高等数学 第十二章 差分方程

1
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 ay0
y2 ay1 a 2 y0
y3 ay2 a3 y0
yx ayx1 a x y0
容易验证，yx a x y0满足差分方程，令 y0 C为任意常数，于是差分方程（1）的 通解为Yx Ca x .
例1 求2 yx1 yx 0的通解.
于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
例3
解
求差分方程 y x1 5
对应齐次方程通解
yx
Yx
3, y0
C 5x
7 的特解．
3
1不是特征方程的根， 设 yx A，
代入方程, 得 A 3，
4
方 程 的 通 解 为y x
3 4
C
5x ,
将y0
于是y
x
x
zx.
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
即 a 0
特征方程
＝a
特征根
于是yx a x是（1）的一个解， 从而yx Ca x是（1）的通解.
用特征根法求例1 的通解.
解
特征方程 2 1 0
特征根
1 2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
二、非齐次方程
的解法
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
7 3
代 入 ， 则C
7 3
3 4
37 12
故 方 程 的 特 解yx
37 12
5x
3 4
.
例4求差分方程 yx1 yx x3 3x2 2x的通解.
解 1是特征方程的根，
这类方程可用另一种较简单的方式求解.
方程左边为y
，右边为
x
x3 3x2 2x x x2 3x 2
xx 1x 2 x3
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0
k
1
1不 是 特征 方 程 的 根 1是 特 征方 程 的 根
例2 求差分方程 yx1 2 yx 3x2的通解.
解 特征方程 2 0，
特征根 2，
对应齐次方程通解
Yx C 2x
1不是特征方程的根，设
y
x
Ax2
Bx
C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
一 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx，
另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
下面
讨论特解y
的求法
x
:
当右端f x是某些特殊形式的函数时，
采 用 待 定 系 数 法 求 其 特解y x 较 为 方 便.
故yx x3
方程的通解为y x
x 4 4
C.
2. f ( x) x pn x型
方程2为 yx1 ayx x pn x 1 0，1 类型1
2 0，1 设yx x zx
代入方程得
z x1 x1
a x zx
x
pn
x
消去 x，即得zx1 azx pn x 类型1
待 定 系 数 法 假 定 待 定 的 特 解yx与f ( x)的 形 式 相 同.然 后 将 它 们 代 入 差 分 方程, 求 出 待 定 系 数 即可求出特解．
1. f ( x) pn x型
方程2为yx1 ayx pn x
即yx 1 ayx pn x
设y
是它的解，代入上式得
x
yx 1 ayx pn x
第十二章 差分方程
第一节 差分方程的基本概念 第二节 一阶常系数线性差分方程
第一节 差分方程的基本概念
一、差分的定义 二、差分方程的基本概念
一、差分的定义
二、差分方程的基本概念
含有未知函数的差分yx , 2 yx ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) 0 含有未知函数两个或两个以上时期的符号 yx , yx1,的方程，称为差分方程.
形式：F(x, yx , yx1,, yxn ) 0 或G(x, yx , yx1,, yxn ) 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；
由于pn x是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是n 1次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 a 0
令yx Qn ( x) b0 xn b1 xn1 bn
(2) 1是特征方程的根，即1 a 0
令y
x
xQn ( x)
x
b0 xn
b1 x n1
bn
的解法 的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一、齐次方程
的解法
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
第二节 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程 二、非齐次方程
1
解 a
Baidu Nhomakorabea
2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
2.特 征 根 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
方 程 （1） 变 形 为
yx 1 ayx 0(a 0为常数)
根据x 1x，
可
以
看
出y
的
x
形
式
一
定
为
某
一
指
数函
数.
设yx x ( 0)，代入（1）得
x1 ax 0