07-无穷小与无穷大课件

M
有 1 M ，即 lim 1 .
x
x0 x
M 0 ， 0 ，当 0 x x0 时，恒有 f x M .
定理 在自变量 x 的同一变化过程中
，
如果 f x 是无穷大，
则
f
1
x
是无穷小 ；
如果
f
x
是无穷小，且
f
x
0
，则
f
1
x
是无穷大 .
比如，由 limx 3 0 可得lim 1 .
无穷小与无穷大
lim
ln x
1 e x3
x2 x2 1
无穷小与无穷大
无穷小
定义 如果 f x当 x x0（或 x ）时的极限为零，
则称 f x为当 x x0 （或 x ）时的无穷小.
(infinitesimal)
特别地，以零为极限的xn也称为n 时的无穷小.
比如，因为lim 1 0 ，所以 1 是 x 时的无穷小.
来自百度文库
x3
x3
无穷大
如果函数 f x 当 x x0 (或 x )时,
其绝对值 f x 无限增大，则称函数 f x
为
当 x x0 （或 x ）时的无穷大.
定义 设函数 f x 在 x0 的某一去心邻域内有
定义（或 x 大于某一正数时有定义）. M 0 ，
0（或 X 0 ），当 0 x x0 （或 x X ）时
x3
x3 x 3
x x
x
注：1.除了常数 0 是无穷小，其他任何常数，
即便是这个数的绝对值很小很小，都不是无穷小 .
2. 无穷小是以零为极限的函数.
定理 在自变量 x 的同一变化过程中，函 数
f x 有极限 A 的充分必要条件
是
f x A x，其中 x 是无穷小.
比如，由 lim x 3 可得lim x 3 0 .
(vertical asymptote)
2 . lim f x ， lim f x ，
xx0
x
lim f x ，等等
xx0
例 证明lim 1 .
y
x0 x
1
O1
y1 x
x
例 证明lim 1 . x0 x
证明 M 0 ， 要使 1 M ，只要 x 1 ，
x
M
取 1 ，则当0 x 0 时
恒有 f x M ，则称函数 f x 为
x x0 （或 x ）时的无穷大.
(infinity)
注 1.我们也说“函数的极限为无穷大”，并记作
lim f x 或 lim f x , 等等
xx0
x
如果 lim f x 或 lim f x ，则
xx0
x x0
直线 x x0 是函数 y f x 的图形的铅直渐近线.