理学常微分方程全微分方程

西
u(x, y) 2x(1 x2 - y )dx ( y)
南
科 技 大
x2
2
(x2
3
y)2
(
y).
学
3
理
学
院
6
再利用（**）（视x为常数）有
1
(x2 y)2 '( y) x2 y , 即 '( y) 0， 于是 ( y) C.
从而求得一个原函数
u(
x,
y)
x2
2
(x2
y)
学
院
14
注： 事实上，我们有
只与x有关 1 (M N )只是x的函数。
N y x 因此，对于方程（1）虽不是全微分方程， 但 1 (M N )只是x的函数（设为f (x)），则方程 N y x
（1）有积分因子(x) e f ( 。 x)dx
类似地，若 1 (N M )只与y有关（设为g(y)）, M x y
西 南
则方程（1）有积分因子( y) e g( y)dy。
科
技
大 学
以上求积分因子的方法称为公式法。
理
学
院
15
例1: 求解微分方程： ydx xdy 0
解
1.
1 N
M
y
N x
2, x
郁
2.
(
x)
e
2 dx x
e2ln x
无1 关x2 ;
西 南 科
3.x0
1,
y0
0:
x 1
y x2
理
学
院
3
西
南
科
技
大
学
理
学
院
4
二、全微分方程判定定理与不定积分法
定理：设函数 M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上
的单连通区域 D 内连续可微，那么方程(1)是全
微分方程的充要条件是在 D 内恒成立
演示证明。
M N . y x
例如：对于方程 2x(1 x2 - y )dx - x2 - ydy 0,
于是，求解全微分方程的关键在于求出它 的一个原函数。
例如
西
xdx
ydy
0
的通积分为
源自文库
1 2
x
2
1 2
y
2
C
;
南 科
xd y yd x 0 的通积分为 xy C ;
技
大 学 理 学
ydx xdy x2 y2
0
的通积分为
arctan
x y
C .
院
2
例1 求解微分方程 2xydx (x2 y2 )dy 0.
3、积分因子法
定义: ( x, y) 0连续可微函数，使方程
(x, y)M (x, y)dx (x, y)N(x, y)dy 0 (2)
成为全微分方程,则称 ( x, y)为(1)的积分
因子.
西
南 科
显然，若μ(x,y)≠ 0,则（1）与（2）同解。
技
大
学 理
问题: 如何求方程的积分因子?
学
我们通过观察寻找方程的一个原函数。
左端 2xydx x2dy y2dy
ydx2 x2dy y2dy
d (x2 y) d (1 y3) d (x2 y 1 y3).
3
3
原方程的通积分为 x2 y 1 y3 C。
西
3
南
科 技
对于一个一般的方程，怎样判断它是否是
大
学
全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？
y3
y4
解
M y
6x y4
N x
,
是全微分方程,
将左端重新组合
1 y2
dy
(
2x y3
dx
3x2 y4
dy)
d(
1) y
x2 d( y3
)
d(
1 y
x2 y3
),
西
南 科 技 大 学
原方程的通解为
1 y
x2 y3
C.
理
学
院
10
西
南
科
技
大
学
理
学
院
11
前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对 于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。
3 2
.
3
一般地，若 M (x, y)dx N(x, y)dy 0 为全
微分方程，则它的通积分为
西
南
x
y
科 技 大
u(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
学 理 学
y
x
Q(x, y)dy
y0
x0 P(x, y0 )dx.
院
7
例2 求方程( x3 3xy2 )dx ( y3 3x2 y)dy 0 的通解.
x dx
学
理
学
院
13
1 d 1 (M N ) f ( x) dx N y x
( x) e f ( x)dx .
b.当只与y有关时; 0, d ,
x
y dy
d ln 1 (N M ) g( y)
dy M x y
西
南 科
( y) e g( y)dy .
技
大
学
理
院
12
我们用反推的办法来求积分因子
（2）为全微分方程 (M ) ( N ) ,
y
x
M M N N
y y x x
N M （M N ）
x y
y x
为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但
对于某些特殊情况，上式可求解。
西 南 科 技 大
a. 当只与x有关时;
0,
y
d ,
dx
y
1dy
0
C
y x
C.
技
大
学
理
学
院
16
例1: 求解微分方程：
(3x2 y 2xy y3)dx (x2 y2 )dy 0.
例2: 求解微分方程：
2xy3dx (x2 y2 1)dy 0.
一、全微分方程与原函数
定义: 若 M (x, y)dx N(x, y)dy 0 (1)
的左端恰好是某个二元函数的全微分，
全微分方程
即 du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy 或恰当方程
则称（1）为全微分方程或恰当方程，u (x ,y )
称为（1）的一个原函数。
例如
xdx ydy 0,
西 南
M 2x(1 x2 - y ), N - x2 - y.
科
技 大
从而 M - x N ,
学 理
y
x2 - y x
学
院
5
即方程为全微分方程。现在，我们来求方程的 一个原函数。
设u(x, y)是方程的一个原函数，则有
u M 2x(1 x2 - y ), (*) x
u N x2 - y. (**) y 先就（*）两端对x积分（视y为常数）有
u (x ,y )
1 (x 2
2
y 2 ),
西
南 科
使得d u (x ,y ) xd x yd y , 是全微分方程，
技
大 学 理
u (x ,y ) 是方程的一个原函数。
学
院
1
容易证明，如果 u (x ,y )是微分方程
（1）的一个原函数，则（1）的通积分为
u(x, y) C,
其中C为任意常数。
解
M y
6xy
N x
,
是全微分方程,
u(
x,
y)
x
0
(
x
3
3
xy 2
)d
x
y
0
y
3dy
x4 3 x2 y2 y4 ,
42
4
西
南 科 技 大
原方程的通解为 x4 3 x2 y2 y4 C .
学
42
4
理
学
院
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西
南
科
技
大
学
理
学
院
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例3 求方程 2x dx y2 3x2 dy 0的通解.