郑州大学信号与系统复习(本科2013)
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周期单位冲激序列的傅里叶变换 周期矩形脉冲序列的傅氏变换
(二) 抽样信号的傅立叶变换
f s (t ) p(t ) f (t )
若采用均匀抽样，抽样周期为Ts， 则 p(t) 是一个周期为Ts 的周期信号 抽样频率
则 P ( ) FT [ p( t )] 2
1 其 中 Pn Ts
离散信号的频谱是周期的；
连续信号的频谱是非周期的。
奈奎斯特（Nyqist）抽样率 fs 和抽样间隔Ts
从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的
必要条件： 抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍
s 2m or
fs 2 fm
f s 2 fm
抽样频率 抽样间隔 奈奎斯特抽样频率
第一章 绪论
1、信号的概念 2、分类：典型的连续时间信号：
第一章
绪论
指数、正弦、复指数、抽样、钟形、δ(t), u(t), eat, sin(ω0t), Sa(kt)
3、信号的运算：
移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘
4、奇异信号：
单位斜变、 阶跃、冲激（特性）、冲击偶
5、信号的分解：
傅立叶变换
非周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换的性质
对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反） 奇偶虚实性、微分特性、积分特性
卷积定理
周期信号的傅立叶变换——与单脉冲 信号的傅立叶级数的系数的关系 抽样信号的傅立叶变换——与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
wenku.baidu.com
n
P
n
( n s )
Ts
2 2
Ts
p( t )e jn s t dt
1 F s ( ) F ( ) * P ( ) 2
n
P F ( n
n
s
)
1、 矩形脉冲抽样
即 p(t) 为周期矩形脉冲
E
F ( )
p(t)
0
一般周期信号傅立叶变换的几点认识
FT 2π F n 1 n 1
1
f T t 的 频 谱 由 冲 激 序 列 组 成 ;
位 置 : n 1
强 度 : 2 π F n 1 与 f ( t )的 傅 立 叶 级 数 相 应 的 系 数 F ( n 1 )成 正 比 ,
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
jn 1 t 称为指数形式 f ( t ) Fn e 的傅立叶级数 n
F (n 1 )
1 Fn T1
T1 2 T 1 2
f ( t )e jn 1 t d t , n ( , )
Fn : 指数形式傅立叶级数的傅立叶系数 已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数
t
ESa 2
1 j
sgnt
2 j
1
e
ut
t
t
1
2
e
2 2 2
2
1 j
Ee
t ( )2
E e
-(
)2
ut
傅立叶变换特性主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性
信 号
连续信号 离散信号
系 统
连续系统 离散系统
抽样定理
典型的时间信号 序列的概念 信号的运算 典型的离散信号 奇异信号 信号的运算 信号的分解 微分方程 差分方程 完全解=齐次解+特解 完全解=齐次解+特解 =零状态相应 =零状态相应 +零输入相应 +零输入相应 卷积运算 卷积和运算
三大变换
傅立叶变换 拉普拉斯变换 z变换
τ
Ts
t
n s E Pn Sa ( ) Ts 2
E F s ( ) Ts
2 s Ts
0
Pn
s
s
n s Sa ( ) F ( n s ) 2 n
0
Fs ( )
s
s
2、 单位冲激抽样
F ( )
理想抽样
即 p(t) 为周期冲激脉冲
( t ) f ( t )dt f ( 0 )
( t t 0 ) f ( t )dt f ( t 0 )
偶函数 (t ) ( t ) f (t ) * (t ) f (t ); f (t ) * (t t 0 ) f (t t 0 )
p(t)
(1)
E
s
0
Ts
2 Ts
0
1 Ts
Pn
s
t
0
1 Pn Ts
1 F s ( ) Ts
s
n
F ( n
E Ts
s
Fs ( )
)
0
时域抽样等效于频域周期拓展
s
s
总结
周期信号的傅立叶变换
F ( )
n n
是f(t)傅里叶 级数的系数
2 Fn ( n 0 )
周期信号的频谱是离散的
抽样信号的傅立叶变换
Fs ( )
n n
是抽样脉冲序列p(t) 傅里叶级数的系数
s
P F ( n
n
)
抽样（离散）信号的频谱是周期的
总结
周期信号的频谱是离散的； 非周期信号的频谱是连续的；
傅立叶变换对 傅立叶正变换 F ( )
f (t )e
jt
dt = F [f(t)]
1 傅立叶反变换 f ( t ) 2
F e jt d = F-1[F(ω)]
简写 f t F
时域信号
f(t)的频谱
典型信号的傅立叶变换对总结
EG t
系统分析过程
第二章
连续时间系统的时域分析
（一）冲激响应 h (t)
1）定 义
系统在单位冲激信号δ(t) 的激励下产生 的零状态响应。
2）求 解 形式与齐次解相同
第二章
连续时间系统的时域分析
卷积定义：
f t
f 1 f 2 t d
利用卷积可以求解系统的零状态响应。
尺度变换、初值、终值
卷积特性 拉氏逆变换
部分分式展开法（求系数）例：课本例4-8、例4-9、例4-
11
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析 系统函数H(s)
要求握定义（两种定义方式）
求解（依据两种定义方式） 掌握系统函数与冲激响应的关系
例：课本习题4-16
用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型 要求：掌握串联形式S域模型变换电路、列方程、解方程 例：课本例4-15、课本习题4-6、4-11
1 Ts 2 fm
f s min 2 f m
Ts max
1 2 fm
奈奎斯特抽样间隔
28
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
定义：
单边拉氏变换、常用函数的拉氏变换，熟记6种常用函数
的拉氏变换（表4-1中的前6种）
拉氏变换的性质
线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、
第二章
连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程的建立与求解 2.3 起始点的跳变 2.4 零输入响应与零状态响应
2.5 冲激响应与阶跃响应
2.6 卷积积分
2.7 卷积的性质
第二章
连续时间系统的时域分析
经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问 题有待进一步解决—— h(t)； 卷积法 : 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求 。(新方法)：与冲激函数、阶跃函数的卷积
脉冲分量、
6、系统模型及其分类 7、线性时不变系统的基本特性：
线性（叠加性、均匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性
8、系统分析方法：
输入输出描述法、状态变量描述法
第一章
绪论
两对关系式 欧拉 公式
e
j t
cos( t ) j sin( t )
e jt cos( t ) j sin( t )
傅立叶变换的关系
抽样定理
时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！
第三章 傅立叶变换
周期信号的傅立叶级数
f ( t ) a0
n 1
(a n cos n1t bn sin n1t )
称为f (t)的傅立叶级数（三角形式）
三角形式傅立叶级数的傅里叶系数：
直流系数
信号与系统
Signals and Systems
总复习
赵书俊 郑州大学物理工程学院
电子科学与仪器实验中心
1
信号与系统
第一章 绪论 第二章 连续时间系统的时域分 析 第三章 傅里叶变换 第四章 拉普拉斯变换、连续时 间系统的s域分析 第五章 傅里叶变换应用于通信 系统 第十一章 信号流图 第十二章 系统的状态变量分析
f ( t ) u( t )
f ( ) d
t
f ( t ) k ( t ) f k ( t ) f ( t ) k ( t t 0 ) f k ( t t 0 )
第三章 傅立叶变换
周期信号的傅立叶级数
三角函数形式、指数形式 典型信号的频谱：Gτ(t),δ(t), u(t), Sa(t)
线性性质 尺度变换性质 频移特性
微分性质
时域积分性质
卷积定理
•时域卷积定理
若 f 1 t F 1 , f 2 t F 2
则 f 1 t f 2 t F1 F 2 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。
•频域卷积定理 若 f 1 t F 1 , f 2 t F 2 1 则 f 1 t f 2 t F1 F2 2π 时 间 函 数 的 乘 积 各 频 谱 函 数 卷 积 的 1 2π 倍 。 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
f t d f t
推广： f (t ) (t t 0) f (t t 0)
f ( t t 1) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 ) f ( t ) ( t ) f ' ( t )
rzs t e t h t e t h t
第二章
连续时间系统的时域分析
主要内容
卷积的性质
代数性质
交换律 分配律 结合律 微分积分性质 与冲激函数或阶跃函数的卷积
第二章
连续时间系统的时域分析
f t t
f t d
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束 齐次解：rh(t )满足高阶微分方程中右端激励e(t ) 经典法 及其各阶导数都为零的齐次方程 特解：r (t ) 的函数形式与激励函数形式有关 p 解方程双零法零输入 : 可利用经典法求 零状态 : 利用卷积积分法求解 变换域法 : s变换，在s域求解微分方程
谐 波 频 率
周期信号的频谱是离散 谱
2
谱 线 的 幅 度 不 是 有 限 值 , 因 为 F 表 示 的 是 频 谱 密 度 。
周 期 信 号 的 F 只 存 在 于 n 1 处 , 是 冲 激 函 数
表明在无限小的频带范围内，取得了无限大∞的频谱值。
典型周期信号傅立叶变换
1 a0 T1
2 an T1
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
余弦分量 系数 正弦分量 系数
T1 2 T 1 2
f ( t ) cos(n 1 t )dt
2 bn T1
T1 2 T 1 2
f ( t ) sin( n 1 t )dt
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
1 sin( t ) ( e jt e jt ) 2j 1 cos(t ) ( e j t e j t ) 2
推出 公式
第一章
绪论
关于冲激信号
(at )
1 (t ) a
尺度变换特性
( t ) f ( t ) f ( 0 ) ( t )
( t t 0 ) f ( t ) f ( t 0 ) ( t t 0 )
(二) 抽样信号的傅立叶变换
f s (t ) p(t ) f (t )
若采用均匀抽样，抽样周期为Ts， 则 p(t) 是一个周期为Ts 的周期信号 抽样频率
则 P ( ) FT [ p( t )] 2
1 其 中 Pn Ts
离散信号的频谱是周期的；
连续信号的频谱是非周期的。
奈奎斯特（Nyqist）抽样率 fs 和抽样间隔Ts
从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的
必要条件： 抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍
s 2m or
fs 2 fm
f s 2 fm
抽样频率 抽样间隔 奈奎斯特抽样频率
第一章 绪论
1、信号的概念 2、分类：典型的连续时间信号：
第一章
绪论
指数、正弦、复指数、抽样、钟形、δ(t), u(t), eat, sin(ω0t), Sa(kt)
3、信号的运算：
移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘
4、奇异信号：
单位斜变、 阶跃、冲激（特性）、冲击偶
5、信号的分解：
傅立叶变换
非周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换的性质
对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反） 奇偶虚实性、微分特性、积分特性
卷积定理
周期信号的傅立叶变换——与单脉冲 信号的傅立叶级数的系数的关系 抽样信号的傅立叶变换——与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
wenku.baidu.com
n
P
n
( n s )
Ts
2 2
Ts
p( t )e jn s t dt
1 F s ( ) F ( ) * P ( ) 2
n
P F ( n
n
s
)
1、 矩形脉冲抽样
即 p(t) 为周期矩形脉冲
E
F ( )
p(t)
0
一般周期信号傅立叶变换的几点认识
FT 2π F n 1 n 1
1
f T t 的 频 谱 由 冲 激 序 列 组 成 ;
位 置 : n 1
强 度 : 2 π F n 1 与 f ( t )的 傅 立 叶 级 数 相 应 的 系 数 F ( n 1 )成 正 比 ,
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
jn 1 t 称为指数形式 f ( t ) Fn e 的傅立叶级数 n
F (n 1 )
1 Fn T1
T1 2 T 1 2
f ( t )e jn 1 t d t , n ( , )
Fn : 指数形式傅立叶级数的傅立叶系数 已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数
t
ESa 2
1 j
sgnt
2 j
1
e
ut
t
t
1
2
e
2 2 2
2
1 j
Ee
t ( )2
E e
-(
)2
ut
傅立叶变换特性主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性
信 号
连续信号 离散信号
系 统
连续系统 离散系统
抽样定理
典型的时间信号 序列的概念 信号的运算 典型的离散信号 奇异信号 信号的运算 信号的分解 微分方程 差分方程 完全解=齐次解+特解 完全解=齐次解+特解 =零状态相应 =零状态相应 +零输入相应 +零输入相应 卷积运算 卷积和运算
三大变换
傅立叶变换 拉普拉斯变换 z变换
τ
Ts
t
n s E Pn Sa ( ) Ts 2
E F s ( ) Ts
2 s Ts
0
Pn
s
s
n s Sa ( ) F ( n s ) 2 n
0
Fs ( )
s
s
2、 单位冲激抽样
F ( )
理想抽样
即 p(t) 为周期冲激脉冲
( t ) f ( t )dt f ( 0 )
( t t 0 ) f ( t )dt f ( t 0 )
偶函数 (t ) ( t ) f (t ) * (t ) f (t ); f (t ) * (t t 0 ) f (t t 0 )
p(t)
(1)
E
s
0
Ts
2 Ts
0
1 Ts
Pn
s
t
0
1 Pn Ts
1 F s ( ) Ts
s
n
F ( n
E Ts
s
Fs ( )
)
0
时域抽样等效于频域周期拓展
s
s
总结
周期信号的傅立叶变换
F ( )
n n
是f(t)傅里叶 级数的系数
2 Fn ( n 0 )
周期信号的频谱是离散的
抽样信号的傅立叶变换
Fs ( )
n n
是抽样脉冲序列p(t) 傅里叶级数的系数
s
P F ( n
n
)
抽样（离散）信号的频谱是周期的
总结
周期信号的频谱是离散的； 非周期信号的频谱是连续的；
傅立叶变换对 傅立叶正变换 F ( )
f (t )e
jt
dt = F [f(t)]
1 傅立叶反变换 f ( t ) 2
F e jt d = F-1[F(ω)]
简写 f t F
时域信号
f(t)的频谱
典型信号的傅立叶变换对总结
EG t
系统分析过程
第二章
连续时间系统的时域分析
（一）冲激响应 h (t)
1）定 义
系统在单位冲激信号δ(t) 的激励下产生 的零状态响应。
2）求 解 形式与齐次解相同
第二章
连续时间系统的时域分析
卷积定义：
f t
f 1 f 2 t d
利用卷积可以求解系统的零状态响应。
尺度变换、初值、终值
卷积特性 拉氏逆变换
部分分式展开法（求系数）例：课本例4-8、例4-9、例4-
11
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析 系统函数H(s)
要求握定义（两种定义方式）
求解（依据两种定义方式） 掌握系统函数与冲激响应的关系
例：课本习题4-16
用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型 要求：掌握串联形式S域模型变换电路、列方程、解方程 例：课本例4-15、课本习题4-6、4-11
1 Ts 2 fm
f s min 2 f m
Ts max
1 2 fm
奈奎斯特抽样间隔
28
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
定义：
单边拉氏变换、常用函数的拉氏变换，熟记6种常用函数
的拉氏变换（表4-1中的前6种）
拉氏变换的性质
线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、
第二章
连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程的建立与求解 2.3 起始点的跳变 2.4 零输入响应与零状态响应
2.5 冲激响应与阶跃响应
2.6 卷积积分
2.7 卷积的性质
第二章
连续时间系统的时域分析
经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问 题有待进一步解决—— h(t)； 卷积法 : 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求 。(新方法)：与冲激函数、阶跃函数的卷积
脉冲分量、
6、系统模型及其分类 7、线性时不变系统的基本特性：
线性（叠加性、均匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性
8、系统分析方法：
输入输出描述法、状态变量描述法
第一章
绪论
两对关系式 欧拉 公式
e
j t
cos( t ) j sin( t )
e jt cos( t ) j sin( t )
傅立叶变换的关系
抽样定理
时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！
第三章 傅立叶变换
周期信号的傅立叶级数
f ( t ) a0
n 1
(a n cos n1t bn sin n1t )
称为f (t)的傅立叶级数（三角形式）
三角形式傅立叶级数的傅里叶系数：
直流系数
信号与系统
Signals and Systems
总复习
赵书俊 郑州大学物理工程学院
电子科学与仪器实验中心
1
信号与系统
第一章 绪论 第二章 连续时间系统的时域分 析 第三章 傅里叶变换 第四章 拉普拉斯变换、连续时 间系统的s域分析 第五章 傅里叶变换应用于通信 系统 第十一章 信号流图 第十二章 系统的状态变量分析
f ( t ) u( t )
f ( ) d
t
f ( t ) k ( t ) f k ( t ) f ( t ) k ( t t 0 ) f k ( t t 0 )
第三章 傅立叶变换
周期信号的傅立叶级数
三角函数形式、指数形式 典型信号的频谱：Gτ(t),δ(t), u(t), Sa(t)
线性性质 尺度变换性质 频移特性
微分性质
时域积分性质
卷积定理
•时域卷积定理
若 f 1 t F 1 , f 2 t F 2
则 f 1 t f 2 t F1 F 2 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。
•频域卷积定理 若 f 1 t F 1 , f 2 t F 2 1 则 f 1 t f 2 t F1 F2 2π 时 间 函 数 的 乘 积 各 频 谱 函 数 卷 积 的 1 2π 倍 。 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
f t d f t
推广： f (t ) (t t 0) f (t t 0)
f ( t t 1) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 ) f ( t ) ( t ) f ' ( t )
rzs t e t h t e t h t
第二章
连续时间系统的时域分析
主要内容
卷积的性质
代数性质
交换律 分配律 结合律 微分积分性质 与冲激函数或阶跃函数的卷积
第二章
连续时间系统的时域分析
f t t
f t d
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束 齐次解：rh(t )满足高阶微分方程中右端激励e(t ) 经典法 及其各阶导数都为零的齐次方程 特解：r (t ) 的函数形式与激励函数形式有关 p 解方程双零法零输入 : 可利用经典法求 零状态 : 利用卷积积分法求解 变换域法 : s变换，在s域求解微分方程
谐 波 频 率
周期信号的频谱是离散 谱
2
谱 线 的 幅 度 不 是 有 限 值 , 因 为 F 表 示 的 是 频 谱 密 度 。
周 期 信 号 的 F 只 存 在 于 n 1 处 , 是 冲 激 函 数
表明在无限小的频带范围内，取得了无限大∞的频谱值。
典型周期信号傅立叶变换
1 a0 T1
2 an T1
T1 2 T 1 2
f ( t )dt
余弦分量 系数 正弦分量 系数
T1 2 T 1 2
f ( t ) cos(n 1 t )dt
2 bn T1
T1 2 T 1 2
f ( t ) sin( n 1 t )dt
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
1 sin( t ) ( e jt e jt ) 2j 1 cos(t ) ( e j t e j t ) 2
推出 公式
第一章
绪论
关于冲激信号
(at )
1 (t ) a
尺度变换特性
( t ) f ( t ) f ( 0 ) ( t )
( t t 0 ) f ( t ) f ( t 0 ) ( t t 0 )