数理方程关于振动方程的分析matlab

数理方程基于MATLAB 的问题分析报告

一、问题的提出、背景、意义

振动是指物体经过它的平衡位置所作的往复运动或某一物理量在其平衡值附近的来回变动。而波动则是一种能量传播的方式。虽然形式不同，但是两者的联系十分紧密，振动是波动的根源，波动是振动的传播形式。因此在分析问题乃至实际操作中，往往是把两者放在一起分析的，首先讨论振动的各方面特性，这样就相当于已知了波动一点上的相应特性，再对波动进行分析时，就只用讨论距

离的影响了。一般来说，振动只受时间影响，加上距离的参数，最终波动就只受两个变量影响，而且也知道了它们是无关的，就可以使用分离变量法进行求解。弦振动是波动的一类特殊形式，它在音乐物理学、材料学、地理学、物质分析学等许多领域都得到了应用，而弦振动所属声学又是力学的一个非常独立的分支，因此它在各领域的作用几乎是不可取代的。由于近年来的各方面硬件设施和软件的发展，曾经停止发展很长一段时间的对弦振动的分析又开始体现出它独特的优势。

在产生音乐的过程中，琴弦的振动是很常见的一种方式，本文就将对琴弦振动进行一定的研究，通过对弦振动方程的理解，给出不同初始条件，并分析出琴弦不同地方产生波的特性，再用MATLAB做好程序，画出相应的图像，经比较后得到琴弦的拨发与产生声音的联系。

二、问题分析思路

2.1建立偏微分方程

分析一根琴弦的振动问题，通过针对具体要分析的问题，可以列出弦振动方程以

及初始条件

2,0,0

(0,)0,(,)0

(,0)(),(,0)()

tt xx

t

u a u x L t

u t u L t

u x x u x x

ϕ

⎧=<<>

⎪

==

⎨

⎪==ψ

⎩

（L为弦的长度，因为是两端固定的弦，

初始条件一定有(0,)0,(,)0

u t u L t

==），用分离变量法很容易求得它相应的解，即弦振动的函数。

2.2对琴弦参数的求解

已知常量T=128N，普通钢琴弦密度3

7.9/g cm

ρ=，

根据琴弦传播速度公式

v=v。

2.3 求解对象

由弦振动的函数可以得到弦上不同点的振动情况。随机选取几个点，得到它们的振动情况，并比较。

2.4作图方法

通过MATLAB仿真出不同点的图像，比较图像的幅值周期等参数。（开始考虑到有两种方式，一种直接通过上一个步骤求出的解使用简单的MATLAB命令画出图，另一种则是通过MATLAB解方程后再画出相应的图像，事实上第一种MATLAB是做不到的，于是用第二种）

2.5 仿真结果

仿真出弦振动的频谱图，即以频率和振幅为横纵坐标的图，得到不同频率与振幅的关系，对图可以进行一系列的分析，得到相应的结果。

2.6方程解的现实意义

由于琴弦振动实际意义，我们将弦振动的实际音效也用MATLAB做出来了，这样更能直观的体会到琴弦振动条件不同带来的影响。但是发出的声音不如实际生活那么和谐美妙（缺少腔体等音乐元件）。

三、具体求解步骤

3.1标准齐次弦振动的求解

如前文所提，对于这样一个标准的齐次弦振动问题，分离变量法是我们主要所采取的解题方法。

设方程具有的解的形式为：

u（x,t）=T(t)X(x)（3-1）

将变量t与变量x分离开后，代入原方程，得到：

2T X a TX ''''= （3-2）

2T X a T X

''''= （3-3） 令：

2T X a T X

λ''''==- （3-4） 此时，得到两个常微分方程：

0X X λ''+= （3-5）

20T a T λ''+=， （3-6）

代入边界条件，得到：

T(t)X(0)=0,T(t)X(L)=0 （3-7）

由于(,)0u x t ≡不是我们需要的解，对T （t ）不能恒为0，所以对于X （x ），我们可以得到：

(0)()0X X L == （3-8）

这样一来，我们可以得到常微分方程0X x λ''+=满足边界条件(0)()0X X L ==的平凡解。

当0λ≤时，原方程的边值问题就只有零解。

当0λ>时，原方程的通解为：

22

n 2n =L

πλ()sin X x A B =+ （3-9） 代入边界条件，得：

(0)100X A B =+=g g （3-10）

()sin 0X L A B =+=20n T a T λ''+= （3-11）

解得的结果为,A=0,sin 0B =。为了使X （x ）不恒为0，应有0B ≠，亦

即0=,1,2,3n n π==…… 则：

22

n 2n =L

πλ （3-12） 相应的特征函数为()sin

n n n x X x B L

π=，其中Bn 为任意非零常数，对应每一个特征值方程20n T a T λ''+=的解是 ()cos sin n n n n at n at T t C D L L ππ=+()cos sin n n n n at n at T t C D L L

ππ=+ （3-13） 其中，Cn,Dn 为任意常数。我们得到原方程一系列特解为：

(,)()()cos sin sin n n n n n n at n at n x u x t T t X x C D L L L πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭

（3-14） 为了求出满足的解，我们将(,)u x t 作傅立叶拓展，把每一项(,)n u x t 全部叠加起来，则：

1(,)cos sin sin n n n n at n at n x u x t C D L L L πππ∞

=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ （3-15） 为了确定系数Cn ，Dn ，将方程代入初始条件，得

11(,0)()sin ,(,0)()sin n t n n n n x n a n x u x x C u x x D L L L πππϕ∞

∞=====ψ=∑∑ （3-16） 之后即可解出Cn ，Dn ：

02()sin ,L n n C d n N L L

πεϕεε=

∈⎰ （3-17） 02()sin ,L n n D d n N n a L πξψξξπ=∈⎰ （3-18） 3.2实际弦振动的求解

对于第二节一开始提出的一维实际琴弦振荡问题，我们将实际参数代入公式

中。这里，取a v ==

考虑到弦乐器的常见技法就是拨弦，拨弦即用手指把琴弦拨离平衡位置。使其振动发声。这相当于在X=a 处把弦拉高到高度h ，然后松开，使其自由振动，即弦振动的初始位移不为零而初速度为零。