溧水区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

溧水区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数y=的定义域为M ，集合N={y|y=x 2
，x ∈R}，则M ∩N=（ ）
A ．∅
B ．N
C ．[1，+∞）
D ．M
2． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除
3． （+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
4． 若将函数y=tan （ωx+）（ω＞0）的图象向右平移
个单位长度后，与函数y=tan （ωx+
）的图象
重合，则ω的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则A B （ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（0，1）
D ．（1，2）
6． 复数z=
（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[0，1]
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
8． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{2,1,0}-- B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0}-- D ．{1,,0,1}- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
9． 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆
被双曲线C 截得劣弧长为23
a π
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
65 B ．210 C ．425
D ．43 10．已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ） A ．∅ B ．{x|x ＞0} C ．{x|x ＜1} D ．{x|0＜x ＜1}
可．
11．过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2
2
18
-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）
A ．2y x =
B ．22y x =
C ．24y x =
D ．2
3y x =
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
12．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1
B ．y=lnx
C ．y=x 3
D ．y=|x|
二、填空题
13．设x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．
14．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填A B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）． A B C D
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=（
）t ﹣a （a 为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
16．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
17．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．
18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R x
f x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1
x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，且12||2F F =，点
在该椭圆上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与以原点为圆心，b 为半径的圆上相切于第一象限，切点为M ，且直线l 与椭圆交于P Q 、两
点，问22F P F Q PQ ++是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．
20．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD 为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ． （1）求几何体σ的表面积；
（2）点M 时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD 的体积为，试判断M 点的轨迹是否为2个菱形．
21．在数列中，，
，其中
，
．
（Ⅰ）当
时，求
的值；
（Ⅱ）是否存在实数，使
构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； （Ⅲ）当时，证明：存在
，使得
．
22．（本小题满分12分）
已知向量,a b 满足：||1a =，||6b =，()2a b a ∙-=. （1）求向量与的夹角； （2）求|2|a b -.
23．（本题满分15分）
如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．
（1）求证：BM AD ⊥；
（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为
3
π
时，求λ的值．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO 图案是多边形ABEFMN ，其
设计创意如下：在长4cm 、宽1
c m 的长方形ABCD 中，将四边形DFEC 沿直线EF 翻折到MFEN （点F 是线段AD 上异于D 的一点、点E 是线段BC 上的一点），使得点N 落在线段AD 上. （1）当点N 与点A 重合时，求NMF ∆面积；
最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积. （2）经观察测量，发现当2NF MF
溧水区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，
∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
∵集合N中的函数y=x2≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y≥0}=N．
故选B
2．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故应选B．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．3．【答案】
B
【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．
【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=，
令5﹣=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．4．【答案】D
【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=．
故选D．
5．【答案】A
【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）
则A∪B=（0，+∞）
故选：A．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
6．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
7．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a≤1
∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，
∵g （x ）=在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a ＞2，或﹣a ＜1， 即a ＜﹣2，或a ＞﹣1，
综上得a ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．
8． 【答案】C
【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．
9． 【答案】B
考点：双曲线的性质． 10．【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x ＜1}， N={x|x ＞0}，则M ∩N={x|0＜x ＜1}， 故选D ．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，
11．【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则02>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，
解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x ． 12．【答案】D
【解析】解：选项A ：
y=
在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B ：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx 为非奇非偶函数，不正确；
选项C ：记f （x ）=x 3，∵f （﹣x ）=（﹣x ）3=﹣x 3，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）是奇函数，又∵y=x 3
区间
（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D ：记f （x ）=|x|，∵f （﹣x ）=|﹣x|=|x|，∴f （x ）≠﹣f （x ），故y=|x|不是奇函数，不正确． 故选D
二、填空题
13．【答案】 ﹣6 ．
【解析】
解：由约束条件
，得可行域如图，
使目标函数z=2x ﹣3y 取得最小值的最优解为A （3，4）， ∴目标函数z=2x ﹣3y 的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6． 故答案为：﹣6．
14．【答案】27
【解析】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，
若A方格填2，则排法有1×32=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．
故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．
15．【答案】0.6
【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0
a=0.1
由题意可得y≤0.25=，
即（）t﹣0.1≤，
即t﹣0.1≥
解得t≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
16．【答案】B
【解析】
17．【答案】5
【解析】
试题分析：'2'()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=． 考点：导数与极值． 18．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：1
22e e 1x x y +=+可得：()
()
122
221'1
x x x e e y e +-=+， 令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减， 则当x =0时，取最大值，最大值为e ， ∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：()()R lnx
f x x a a x =+-∈可得：()22ln 1'x x f x x
-+=， x ∈（0，e ），()'0f x >， 则f （x ）在（0，e ）单调递增， 下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0． 同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0． 综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数()ln x
f x x a x x =
+-=． 设()ln x g x x =，求导()2
1ln 'x
g x x -=，
当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0， g （x ）在（0，e ）单调递增， 当x =e 时取最大值，最大值为()1g e e
=， 当x →0时，a →-∞， ∴a 的取值范围1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）
≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
20．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）由已知S
=××2×sin135°=1，
△ABD
因而要使四面体MABD的体积为，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
21．【答案】
【解析】【知识点】数列综合应用
【试题解析】（Ⅰ），，．
（Ⅱ）成等差数列，，
即，
，即．
，．
将，代入上式，解得．
经检验，此时的公差不为0．
存在，使构成公差不为0的等差数列．
（Ⅲ）,
又，令．
由，
，
……
，
将上述不等式相加，得 ，即． 取正整数
，就有
22．【答案】（1）3
π
；（2） 【解析】
试题分析：（1）要求向量,a b 的夹角，只要求得这两向量的数量积a b ⋅，而由已知()2a b a ∙-=，结合数量积的运算法则可得a b ⋅，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式2
2
a a =，把
考点：向量的数量积，向量的夹角与模．
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cos ,a b a b a b
⋅<>=求得这两个
向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]π内及余弦值求出两向量的夹角．
23．【答案】（1）详见解析；（2）3λ=.
【解析】（1）由于2AB =，AM BM ==，则AM BM ⊥，
又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ， ∴⊥BM 平面ADM ，…………3分
又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分
24．【答案】（1）
215cm 16；（2）2
4. 【解析】试题分析：
（1）设MF x =4x =，则158
x =
， 据此可得NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=；
试题解析：
（1）设MF x =，则FD MF x ==
，NF =
∵4NF MF +=，
4x =，解之得158
x =， ∴NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=； （2）设NEC θ∠=，则2
NEF θ
∠=，NEB FNE πθ∠=∠=-，
∴()22
MNF π
π
πθθ∠=
--=-
，
∴1
1
2MN
NF cos MNF
sin cos πθ
θ==
=
∠⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭， MF FD MN tan MNF ==⋅∠=2cos tan sin πθθθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
∴22cos NF MF sin θ
θ
+-=.
∵14NF FD <+≤，∴114cos sin θθ-<
≤，即142
tan θ
<≤， ∴42πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭）， ∴22πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
）， 设()2cos f sin θθθ+=，则()2
12cos f sin θθθ--='，令()0f θ'=得23
π
θ=， 列表得
∴当23
π
θ=
时，2NF MF -取到最小值，
此时，NEF CEF NEB ∠=∠=∠3
FNE NFE NFM π
=∠=∠=∠=，6
MNF π
∠=
，
在Rt MNF ∆中，1MN =，MF =
，NF =，
在正NFE ∆中，NF EF NE ===，
在梯形ANEB 中，1AB =，4AN =4BE =，
∴MNF EFN ABEFMN ABEN S S S S ∆∆=++=六边形梯形144142⎛⨯⨯= ⎝⎭
.
答：当2NF MF -最小时，LOGO 图案面积为2
4. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.。