第二章极限习题及答案：极限的四则运算
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分类讨论求极限
例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1
lim
-∞
→n n n S S .
（1997年全国高考试题，理科难度0.33） 解： (
)()1
1
1
11
1--+--=
q q
b p p a S n
n
n
()(
)()()
()(
)()()
1
1111
1111
1
1
1111
--+----+--=
---n n n
n
n n q
p b p
q a q p b p q a S S .
分两种情况讨论；
（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<
p q ，
∴1
lim
-∞
→n n n S S
()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-
-⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------1111111111111111111lim
n n n n n n n n n n
p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅
=p b q a p b q a p
()()
p q a q a p =--⋅
=1111
（2）当1
∴ 1
l i m
-∞
→n n n S S
()(
)()(
)
()(
)()()
1
1111
111lim
1
1
1
111--+----+--=--∞
→n n n
n
n q
p b p
q a q p b p q a
()()()()()()()()1011011011011111--+---⨯-+-⨯-=
p b q a p b q a
()()()()
111111111=--------=
p b q a p b q a .
说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．
自变量趋向无穷时函数的极限
例 求下列极限： （1）4
2
2
4
2115lim
x
x x x x --+-∞
→
（2）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 2
2
3x x
x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞
∞”型，变形
的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．
第（2）题中，当∞→x 时，分式
1
223
-x x
与
1
22
+x x
都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”
型，变形的一般方法是先通分，变成“∞
∞”型或“0
0”型，再求极限．
解：（1）2
11151lim
2115lim
2
4
4
2
4
2
2
4--
+-=--+-∞
→∞
→x
x
x
x x x x x x x
.2
12
000012
lim 1
lim
1lim
1lim 5lim 1lim 2
4
4
2
-
=--+-=
--+-=
∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→x x x x x x x
x
x
x
（2）)12)(12()
12()12(lim 1212lim 22
23223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )
12)(12(11lim
)
12)(12(lim
2
2
2
3x x
x
x x x
x x x +
-
+
=+-+=∞
→∞
→
4
1)
02)(02(01)
12(lim )12(lim )
11(lim 2
=
+-+=+
-
+
=
∞
→∞
→∞
→x x
x
x x x
说明：“
∞
∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．
无穷减无穷型极限求解
例 求极限：
（1）)11(lim 2
2
x x x x x +--++-∞
→
（2）)11(lim 2
2x x x x x +--+++∞
→
分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式2
2
112lim
x
x x x x
x +-+
++=-∞
→
22
2
112lim
x
x x x x
x +-+++-=-∞
→
.11
111112
lim
2
2
-=+-
+
++
-=-∞
→x x
x
x
x （2）原式2
2
112lim
x
x x
x x
x +-+++=+∞
→
.11
111112
lim
2
2
=+-
+
++
=+∞
→x
x
x
x
x 说明：当0 x x ≠，因此 21 111112 1122 2 2 2 →+- + ++ ≠ +-+++x x x x x x x x x ． 利用运算法则求极限 例 计算下列极限：