第十章基于传递函数模型的控制系统设计
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K G0 ( s) s(0.001s 1)(0.1s 1)
其设计要求：
试设计带有惯性环节的并联超前校正控制器。
K 1000 ， 45 ， c 165 rad/s ，20log Kg 15 dB。
10.3 Bode图法
二、Bode图的解析设计方法
1 aTs 设计校正装臵 Gc ( s ) K c （a 1 Ts
10.3 Bode图法
（3）根据 20lg G0 ( jc ) 10lg a 求出 c ； 1 （4）根据 m c 求出 T 的值。 aT 3．验算性能指标
Kg 2
或
20 lg Kg 6dB
对于三阶及其以上的高阶系统应该验证幅值裕度，并评价系统抑 制干扰的能力。
若
a
1 G0 ( j c )
2
m sin 1
a 1 a 1
m ，则 a正确，否则重新调整a 值。 m
m c
1 aT
求出 T 的值。
（3）由
第二种情形：未给出 c 的期望值 （1）确定串联超前校正所应提供的最大超前相角
m [180 G0 ( jc )] 5 1 sin m （2）根据 a 求出a 的值； 1 sin m
系统可能对于所有的增益值都不稳定，也可能虽属稳定，但不具有 理想的瞬态响应特性。可以在前向通道中串联一个或几个适当的超前校 正装臵。 一、根轨迹的几何设计方法 1. 根据动态性能指标要求确定闭环主导极点S1的希望位臵。 2. 计算出需要校正装臵提供的补偿相角c
c 180 i360 G0 (s1 )
3. 确定校正装臵的参数 采用带惯性的PD控制器 采用PD控制器 4. 验算性能指标
10.2 根轨迹法
z c , pc 位臵的确定方法
S1
c 2
2
j
p
z
Zc
同理
Pc p ( c ) / 2
z ( c ) / 2
Im( s1 ) Im(s1 ) 零点位臵 zc Re( s1 ) 极点位臵 pc Re(s1 ) tg z tg p
ts
n
ln( 1 2 ) t s
zc
n sin
1
sin( 180 tg
p c a z c
5. 验算性能指标
1 2 )
(0 ~ 5 )
或
T 1 / pc
a K1 / K
10.2 根轨迹法
10.2 根轨迹法
实质
通过校正装臵改变系统的根轨迹，从而将一对闭环主导极点配臵
到需要的位臵上。
原则
若在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右移动，从而降
低系统的相对稳定性，增加系统响应的调整时间。而在开环传递函数
中增加零点，可以导致根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减 少系统响应的调整时间。
10.2 根轨迹法
几何法串联超前校正函数
【调用格式】
[ngc,dgc]=rg_lead (ng0,dg0,s1) %带惯性的PD控制器
ngc= rg_lead (ng0,dg0,s1) %PD控制器
【说明】
ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量。 s1是满足性能指标的闭环主导极点。 ngc,dgc为超前校正装臵传递函数的分子、分母系数向量。 常 根据超调量bp、调整时间ts、误差宽度delta，求解闭环主导极点s s=bpts2s(bp,ts,delta) 用 设 根据阻尼比kosi、无阻尼自振频率wn，求解闭环主导极点s s=kw2s(kosi,wn) 计 函 根据闭环极点s，求解阻尼比kosi和无阻尼自振频率wn [kosi,wn]=s2kw(s) 数
K ，并求取 a K1 / K pc 和 z c
1
令 s1 n c1 j n c2 1 2 n j n 1 2
c1 ,c2 取小于1的正数。并验证
否则重新选择
p e
1
2
s1
p
。
基本思路
在Bode图中的对数频率特性的低频区表征了闭环系统的稳态特性， 中频区表征了系统的相对稳定性，而高频区表征了系统的抗干扰特性。 在大多数实际情况中，校正问题实质上是在稳态精度和相对稳定性之 间取折衷的问题。
基本要求
为了获得比较高的开环增益及满意的相对稳定性，必须改变开环 频率特性响应曲线的形状，这主要体现为：在低频区和中频区增益应 该足够大，且中频区的对数幅频特性的斜率应为-20dB/dec，并有足 够的带宽，以保证适当的相角裕度；而在高频区，要使增益尽可能地 衰减下来，以便使高频噪声的影响达到最小。Bode图设计方法的频域 指标为 , c , K 。
10.2 根轨迹法
例10.2.1 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
k G0 ( s ) s( s 5)(s 20)
系统期望性能指标要求： 1. 2. 开环增益
K v 12 ；
单位阶跃响应的特征量：
p 25% t s 0.7s( 0.02)
试确定： 1. 2. 带惯性的PD控制器的串联超前校正参数 PD控制器的串联超前校正参数
（2）求解
1 sin m a 1 sin m
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a
的值 ） 20lg G0 ( jm ) 10lg a （确定 m
10.3 Bode图法
如果 m c，说明 值选择合理，能够满足相角裕度要求， 否则按如下方法重新选择 的值：
a a
20 lg G0 ( j c ) 10 lg a
10.3 Bode图法
【说明】
ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量（满足 开环增益要求）。 Pm为期望的相角裕度，wc为期望的剪切频率，w为指定的Bode图频 率范围。 返回值ngc,dgc为超前校正装臵传递函数的分子、分母系数向量。
例10.3.1 设被控对象的传递函数
s1 的希望位臵
n i 1
2. 求取未校正系统根轨迹上的对应于闭环主导极点的开环增益
K1
K1 k
( z )
i
m
( p )
i i 1
i 1 n
k
s1 s1 pi
s
i 1
m
1
zi
10.2 根轨迹法
3. 计算期望的开环增益
4. 确定滞后校正装臵的
10.2 根轨迹法
二、根轨迹的解析设计方法
1 aTs (a 1) 设串联超前校正装臵的传递函数为 G c ( s ) 1 Ts
1. 根据稳态性能和动态特性要求，确定 K ' 和 2. 确定所求的 、T 需满足的方程：
s1
a
K G0 ( s) Gc ( s) K
aTs1 1 M 0 e j 0 1 e j Ts1 1
i 1 i 1 m
n
, K s v K G0 ( s )
s 0
1 ess
s zc 1 aTs a 校正装臵的传递函数记为： Gc ( s) 1 Ts s pc
校正后系统的开环传递函数为：
G(s) G0 (s) Gc (s)
10.2 根轨迹法
•串联超前校正
1）的步骤如下：
第十章 基于传递函数模型的 控制系统设计
控制系统CAD与仿真
主要内容 10.1 10.2 10.3 10.4 概述 根轨迹法 Bode图法 PID控制
10.1概 述
本章内容：
介绍基于传递函数模型的单输入单输出、线性、定常、连续、单位负 反馈控制系统的设计问题。
设计要求：
用性能指标描述，主要包括 稳定性 动态性能 阻尼程度（超调量、振荡次数、阻尼比）、 响应速度（上升时间、峰值时间、调整时间） 稳态性能：控制精度（稳态误差）
【调用格式】 [ngc, dgc, k]=rg_lag(ng0, dg0, KK, s1, a) 【说明】 ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量。 KK是为了要达到期望的开环增益，原系统开环增益需要提高的倍数。 s1是满足性能指标的闭环主导极点，a为调整的幅角余量0~5 。 ngc,dgc为超前校正装臵传递函数的分子、分母系数向量，k为满足动 态性能要求的未校正系统的根轨迹增益。 例10.2.3 设单位负反馈系统的开环传递函数为： 800k G0 ( s ) s( s 4)(s 10)(s 20) 指标要求： 1 （1）开环增益 K v 12s ； （2）单位阶跃响应的特征量： p 20% ， t s 2.6s( 0.05) 。 试确定串联滞后校正装臵的参数
10.2 根轨迹法
•数学模型
原系统的开环传递函数为
G0 ( s ) k
(s z )
i
m
s ( s p i )
i 1
i 1 n
' G0 (s) K G0 (s) 未校正系统的开环传递函数为：
K
K ( pi ) k ( zi )
【调用格式】
[ngc,dgc]=fg_lead_pm(ng0,dg0,Pm,w) %带惯性的PD控制器（wc未知） [ngc,dgc]=fg_lead_pm_wc(ng0,dg0,Pm,wc,w) % 带惯性的PD控制器（ wc已知） [ngc,dgc]=fg_lead_pd(ng0,dg0,wc) % PD控制器
10.3 Bode图法
•串联超前校正
一、Bode图的几何设计方法
1．根据稳态指标要求确定未校正系统的型别和开环增益，并绘制其 Bode图；
2．根据动态指标要求确定超前校正装臵的参数； 第一种情形：给出了 c 的要求值 （1）确定超前校正所应提供的最大超前相角
m [180 G0 ( jc )] 5
a, T
sin 1 M 0 K sin(1 0 ) aT M1M 0 K sin 0
sin(1 0 ) M 0 K sin 1 T M1 sin 0
【调用格式】
[ngc, dgc]=ra_lead(ng0, dg0, s1)
【说明】其输入变量和输出变量的定义与rg_lead函数相同。
例10.2.2 同例10.2.1 ，试用根轨迹解析法确定超前校正装臵。
10.2 根轨迹法
如果原系统具有满意的动态响应特性，但是其稳态特性不能令人满 意，可以通过在前向通道中串联一个滞后校正装臵来解决，既增大了开 环增益，又使动态响应特性不发生明显变化。
一、根轨迹的几何设计方法
1. 根据动态指标要求，确定闭环主导极点
控制系统具有良好的性能是指：
输出按要求能准确复现给定信号； 具有良好的相对稳定性； 对扰动信号具有充分的抑制能力。
10.1概 述
校正方案
串联校正
反馈校正
10.1概 述
设计方法
根轨迹法校正 单位反馈控制系统的性能指标以时域量的形式给出时，用根轨迹校正 方法比较方便。时域指标包括期望的闭环主导极点的阻尼比和无阻尼自振 频率、超调量、上升时间和调整时间等。 Bode图法校正 性能指标以频域量的形式给出时，用Bode法比较合适时域指标包括期 望的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、剪切频率、谐振频率、带宽及反映 稳态指标的开环增益、稳态误差或误差系数等。
G0 (s1 ) M 0e j0
a T M1e
j1
s1 M1e j1
由复数欧拉公式： ei
1 e j 1 (T M1e j1 1) K M 0e j 0
cos i sin
10.2 根轨迹法
3. 利用上述方程可分为实部、虚部，确定未知数
pc 和 z c
10.2 根轨迹法
二、根轨迹的解析设计方法
采用根轨迹的解析设计方法设计滞后校正装臵与超前校正装臵 的方法相同，设滞后校正装臵的传递函数为：
1 aTs Gc ( s ) 1 Ts
(a 1)
例10.2.4 同例10.2.3,试采用解析方法确定串联滞后校正的传递函数。
10.3 Bode图法
其设计要求：
试设计带有惯性环节的并联超前校正控制器。
K 1000 ， 45 ， c 165 rad/s ，20log Kg 15 dB。
10.3 Bode图法
二、Bode图的解析设计方法
1 aTs 设计校正装臵 Gc ( s ) K c （a 1 Ts
10.3 Bode图法
（3）根据 20lg G0 ( jc ) 10lg a 求出 c ； 1 （4）根据 m c 求出 T 的值。 aT 3．验算性能指标
Kg 2
或
20 lg Kg 6dB
对于三阶及其以上的高阶系统应该验证幅值裕度，并评价系统抑 制干扰的能力。
若
a
1 G0 ( j c )
2
m sin 1
a 1 a 1
m ，则 a正确，否则重新调整a 值。 m
m c
1 aT
求出 T 的值。
（3）由
第二种情形：未给出 c 的期望值 （1）确定串联超前校正所应提供的最大超前相角
m [180 G0 ( jc )] 5 1 sin m （2）根据 a 求出a 的值； 1 sin m
系统可能对于所有的增益值都不稳定，也可能虽属稳定，但不具有 理想的瞬态响应特性。可以在前向通道中串联一个或几个适当的超前校 正装臵。 一、根轨迹的几何设计方法 1. 根据动态性能指标要求确定闭环主导极点S1的希望位臵。 2. 计算出需要校正装臵提供的补偿相角c
c 180 i360 G0 (s1 )
3. 确定校正装臵的参数 采用带惯性的PD控制器 采用PD控制器 4. 验算性能指标
10.2 根轨迹法
z c , pc 位臵的确定方法
S1
c 2
2
j
p
z
Zc
同理
Pc p ( c ) / 2
z ( c ) / 2
Im( s1 ) Im(s1 ) 零点位臵 zc Re( s1 ) 极点位臵 pc Re(s1 ) tg z tg p
ts
n
ln( 1 2 ) t s
zc
n sin
1
sin( 180 tg
p c a z c
5. 验算性能指标
1 2 )
(0 ~ 5 )
或
T 1 / pc
a K1 / K
10.2 根轨迹法
10.2 根轨迹法
实质
通过校正装臵改变系统的根轨迹，从而将一对闭环主导极点配臵
到需要的位臵上。
原则
若在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右移动，从而降
低系统的相对稳定性，增加系统响应的调整时间。而在开环传递函数
中增加零点，可以导致根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减 少系统响应的调整时间。
10.2 根轨迹法
几何法串联超前校正函数
【调用格式】
[ngc,dgc]=rg_lead (ng0,dg0,s1) %带惯性的PD控制器
ngc= rg_lead (ng0,dg0,s1) %PD控制器
【说明】
ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量。 s1是满足性能指标的闭环主导极点。 ngc,dgc为超前校正装臵传递函数的分子、分母系数向量。 常 根据超调量bp、调整时间ts、误差宽度delta，求解闭环主导极点s s=bpts2s(bp,ts,delta) 用 设 根据阻尼比kosi、无阻尼自振频率wn，求解闭环主导极点s s=kw2s(kosi,wn) 计 函 根据闭环极点s，求解阻尼比kosi和无阻尼自振频率wn [kosi,wn]=s2kw(s) 数
K ，并求取 a K1 / K pc 和 z c
1
令 s1 n c1 j n c2 1 2 n j n 1 2
c1 ,c2 取小于1的正数。并验证
否则重新选择
p e
1
2
s1
p
。
基本思路
在Bode图中的对数频率特性的低频区表征了闭环系统的稳态特性， 中频区表征了系统的相对稳定性，而高频区表征了系统的抗干扰特性。 在大多数实际情况中，校正问题实质上是在稳态精度和相对稳定性之 间取折衷的问题。
基本要求
为了获得比较高的开环增益及满意的相对稳定性，必须改变开环 频率特性响应曲线的形状，这主要体现为：在低频区和中频区增益应 该足够大，且中频区的对数幅频特性的斜率应为-20dB/dec，并有足 够的带宽，以保证适当的相角裕度；而在高频区，要使增益尽可能地 衰减下来，以便使高频噪声的影响达到最小。Bode图设计方法的频域 指标为 , c , K 。
10.2 根轨迹法
例10.2.1 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
k G0 ( s ) s( s 5)(s 20)
系统期望性能指标要求： 1. 2. 开环增益
K v 12 ；
单位阶跃响应的特征量：
p 25% t s 0.7s( 0.02)
试确定： 1. 2. 带惯性的PD控制器的串联超前校正参数 PD控制器的串联超前校正参数
（2）求解
1 sin m a 1 sin m
Biblioteka Baidu
a
的值 ） 20lg G0 ( jm ) 10lg a （确定 m
10.3 Bode图法
如果 m c，说明 值选择合理，能够满足相角裕度要求， 否则按如下方法重新选择 的值：
a a
20 lg G0 ( j c ) 10 lg a
10.3 Bode图法
【说明】
ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量（满足 开环增益要求）。 Pm为期望的相角裕度，wc为期望的剪切频率，w为指定的Bode图频 率范围。 返回值ngc,dgc为超前校正装臵传递函数的分子、分母系数向量。
例10.3.1 设被控对象的传递函数
s1 的希望位臵
n i 1
2. 求取未校正系统根轨迹上的对应于闭环主导极点的开环增益
K1
K1 k
( z )
i
m
( p )
i i 1
i 1 n
k
s1 s1 pi
s
i 1
m
1
zi
10.2 根轨迹法
3. 计算期望的开环增益
4. 确定滞后校正装臵的
10.2 根轨迹法
二、根轨迹的解析设计方法
1 aTs (a 1) 设串联超前校正装臵的传递函数为 G c ( s ) 1 Ts
1. 根据稳态性能和动态特性要求，确定 K ' 和 2. 确定所求的 、T 需满足的方程：
s1
a
K G0 ( s) Gc ( s) K
aTs1 1 M 0 e j 0 1 e j Ts1 1
i 1 i 1 m
n
, K s v K G0 ( s )
s 0
1 ess
s zc 1 aTs a 校正装臵的传递函数记为： Gc ( s) 1 Ts s pc
校正后系统的开环传递函数为：
G(s) G0 (s) Gc (s)
10.2 根轨迹法
•串联超前校正
1）的步骤如下：
第十章 基于传递函数模型的 控制系统设计
控制系统CAD与仿真
主要内容 10.1 10.2 10.3 10.4 概述 根轨迹法 Bode图法 PID控制
10.1概 述
本章内容：
介绍基于传递函数模型的单输入单输出、线性、定常、连续、单位负 反馈控制系统的设计问题。
设计要求：
用性能指标描述，主要包括 稳定性 动态性能 阻尼程度（超调量、振荡次数、阻尼比）、 响应速度（上升时间、峰值时间、调整时间） 稳态性能：控制精度（稳态误差）
【调用格式】 [ngc, dgc, k]=rg_lag(ng0, dg0, KK, s1, a) 【说明】 ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量。 KK是为了要达到期望的开环增益，原系统开环增益需要提高的倍数。 s1是满足性能指标的闭环主导极点，a为调整的幅角余量0~5 。 ngc,dgc为超前校正装臵传递函数的分子、分母系数向量，k为满足动 态性能要求的未校正系统的根轨迹增益。 例10.2.3 设单位负反馈系统的开环传递函数为： 800k G0 ( s ) s( s 4)(s 10)(s 20) 指标要求： 1 （1）开环增益 K v 12s ； （2）单位阶跃响应的特征量： p 20% ， t s 2.6s( 0.05) 。 试确定串联滞后校正装臵的参数
10.2 根轨迹法
•数学模型
原系统的开环传递函数为
G0 ( s ) k
(s z )
i
m
s ( s p i )
i 1
i 1 n
' G0 (s) K G0 (s) 未校正系统的开环传递函数为：
K
K ( pi ) k ( zi )
【调用格式】
[ngc,dgc]=fg_lead_pm(ng0,dg0,Pm,w) %带惯性的PD控制器（wc未知） [ngc,dgc]=fg_lead_pm_wc(ng0,dg0,Pm,wc,w) % 带惯性的PD控制器（ wc已知） [ngc,dgc]=fg_lead_pd(ng0,dg0,wc) % PD控制器
10.3 Bode图法
•串联超前校正
一、Bode图的几何设计方法
1．根据稳态指标要求确定未校正系统的型别和开环增益，并绘制其 Bode图；
2．根据动态指标要求确定超前校正装臵的参数； 第一种情形：给出了 c 的要求值 （1）确定超前校正所应提供的最大超前相角
m [180 G0 ( jc )] 5
a, T
sin 1 M 0 K sin(1 0 ) aT M1M 0 K sin 0
sin(1 0 ) M 0 K sin 1 T M1 sin 0
【调用格式】
[ngc, dgc]=ra_lead(ng0, dg0, s1)
【说明】其输入变量和输出变量的定义与rg_lead函数相同。
例10.2.2 同例10.2.1 ，试用根轨迹解析法确定超前校正装臵。
10.2 根轨迹法
如果原系统具有满意的动态响应特性，但是其稳态特性不能令人满 意，可以通过在前向通道中串联一个滞后校正装臵来解决，既增大了开 环增益，又使动态响应特性不发生明显变化。
一、根轨迹的几何设计方法
1. 根据动态指标要求，确定闭环主导极点
控制系统具有良好的性能是指：
输出按要求能准确复现给定信号； 具有良好的相对稳定性； 对扰动信号具有充分的抑制能力。
10.1概 述
校正方案
串联校正
反馈校正
10.1概 述
设计方法
根轨迹法校正 单位反馈控制系统的性能指标以时域量的形式给出时，用根轨迹校正 方法比较方便。时域指标包括期望的闭环主导极点的阻尼比和无阻尼自振 频率、超调量、上升时间和调整时间等。 Bode图法校正 性能指标以频域量的形式给出时，用Bode法比较合适时域指标包括期 望的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、剪切频率、谐振频率、带宽及反映 稳态指标的开环增益、稳态误差或误差系数等。
G0 (s1 ) M 0e j0
a T M1e
j1
s1 M1e j1
由复数欧拉公式： ei
1 e j 1 (T M1e j1 1) K M 0e j 0
cos i sin
10.2 根轨迹法
3. 利用上述方程可分为实部、虚部，确定未知数
pc 和 z c
10.2 根轨迹法
二、根轨迹的解析设计方法
采用根轨迹的解析设计方法设计滞后校正装臵与超前校正装臵 的方法相同，设滞后校正装臵的传递函数为：
1 aTs Gc ( s ) 1 Ts
(a 1)
例10.2.4 同例10.2.3,试采用解析方法确定串联滞后校正的传递函数。
10.3 Bode图法