，且最大面积是 3 ，此时，θ=  ，点 P 为 的
6
6
6
中点，P( 3 , 1 ). 22
8.解：设 u=sinα+cosβ.则 u2+( 3 )2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.
∴u2≤1,－1≤u≤1.即 D=［－1,1］,设 t= 2x  3 ,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x= t 2  3 . 2
M 
2x  3 4x  10

t 2t 2 
4

2t
1 
4

1 42

2. 8
t
当且仅当2t  4 ,即t  t
2时, M max 
2 8
.
y
 log 0.5
M在M
 0时是减函数 ,
 ymin  log 0.5
2 8
 log 0.5
2

log
0.5
8

5 时, 此时t 2

2,
2x  3 
2,x   1. 2
6









。