(物理)万有引力与航天练习题含答案及解析

（物理）万有引力与航天练习题含答案及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T ；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h 处自由释放-个小球(引力视为恒力)，落地时间为.t 已知该行星半径为R ，万有引力常量为G ，求：
()1该行星的第一宇宙速度； ()2该行星的平均密度．
【答案】(()2
31 2?2h
Gt R π
． 【解析】 【分析】
根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求出质量与运动的周期，再利用M
V
ρ=，从而即可求解． 【详解】
()1根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度212
h gt =
解得：22h g t
=
则由2
v mg m R
=
求得：星球的第一宇宙速度v =
=
()2由222Mm h
G mg m R
t
==
有：2
2
2hR M Gt
= 所以星球的密度232M h V Gt R ρπ
== 【点睛】
本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．
2．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒
星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G ） 【答案】
【解析】
设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为w 1,w 2．根据题意有 w 1=w 2 ① （1分） r 1+r 2=r ② （1分）
根据万有引力定律和牛顿定律，有 G ③ （3分） G
④ （3分）
联立以上各式解得
⑤ （2分）
根据解速度与周期的关系知
⑥ （2分）
联立③⑤⑥式解得
（3分）
本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解
3．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？
（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1）2R g ，16R g （2）速度之比为2 87R
g
π 【解析】
【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；
解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向，
对地面上的物体由黄金代换式2
Mm
G
mg R = a 卫星
2
224a
GMm m R R T π=
解得2a T =b 卫星
2
224·4(4)b
GMm m R R T π=
解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向，
a 卫星2
2a mv GMm R R
=
解得a v =
b 卫星b 卫星2
2
(4)4Mm v G m R R
=
解得v b =
所以 2a
b
V V = （3）最远的条件
22a b
T T πππ-=
解得t =
4．2018年11月，我国成功发射第41颗北斗导航卫星，被称为“最强北斗”。

这颗卫星是地球同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T 相同。

已知地球的 半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，求该卫星的轨道半径r 。

【答案】r = 【解析】 【分析】
根据万有引力充当向心力即可求出轨道半径大小。

【详解】
质量为m 的北斗地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
22r T
在地球表面：1
12
Mm G
m g R
= 联立解得：222
33
2244GMT R gT
r ππ
==
5．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。

已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G ．将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F 0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F 1；
（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F 2；
（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。

如果把小物体放在北纬40°的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。

【答案】（1）02Mm F G R = ()120.1GMm F R R =+ （2）222
24Mm R
F G m R T
π=- （3）
【解析】 【详解】
（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：
02
GmM
F R =
在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为：12
(0.1)GmM
F R R =
+；
（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：
222
R T
（3）如图所示
6．我国在2008年10月24日发射了“嫦娥一号”探月卫星．同学们也对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度0v 竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点．已知月球半径为r ，万有引力常量为G ，试求出月球的质量
M 月
【答案】22
32
4gR T π
(2)20
2v r Gt ． 【解析】 【详解】
(1)设地球的质量为M ，月球的质量为M 月，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径R '，根据万有引力定律提供向心力可得：
2
2
2()MM G
M R R T
π=''月月 2
Mm
mg G
R = 解得：
22
3
2
4gR T R π'= (2)设月球表面处的重力加速度为g '，根据题意得：
02
g t v '=
02
GM m g r
m '=
月 解得：
2
02v r M Gt
=月
7．在某一星球上，宇航员在距离地面h 高度处以初速度v 0沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面时与抛出点的水平距离为x ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求： (1)该星球表面的重力加速度g ； (2)该星球的质量M ； (3)该星球的第一宇宙速度v 。

【答案】(1) 2022hv g x = (2) 2202
2hv R M Gx = (3) v =【解析】（1）由平抛运动规律得：水平方向0x v t = 竖直方向212
h g t =
' 解得： 2
02
2hv g x '=
（2）星球表面上质量为m 的物体受到万有引力近似等于它的重力，即
2
GMm
mg R
=' 得： 2
g R M G
='
代入数据解得： 22
02
2hv R M Gx =
（3）2
v mg m R
'=；解得v =
代入数据得： v =
点睛：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度g ．运用重力等于万有引力，得到g=GM/R 2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理．
8．高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，求： (1)人造卫星的角速度； (2)人造卫星绕地球转动的周期； (3)人造卫星的向心加速度．
【答案】（1）R h ω+（2）2T R h π=+（3）()2 GM a R h =+ 【解析】 【分析】
根据万有引力提供向心力2
2222()Mm v G m r m m r ma r T r
πω====求解角速度、周期、向
心加速度等。

【详解】
（1）设卫星的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律有： G
()
2
mM
R h +＝m ω2(R +h )，
解得卫星角速度R h ω+
故人造卫星的角速度R h ω+
（2）由()
2
2
24Mm
G
m R h T R h π=++（）
得周期2T R h π=+（
故人造卫星绕地球运行的周期为2T R h π=+（ （3）由于G
()
2 mM
R h +=m a 可解得，向心加速度a=
()
2
GM
R h +
故人造卫星的向心加速度为()
2
GM
R h +．
【点睛】
解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即
2
2222()Mm v G m r m m r ma r T r πω====.
9．已知“天宫一号”在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h 。

地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ．求： （1）“天宫一号”在该圆轨道上运行时速度v 的大小； （2）“天宫一号”在该圆轨道上运行时重力加速度g’的大小；
【答案】（1）v =2）22
gR g R h ='+（） 【解析】 【详解】
（1）地球表面质量为m 0的物体，有：0
02
Mm G
m g R =① “天宫一号”在该圆轨道上运行时万有引力提供向心力：
2
2
Mm v G m R h R h
=++（）②
联立①②两式得：飞船在圆轨道上运行时速度：v =（2）根据2
Mm
G
mg R h '=+（）
③ 联立①③解得：2
2
gR g R h ='+（）
10．已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，不考虑地球自转的影响．
（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v 1；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T ，求卫星运行半径r ；
【答案】（12）r 【解析】
试题分析：（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：2
GMm
mg R
＝ 若发射成卫星在地表运动则卫星的重力提供向心力即：2
v mg m R
＝
解得：v =
（2）由卫星所需的向心力由万有引力提供可得2
2
24GMm m r r T
＝π 又2
GMm
mg R
＝
解得：r 考点：万有引力定律的应用
名师点睛：卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．。