离散数学第七章第二节解剖

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3、删除结点和边与图的连通性(1)
❖ 结点和边的删除
➢ 在图中删除结点v,就是将结点v及v所关联的边统统删除。 ➢ 在图中删除某边,则只须删除该边，而保留边所关联的结点。
定义4 设无向图G=<V,E>中，若有结点集V1V,使图G删除了V1 的所有结点后所得的子图是不连通的,而删除了V1的任一真 子集后所得的子图仍是连通的,则称V1是图G的点割集。如果 某个结点构成一个点割集,则称该结点为割点。
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5、有向图的连通性（3）
定义9 在简单有向图G中，具有强连通性的最大子图称为强 分图；具有单侧连通性的最大子图称为单侧分图；具有弱连 通性的最大子图称为弱分图。 例如，下图右侧图中，包含结点{v1,v2,v3,v4}的子图是强分 图；仅包含一个孤立结点v5的子图也是强分图，但包含结点 {v1,v2,v4}的子图不是强分图
第7-2讲 图的连通性
1. 路 2. 连通的概念 3. 删除结点和边与图的连通性 4. 有向图的可达性 5. 有向图的连通性 6. 课堂练习 7. 第7-2讲 作业
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1、路（1）
图论中的一个典型问题是从给定的结点出发,沿着边连续移 动,到达另一指定结点的问题。所经过的点边序列就形成了路 的概念。
定义1 给定图G=<V,E>,设v0, v1, v2,…vnV， e1, e2, …, emE， 其中ei是关联结点ei-1、 ei的边，点边交替序列v0 e1v1 e2 v2… envn称为v0到vn的路。v0和vn分别称为该路的起点和终点。如 果v0=vn，称该路回路。
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5、有向图的连通性（2）
定理4 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它 至少包含每个结点一次。 证：充分性。如果图G中有一个回路，它至少包含每个结点 一次，则G中任何两个结点相互可达，故图G是强连通的。
必要性。如果有向图G是强连通的，则G中任何两个结点相 互可达，故可从图中任一结点v出发，经由图中所有的结点， 再返回v，从而形成一个回路。
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5、有向图的连通性（1）
定义8 在简单有向图G中，任何一对结点间，如果至少从一个 结点到另一个结点可达，则称该图是单侧连通的。如果图G中 任何一对结点之间相互可达，则称图G是强连通的。如果在图 G中略去边的方向视为无向图是连通的，则称图G是弱连通的。
例：分析下列各有向图的连通性。
解：图G1是强连通的； G2是单侧连通的； G3是弱连通的。
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5、有向图的连通性（4）
定理5 有向图G=<V,E>的每个结点位于且只位于一个强分图中。
证：设任意vV,令S是图G中所有与v相互可达的结点集合， 当然vS。则S是G的一个强分图。因此，G的每个结点必位于 一个强分图中。
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3、删除结点和边与图的连通性(3)
定义6 设无向图G=<V,E>为连通图，若有边集E1E,使图G删除了 E1中的所有边后所得的子图是不连通的,而删除了E1的任一真 子集后所得的子图仍是连通的,则称E1是图G的边割集。如果某 条边构成一个边割集,则称该边为割边(亦称为桥)。
例：右图中， E1={e1,e2} E2={e1,e3,e5,e7} 是边割集； E3={e8}是桥。
如果所得的这条路中的边仍然大于n-1，重复上述步骤，可得一条vj到vk 的路且路中边数进一步减少。如此继续下去，最终可得一条vj到vk且路中 边数不多于n-1条边的路。
例如左图有5个结点，v1e1v2 e3v3e4v2 e6v5 e8v4是图中 从v1到v4路，它有5条边。去掉v2到 v2 之间的路 e3v3e4 v2 ，所得的路v1e1v2 e6v5 e8v4仍然是从v1到v4 路，其边数小于5-1。
若路中各边均不相同，则称为迹；若路中各结点均不相同， 则称为通路；若闭合通路中各结点均不相同，则称为圈。
例如右图中： v1 e1v2 e5 v4e8v5 e7v3是迹，也是通路； v2 e3v3 e4v2e6v5 e8v4 e5v2是回路； v2 e3v3 e7v5e6v2 是圈。
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1、路（2）
定理1 在具有n个结点的图中，如果从结点vj到vk存在一条路， 则从结点vj到vk必存在一条不多于n-1边的路。
证明：设从结点vj到vk存在一条路，该路的结点序列为vj … vi … vk。如
果该路有m条边，则该路的结点序列中有m+1个结点。 若m>n-1，则必存在结点vs，它在该路中不止出现一次，可设该路的结
点序列为vj … vs … vs … vk。去掉vs 到 vs 之间这段路，则vj … vs … vk仍然 是vj到vk的路，只不过路中边数已减少。
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4、有向图的可达性
无向图的连通概念不能直接推广到有向图。 在有向图G=<V,E>中，如果从结点u和v有一条路，则称从u 可达v。 如果u可达v，则u、v之间的最短路（短程线）的长度称为 结点u、v之间的距离，记作d<u,v>。
d<u,v>0 d<u,u>=0 d<u,v>+d<v,w>d<u,w> 如果从u到v不可达，则记d<u,v>=。 距离的概念也适用于无向图 注意，因为是有向图，d<u,v>一般不等于d<v,u>。 将D=max{d<u,v>|u,vG} 称为图G的直径。 可达性是有向图结点集上的二元关系，它是自反的和传递 的，但一般不是对称的。所以可达不是等价关系。
例：删除割点。
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3、删除结点和边与图的连通性（2）
定义5 非完全图G的点连通度(简称连通度)定义为： K(G)=min{|Vi|| Vi是点割集}
由定义5可知，连通度是为了产生一个不连通图所要删除结 点的最少数目。那么，非连通图的连通度为0；存在割点的连 通图的连通度为1；完全图Kn删除m(m<n-1)个结点后仍是连通 的，删除n-1个结点后成为仅有一个孤立结点的平凡图，故规 定K(Kn)=n-1。
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2、连通的概念
定义2 在无向图G中，如果从结点u到v存在一条路，则称结点u到 v是连通的。 对无向图G= <V,E>而言，结点集合V上的连通关系是等价
关系。该连通关系将结点集合作出一个划分，每个划分块连 同它们所关联的边称为图G的一个连通分支。
右图所示图G有 两个连通分支G1 和G2
定义3 若图G中只有一个连通分支，则称图G是连通的。