07-无穷小与无穷大课件
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无穷小量与无穷大量ppt课件
例如, 函数
当
但
所以
时 ,
不是无穷大 !
*
三、无穷小量与无穷大量的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
说明:
*
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
Th1
第一章
二、 无穷大量
三 、 无穷小量与无穷大量的关系
一、 无穷小量
第四节
无穷小量与无穷大量
*
当
一、 无穷小量
定义1 . 若
时 , 函数
则称函数
例.
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
为
时的无穷小量 ,简称无穷小.
时为无穷小.
即：极限为零的变量(函数)称为无穷小.
*
注:
（1）除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
的 x , 总有
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
则称函数
当
时为无穷大量,
*
注
1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,
无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量；
3°
2°不能笼统地说某函数是无穷大，
而应当说
函数是自变量趋向某个值时的无穷大；
*
4° 无穷大与无界的关系
3. 无穷小与无穷大的关系
Th2
*
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
《无穷小无穷大》课件
无穷小是极限为零的变量或函数。
无穷小是数学分析中的一个重要概念，是 研究函数极限和连续性的基础。
无穷小是相对于自变量的某个变化范围而 言的，不是绝对的零。
无无穷小的性质
无穷小具有局部性、相对 性和极限性。
无穷小是相对于自变量的 某个变化趋势而言的，不 是绝对的零。
无穷小具有可加性、可减 性、可乘性和可除性等性 质。
无穷大的应用
无穷大在数学分析、实数理论、集合论等领域有着广泛的应用，是研究数学的基 础概念之一。
在实际应用中，无穷大可以用来描述物理现象和工程问题，例如在电路分析中， 无穷大可以用来表示电源电压或电流的极限值。
04
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的基 础
无穷小是无限趋近于0的数，而无穷 大是无限增大的数。无穷小和无穷大 之间的关系是相互依存的，无穷小是 无穷大的基础，因为任何无穷大的数 都可以分解为无穷小的数相加或相乘 。
无穷大分为实无穷和潜无穷两种类型 ，实无穷认为存在一个最大的数或集 合，而潜无穷则认为数列或集合可以 无限地增大而没有最大值。
无穷大的性质
01
无穷大具有传递性，即如果一个 数或集合大于另一个数或集合， 且后者大于另一个数或集合，则 前者也大于后者。
02
无穷大具有不可比较性，即无法 比较两个无穷大的大小，因为它 们都超出了任何有限的界限。
无穷级数和无穷乘积是微积分中的重 要工具，无穷小和无穷大在它们的计 算和证明中也有着重要的应用。
导数和积分
导数和积分是微积分中的重要概念， 无穷小和无穷大在导数和积分的计算 中也有着重要的应用。
物理中的应用
相对论
在相对论中，时间和空间都是相 对的，无穷小和无穷大在相对论 中有着重要的应用，例如光速的
第四节无穷小与无穷大
f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但 所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
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结束
1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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结束
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )
《无穷小于无穷大》PPT课件
界变量.（2）当x 0时，f (x)不是无穷大.
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数 ，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数 ，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
无穷小与无穷大及四则运算课件
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
注意！
?1? 无穷大不是数 ,而是当 x ? x0 ?或x ? ? ?时极限
为 ? 的函数 ,因此要把无穷大与很大 的数分开 .
?2? 无穷大必须指明自变 量的变化趋向 .
?3? 极限 为? ，但极限仍然不存在。
简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量 .
1.5
0.3 0.03 …
0.25 0.01 0.0001 …
10
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高等数学 Advanced Mathematics
3、无穷小的比较
定义 设? 和?是同一变化过程中的两个无穷小，
即lim ? =0和lim?=0
(１) 如果
? lim ?
?
0
，那么称? 是?的高阶无穷小
(２)
? lim 1 ? 0, ? 函数 1 是当 x ? ? 时为无穷小
x? ? x
x
5
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高等数学 Advanced Mathematics
例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。
(1) f (x) ? 0(x ? 3)
? lim 0 ? 0 x? 3
0是当 x ? 3 时为无穷小 (2) 1 (x ? 1)
4
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一、 无穷小概念
1.无穷小的定义
如果当 x ? x（0 或 x ? ?）时，函数f(x)的极限是零，那么称函 数f(x)当 x ? x（0 或 x ? ?）时为无穷小。常用? , ? ,?表示
? ? 例 ? lim x3 ? 27 ? 0, ? x3 ? 27是当x ? 3时为无穷小 . x? 3
《无穷大无穷小》课件
导数定理
导数定理是微积分学中的基本定理之一，它建立了函数在某点的导数与该点附近切线的斜率之间的关系。导数定理是研究函数行为和性质的重要工具，特别是在处理无穷大和无穷小的情况时。
中值定理
中值定理是导数定理的一种特殊形式，它说明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间内至少存在一点，使得该点处的导数等于函数在该区间内的平均变化率。这个定理对于理解函数在无穷大或无穷小处的行为非常有帮助。
பைடு நூலகம்5
无穷大与无穷小的实际应用案例
总结词
物理学中，无穷大与无穷小概念的应用广泛，涉及天体运动、量子力学等领域。
详细描述
在天文学中，宇宙的尺度是无穷大的，而黑洞、奇点等天体现象则体现了无穷小的概念。在量子力学中，粒子波函数的无穷大和无穷小描述了微观粒子的状态和行为。
总结词
物理学中的无穷大与无穷小有助于揭示自然界的基本规律和现象。
通过几个具体的例子，如切线斜率、高阶无穷小等，来解释无穷小的应用。
总结词
切线斜率是无穷小的一个实例，当函数在某点的导数为0时，该点处的切线斜率为无穷小；高阶无穷小也是一个重要的概念，表示比其他无穷小更高的阶数，在数学分析中有着广泛的应用。
详细描述
VS
无穷小的应用包括泰勒级数展开、微积分基本定理、函数的连续性和可导性等方面。
在物理学中，无穷大与无穷小的概念可以用来描述一些极端情况下的物理现象，例如黑洞、宇宙大爆炸等。
在经济学中，无穷大与无穷小的概念可以用来描述一些极端情况下的经济行为和风险。
04
无穷大与无穷小的数学定理
极限定理
01
极限定理是研究函数极限的重要工具，它描述了函数在无穷大或无穷小处的性质和行为。根据极限定理，函数在某点的极限值可以通过该点附近的函数值来逼近，这是函数极限定义的基础。
《高等数学》无穷小与无穷大、无穷小的比较 ppt课件
取 Xma X 1,x X2 { }当 , x X时,恒有
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
无穷大与无穷小极限运算法则.ppt
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;
∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
lim ( x ) lim ( x ) a b.
由保号性定理, 有 lim f ( x ) 0, 即 a b 0, 故 a b.
若在U ( x0 , )内有f ( x ) 0,则必有A 0.
注意
应用四则运算法则时,要注意条件:
参加运算的是有限个函数,它们的极限 都存在, 商的极限要求分母的极限不为0.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 3 可知
x
如果 lim f ( x ) ,则直线 x x0是函数 y f ( x) 结 x x0 论 的图形的 铅直渐近线(vertical asymptote).
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
前面的定理直接得出结论 .
lim[ f ( x ) g( x )] A B
定理3
如果 ( x ) ( x ), 而 lim ( x ) a ,
《无穷大无穷小》PPT课件
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
精选ppt
6
例1 求 lim x sin 1 .
x0
x
解 因为 lim x 0, 而 sin 1 1,
x0
x
由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得
lim xsin
7
例2. 求 解:
y sin x x
lim 1 0 x x 由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得
5
四、无穷小量的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小！
例如，n时， 1
之和为 1,不是无穷小.n
是无穷小，但 n个
1 n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积 是无穷小。
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
精选ppt
8
五、无穷小量和一般极限的关系（知道就行）
定理4 lim f (x) = A f (x) = A+, lim(x)=0. 这个定理可以简单地表述为如果某函数可以表示为常 数与无穷小量之和，则此函数以该常数为极限；反之亦 然.
例如,
精选ppt
9
定理证明从略.
定理将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小)；
精选ppt
2
二、 无穷大量
定义2 . 若
时 , 函数
则称函数
为
时的无穷大量 .
注意:
1. 无穷大量不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 无穷大量是极限不存在的一种情形，这里只是借用 了极限记号而已。
例如:
精选ppt
3
3. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
高等数学教学课件 第四节 无穷小与无穷大
1
2k
(k0,1,2,3,)
2
y(xk)2k2,
当 k充分 ,y(x 大 k)M 时 . 无界，
(2 )取 x k 2 k 1 (k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分 , x大 k ,时
但 y ( x k ) 2 k s2 i k n 0M . 不是无穷大．
10/15
例 1 证l明 im1 .
x x 0
x x 0
即 对 0 , 0 ,当 0 x x 0时 ,有
f(x ) A (f(x ) A ) 0
故 lim f(x)A . x x0
6/15
意义： （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函 f(x数 )在x0 附近的近似表达
式f(x)A, 误差为 (x).
练习题答案
一、1、0；
3、； 二、0 x 1 .
104 2
2、limf(x)C； x x
4、 1 . f(x)
18/15
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证：必要性 设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0 则l有 im (x)0, f(x ) A (x ). x x0 充分性 设 f(x ) A (x ), 其 中 (x)是x当 x0时的,无穷小
5/15
则 li（ m f(x ) A ) lim (x ) 0
的函数值 f ( x)总满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,记作
lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
8/15
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
第四节 无穷小与无穷大
x ?
f ( x ) A ( x ),且 lim ( x ) 0
x ?
证明 以x x0为例证明 .
(1) 必要性
令 ( x ) f ( x ) A 则 f ( x ) A ( x )
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 f ( x) A
f ( x) A
即
x x0
lim f ( x ) A
意义 利用这一关系,可将一般极限问题转化为特殊 极限问题(无穷小);
Hale Waihona Puke 关 系 ,求 例1 利 用 函 数 极 限 与 无 穷 的 cos x lim x 0 1 sin x
解
2
cos2 x 1 sin2 x 1 sin x 1 sinx 1 sin x 又 lim sin x 0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但 是无界变量未必是无穷大. 反例:参见书上P42,第7题.
1 例2 证 明l i m . x 1 x 1
证 按 定义 要证 : M 0, 0, 使 得 当0 x x0 时
就有 1 M x 1
1 即 x 1 , M
即 ( x) lim ( x ) 0
x x0
(2) 充分性
f ( x) A ( x)
( x ) f ( x ) A
lim ( x ) 0
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 ( x )
实现的 ,所 以 只 需 要 求 与 x0充 分 近 的 x, 其 函 数
f ( x ) A ( x ),且 lim ( x ) 0
x ?
证明 以x x0为例证明 .
(1) 必要性
令 ( x ) f ( x ) A 则 f ( x ) A ( x )
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 f ( x) A
f ( x) A
即
x x0
lim f ( x ) A
意义 利用这一关系,可将一般极限问题转化为特殊 极限问题(无穷小);
Hale Waihona Puke 关 系 ,求 例1 利 用 函 数 极 限 与 无 穷 的 cos x lim x 0 1 sin x
解
2
cos2 x 1 sin2 x 1 sin x 1 sinx 1 sin x 又 lim sin x 0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但 是无界变量未必是无穷大. 反例:参见书上P42,第7题.
1 例2 证 明l i m . x 1 x 1
证 按 定义 要证 : M 0, 0, 使 得 当0 x x0 时
就有 1 M x 1
1 即 x 1 , M
即 ( x) lim ( x ) 0
x x0
(2) 充分性
f ( x) A ( x)
( x ) f ( x ) A
lim ( x ) 0
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 ( x )
实现的 ,所 以 只 需 要 求 与 x0充 分 近 的 x, 其 函 数
无穷小与无穷大及四则运算ppt课件
(2) 有界函数与无穷小的积 仍为无穷小.
1
例3
求极限 lim x sin .
x0
x
解 因为lim x 0, x0
而 sin 1 1, x
由性质（2）lim x 0
x sin
1 x
0.
1
例4
求极限
lim sin x. x x
解
因为 lim 1 0, x x
而sin x 1,
由性质（2） lim 1 sin x 0.
实例1
在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？
3
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
实例2
❖ 将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？
注意！
1 无穷大不是数,而是当 x x0 或x 时极限
为的函数,因此要把无穷大与很大 的数分开.
2 无穷大必须指明自变 量的变化趋向.
3 极限为，但极限仍然不存在。
简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量.
17
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高等数学 Advanced Mathematics
三、无穷小与无穷大的关系
x 4x 3 2x 3
312
lim( )
x x
x2 x3
lim(4
x
2 x2
3 x3
)
0 0. 4
27
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高等数学 Advanced Mathematics
例8 求
《无穷小和无穷大》课件
无穷小序列
讨论无穷小序列的定义及其特点。
无穷大序列
介绍无穷大序列的定义和性质。
性质
无穷小性质
探讨无穷小的性质， 比如加法、乘法和 极限运算。
无穷大性质
讨论无穷大的性质， 如无穷大和有界函 数的关系。
无穷小与有 界函数
探讨无穷小和有界 函数之间的关联。
无穷大与趋 向无穷函数
讨论无穷大和趋向 无穷函数之间的关 系。
讨论
1
无穷小的判定
介绍判断一个数是否为无穷小的方法
无穷大的判定
2
和技巧。
讨论判断一个数是否为无穷大的方法
和策略。
3
常用的无穷小和无穷大
列举常见的无穷小和无穷大，并探究
可比无穷大和同阶无穷小
4
它们的应用。
解释可比无穷大和同阶无穷小的概念 及其重要性。
应用
洛必达法则
介绍洛必达法则及其在无穷小 和无穷大中的应用。
泰勒公式
解释泰勒公式及其在无穷小和 无穷大中的作用。
解析几何中的应用
探讨无穷小和无穷大在解析几 何中的实际应用。
总结
定义和性质回顾
回顾无穷小和无穷大的定义及其性质。
应用场景总结
总结无穷小和无穷大在不同领域中的应用场景。
未来深入学习方向
指导听众进一步学习无穷小和无穷大相关领域的知识。
ห้องสมุดไป่ตู้
参考文献
提供相关学术文献和参考资料，供听众进一步学习和研究。
《无穷小和无穷大》PPT 课件
# 无穷小和无穷大 介绍无穷小和无穷大的概念及其重要性。
前言
1 基础研究
2 概念讨论
无穷小和无穷大在研究区间内函数性质中 扮演着重要角色。
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x3
x3
x
x0 x
M 0 ， 0 ，当 0 x x0 时，恒有 f x M .
定理 在自变量 x 的同一变化过程中
，
如果 f x 是无穷大，
则
f
1
x
是无穷小 ；
如果
f
x
是无穷小，且
f
x
0
，则
f
1
x
是无穷大 .
比如，由 limx 3 0 可得lim 1 .
x3
x3
无穷大
如果函数 f x 当 x x0 (或 x )时,
其绝对值 f x 无限增大，则称函数 f x
为
当 x x0 （或 x ）时的无穷大.
定义 设函数 f x 在 x0 的某一去心邻域内有
定义（或 x 大于某一正数时有定义）. M 0 ，
0（或 X 0 ），当 0 x x0 （或 x X ）时
恒有 f x M ，则称函数 f x 为
x x0 （或 x ）时的无穷大.
(infinity)
注 1.我们也说“函数的极限为无穷大”，并记作
lim f x 或 lim f x , 等等
xx0
x
如果 lim f x 或 lim f x ，则
xx0
x x0
直线 x x0 是函数 y f x 的图形的铅直渐近线.
(vertical asymptote)
2 . lim f x ， lim f x ，
xx0
x
lim f x ，等等
xx0
例 证明lim 1 .
y
x0 x
1
O1
y1 x
x
例 证明lim 1 . x0 x
证明 M 0 ， 要使 1 M ，只要 x 1 ，
x
M
取 1 ，则当0 x 0 时
无穷小与无穷大
lim
ln x
1 e x3
x2 x2 1
无穷小与无穷大
无穷小
定义 如果 f x当 x x0（或 x ）时的极限为零，
则称 f x为当 x x0 （或 x ）时的无穷小.
(infinitesimal)
特别地，以零为极限的xn也称为n 时的无穷小.
比如，因为lim 1 0 ，所以 1 是 x 时的无穷小.
x x
x
注：1.除了常数 0 是无穷小，其他任何常数，
即便是这个数的绝对值很小很小，都不是无穷小 .
2. 无穷小是以零为极限的函数.
定理 在自变量 x 的同一变化过程中，函 数
f x 有极限 A 的充分必要条件
是
f x A x，其中 x 是无穷小.
比如，由 lim x 3 可得lim x 3 0 .