高等数学 第十二章 差分方程
差分方程
练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3
差分方程介绍
例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量
(1) yk = ak + b
(1) (1) yk = 1.3k + 9.5, y6 = 17.3
得到
缺点：数据少，用回归分析不好。改用差分方程
yk = a1 yk −1 + a2 yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 或者 用二阶差分， yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3
和最小二乘法，使 最小，求出
∑[ y
3
5
k
− (a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 a3 = −8, y6 = 21, y7 = 19
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直 第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。 觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程， 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为此， 为此，将季度编号为
∗
只取一次项近似为： 只取一次项近似为： （5）是（4）的近似线性方程，x ∗ 也是 ( 5 ) ） ）的近似线性方程， 的平衡点， 的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条 件上面已给出。 件上面已给出。
高等数学 第十二章 差分方程
第十二章 差分方程
教学要求 1．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
2．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
3．会应用差分方程求解一些简单的应用问题。
教学重点
一阶常系数线性差分方程的解法，差分方程在实际问题中的简单应用。
教学难点
差分与差分方程的概念，一阶常系数线性差分方程的求解。
教学内容
第一节 差分方程的基本概念
一、差分方程的定义
二、差分方程的的基本概念
第二节 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程01=++t t ay y 的解法
二、非齐次方程)(1t f ay y t t =++的解法。
数学建模差分方程PPT课件
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们称这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y .例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程
xk = ( − a ) x0 , k = 1, 2,L
k
所以当且仅当|a|<1时 方程（ 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）的平衡点 |a|<1 从而方程（ 的平衡点）才是稳定的. （从而方程（1）的平衡点）才是稳定的.
常数矩阵A构成的 常数矩阵 对于n维向量 x ( k ) 和n×n常数矩阵 构成的 对于n (3) 方程组 x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 其平衡点稳定的条件是 的特征根
g 曲线斜率 y P3 f f P4 g P4 P3 K f < Kg K f > Kg y0 y0 P0 P0 y3 P2 P2 P1 y1 P1 0 x2 x x3 x1 x 0 x0 x 0
y y2
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0) xk +1 − x0 = β ( yk − y0 ) ( β > 0)
k +1
xk +1 − x0 = −αβ ( xk − x0 ) x
− x 0 = ( −αβ ) ( x1 − x 0 )
k
αβ < 1 (α <1/ β)
xk → x0 xk → ∞
= 1，故有解 an = 2 −1
n
1.3 差分方程的平衡点及稳定性 (1) 一阶线性方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数分方程
x k +1 + axk = b, k = 0,1,2,L
的平衡点由 x + ax = b 当
★差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
代如方程(11)得
x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
(12)
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
特征方程的解
两个不相等的实根 1, 2 两个相等实根 1 = 2
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程.
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求 x, yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为 y*x C.
这里 a = 1, 设 yx x(B0 B1x), 代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1. 整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 3 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y x Bx2x ,
高等数学知识点汇总
高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。
差分方程课件
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
高等数学教学中差分方程的经济学拓展
程在银行信 贷、 国民经济增长 等方面 的重 要应用 ， 可 以使 学 生加深 对差分 方 程概念 和 求解 方法 的理解 ， 并培养 学
生利用数 学思想解决经济 问题 的思维 能力 ， 从 而达到经 济管 理 类院校 数 学教师将 数 学 与经济 学有机 结合 的教 改
目的 。
【 关键词】 差分方程 ； 经济学应用 ； 模型
ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ ｃｏ ｅ ｎ ｏ ｍｉ ｃ ｓ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｇ ａ ｎ ｉ ｃ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｏ ｂ ｊ ｃｔ ｅ ｉ ｖ ｅ ．
【 ｌ
】 ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ｌ ａ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｅ ｃ ｏ ｎ ｏ ｍ ｉ ｃ ｓ 印ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ
Ｅｃ ｏ ｎｏ ｍｉ ｃ ａ ｌ Ａｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｔｅ ａ ｃ ｈｉ ｎ ｇ ｏ ｆ Ａｄ ｖ ａ ｎｃ ｅ ｄ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
［ 文献标识码 ］Ａ 【 文章编 号］１ ６ ７ ４—３ ２ ２ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ —０ ０ ４ ９ —０ ４
［ 中图分类号 ］Ｏ１ ３
０ 引言
经济与管理中实际问题的经济数据多为离散型
变量 ， 而差 分方程是 研究离 散化 的经 济变 量之 间变化
兴趣 出发 ， 将枯 燥 、 抽 象 的数 学 公 式及 解 题方 法 应 用 到学 生熟悉 的宏 观经济模 型 中 ， 对 于差 分方程 的教 与
差分方程2
致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其
它农副产品 . 过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求 , 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将
一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种
现象是永远不可避免的 . 由于商品的价格主要由需求
yt a t y0 ( t 0,1,2,).
yt 1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
t 1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
即
a.
t 1 a t 0
利率，按年复利计息，则 S t 与 r 有如下关系式：
S t 1 S t rS t (1 r ) S t ,
t 0,1,2,,
这是关于 S t 的一个一阶常系数齐次线性差分方程，
其通解为
S t (1 r ) t S 0 ,
t 0,1,2,,
其中 S 0为初始存款总额.
二、 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f ( t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数. 当 f (t ) 0 时，称方程
yt 1 ayt 0
(3)
(a 0)
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程. 若 f (t ) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性 差分方程.
2
a r 12n I (1 ) I 2 12 (1 r 12n ) 1 12 x, r 12
差分方程
第九节差分方程迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.内容分布图示★引言★差分的概念★例1-5★差分方程的概念★例6 ★例7★一阶常系数线性齐次差分方程★一阶常系数线性非齐次差分方程★例9-14 ★例15 ★例16 ★二阶常系数线性差分方程★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解★ 例17★ 例18★ 例19★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解 ★例20-23差分方程在经济学中的应用 ★ 模型1 ★ 模型2★模型3★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题8-9 ★ 返回内容要点：一、 差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t的变化率是用dtdy 来刻画的；对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商ty ∆∆来刻画变量y 的变化率. 如果选择1=∆t ，则)()1(t y t y y -+=∆可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义.定义1 设函数).(t y yt= 称改变量tt y y-+1为函数ty 的差分,也称为函数ty 的一阶差分, 记为ty ∆, 即tt t y y y -=∆+1 或)()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分ty 2∆, 即tt t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆一般地，函数ty 的1-n 阶差分的差分称为n 阶差分，记为tny ∆，即t n t n t ny y y 111-+-∆-∆=∆i n t in ni i y C -+=∑-=)1( 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.差分的性质： （1）tt y C Cy ∆=∆)();(为常数C（2） ;)(t t t t z y z y ∆±∆=±∆（3）;)(1t t t t t t z y y z z y ∆+∆=⋅∆+（4）tt tt t t t t z z z y y z z y ⋅∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+1).0(≠t z二、差分方程的概念定义2 含有未知函数ty 的差分的方程为差分方程.差分方程的一般形式:0),,,,,(2=∆∆∆t nt t t y y y y t F或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是tn t n t y y y ,,,1 +++都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f P yy tt =-+(9.1)其中, P 为非零常数,)(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为1=-+t t Py y (9.2)方程(9.2)称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程(9.1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性非齐次差分方程定理1 设ty 为方程(9.2)的通解,*ty 为方程(9.1)的一个特解,则*tt ty y y+=为方程(9.1)的通解.（1）C t f =)( (C 为非零常数) （2）tCb t f =)( (C , b 为非零常数且1≠b )四、二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式:)(12t f byayy tt t =++++(9.9)其中b a ,均为常数, 且,0≠b )(x f 是已知函数. 当0)(=x f 时, 方程(9.9)变为12=++++t t t by ay y (9.10)方程(9.10)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(9.9)称为二阶常系数线性非齐次差分方程.定理2 设ty 为方程((9.10)的通解,*ty 为方程(9.9)的一个特解, 则*tt ty y y+=为方程(9.9)的通解.二阶常系数线性齐次差分方程的通解 特征方程2=++b aλλ(9.11)二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解 仅考虑方程(9.9)中的)(x f 取某些特殊形式的函数时的情形.(1))()(t Px f m=(其中)(t Pm是t 的m 次多项式), 方程(9.9)具有形如)(*t R t ym kt=的特解, 其中)(t Rm为t 的m 次待定多项式.五、 差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为,ta 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于,ta 的差分方程模型为1000)005.1(1-=+t t a a (9.11)且.,00120x a a==二、价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系 设)(t P 为第t 个时段某类产品的价格,)(t L 为第t 个时段的库存量. L 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程)(1t t t L L k P P -=-+ (9.13)其中k 为比例常数.三、国民收入的稳定分析模型本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t 期内的国民收入ty 主要用于该期内的消费tG , 再生产投资tI 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有GI C y t t t ++= (9.17)又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即)10(1<<=-A Ay C t t (9.18)第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有)(1--=t t t C C B I (9.19)由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得GBAyy B A y t t t =++---21)1( (9.20)于是, 对应A , B , G 以及,,0y y可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.例题选讲：差分的概念与性质例1（讲义例1）设,2t y t=求).(),(),(32t t t y y y ∆∆∆例2（讲义例2）设.1),1()2)(1()0()(=+---=tn t t t t t n 求)(n t ∆.例3（讲义例3）求ttt y 32⋅=的差分.例4 设,22t ty += 求.,,32t t ty y y∆∆∆例5 试改变差分方程023=∆+∆t t y y 的形式.差分方程的概念例6（讲义例4）试确定下列差分方程的阶..735)2(;0)1(15423=+=+-++--+t t t t t y y y y y例7（讲义例5）指出下列等式哪一个是差分方程, 若是, 进一步指出是否为线性方程..432)2(;33)1(12=+-+=∆-++t t t tt t y y y a y y一阶常系数线性差分方程例8（讲义例6）求差分方程031=-+t t y y 的通解. 例9（讲义例7）求差分方程231-=-+t t y y 的通解.例10（讲义例8）求差分方程tt t y y⎪⎭⎫⎝⎛=-+233211在初始条件5=y时的特解.例11（讲义例9）求差分方程2134ty y t t =-+的通解.例12 求差分方程ty yt t πsin 341=++的通解. 例13 求差分方程 ty y t t 231+=-+满足初始条件5=y的特解.例14（讲义例10）求差分方程tt t t y y4221+=++的通解.例15 设某产品在时期t 的价格, 供给量与需求量分别为tt S P ,与),2,1,0( =t Dt. 1当121+=t t P S,tt t t D S P D =+-=-3,5421时, 求证(1) 由3,2,1推出差分方程.221=++t t P P(2) 已知0P , 求上述差分方程的解.例16（讲义例11）在农业生产中, 种植先于产出及产品出售一个适当的时期, t 时期该产品的价格tP 决定着生产者在下一时期愿意提供市场的产量tt P S ,1+还决定着本期该产品的需求量,tQ 因此有1,-+-=-=t t t t dP c S bP a Q (a , b , c , d 均为正的常数)求价格随时间变动的规律. 二阶常系数线性差分方程例17（讲义例12）求差分方程04312=--++t t t y y y 的通解. 例18（讲义例13）求差分方程04412=++++t t t y y y 的通解. 例19（讲义例14）求差分方程04212=+-++t t t y y y 的通解.例20 求差分方程 12212=-+++t t t y y y 的通解及0,010==y y的特解.例21（讲义例15）求差分方程ty y y t t t =-+++4312的通解.例22（讲义例16）求差分方程tt t t y y y 23212⋅=++++的通解.例23 求差分方程tt t t y y y⎪⎭⎫⎝⎛-=++++214112的通解.差分方程在经济学中的应用课堂练习 1.求差分方程21ty yt t =-+的通解.2.求差分方程ty y y t t t =-+++4312的通解.3.求差分方程tt t t y y y57612⨯=-+++的通解.。
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
差分方程讲解--老师
§2 一阶线性差分方程
数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解 时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解 的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差 分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值 开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有 第k项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项 或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态 可能是困难的.
差分方程从数列谈起
§1 数列的差分
§2 一阶线性差分方程 §3 一阶线性差分方程组
§1 数列的差分
一. 数列的概念
二. 数列差分的概念 三. 差分表的性质
§1 数列的差分 一. 数列的概念
一个数列就是实数的任何(有限或无限的) 有序集. 这些数称为数列的项或元素.
用an来表示数列的第n项, 称之为数列的 通项. 定义1.1 一个数列是一个函数, 其定义域 为全体正整数(有时, 为方便计, 是全体非 负整数集合), 其值域包含在全体实数集中.
{2Sn} {2n3} {5, 7, 9, 11, }
以及
{3Sn} {2, 2, 2, 2, }
令
Sn An3 Bn2 Cn D.
§1 数列的差分
由S1 1, S2 5, S3 14, S4 30得 A B C D 1, 8A 4B 2C D 5(23 A 22 B 2C D 5), 27A 9B 3C D 14(33A 32B 3C D 14), 64A 16B 4C D 30(43A 42 B 4C D 30), 解关于A, B, C和D的方程组可得 A 1/3, B 1/2, C 1/6, D 0, 则
1 1 C 0 A B 2 2 1 2 1 1 an n n n(n 1) 2 2 2
高数3-差分方程2
形如
yt+2 + ayt+1 + byt = f (x).
差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
(5.3.1)
(其中 a , b 0, 且均为常数)的方程, 称为二阶常系数线性
yt+2 + ayt+1 + byt = 0
(5.3.2)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
2 t+2 2 t+1 2 t 2t, 代入原方程, 得 B(t+2) 2 4B(t+1) 2 +4Bt 2 =8·
解得
B 1
所求特解为
通解为
yt t 2.
2 t
y ( C C t ) 2 t 2 t 1 2
t 2 t
t 1
3
2
3
代入初始条件 y0=0, y1=1得
0 C cos0 C sin0 4 0, 1 2 1 C2 sin 4 1 , 1 cos C 3 3
解出
1 C , 1 0, C 2 2 3
故所求特解为
1 y 4 sin t. t 23 3
解 对应的齐次方程的特征方程为
方程的根为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为
yt Bt 2,
t
代入原方程, 得 B(t+2)2t+23B(t+1)2t+1+2Bt2t = 2t, 解得 所求特解为 所以通解为
1 t t 1 y t 2 t 2 . t 2
13差分方程
线性差分方程 方程中未知函数各时点值都是一次整式 称为线性差分方程.一般形式为: y x n a1 y x n1 … an y x f ( x ) (an 0)
解 设当前需求Qt , 供给S t ,当前价格pt , 则 Qt a bpt , S t c dpt 1 a , b, d 0, c 0
市场均衡时有 : a bpt c dpt 1 . 即市场价格规律为 : bpt dpt 1 a c 或 d pt (d b ) pt a c . 要研究市场变化规律,就要从中找出价格 随时间变化的函数Pt .
称 f ( x 1) f ( x )为f ( x )在x点的一阶差分, 记为：f ( x ). 即 f ( x ) f ( x 1) f ( x )
例 设f ( x ) x 3 x 1, 求f ?
2
解 f ( x ) ( x 1) 3( x 1) 1 x 3 x 1 2 x 2. x 例 f ( x ) a , 求f ? x 1 x x 解 f ( x ) a a (a 1)a . 1 例 ln x ln( x 1)ln x ln(1 ) x 例 sin x sin( x 1)sin x sin1cos x (cos11)sin x
x 2 2
二. 差分方程 例 设银行利率为r ( 每年结一次息), 初始存 入100元,以后每年初比上年多存入10元, n 年后总值？ 设第x年总值为Ax则 Ax1 Ax rAx 10010( x 1), 且 A0 100 或 Ax rAx 10( x 9), 且 A0 100.
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于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
例3
解
求差分方程 y x1 5
对应齐次方程通解
yx
Yx
3, y0
C 5x
7 的特解．
3
1不是特征方程的根， 设 yx A，
代入方程, 得 A 3，
4
方 程 的 通 解 为y x
3 4
C
5x ,
将y0
7 3
代 入 ， 则C
7 3
3 4
37 12
故 方 程 的 特 解yx
37 12
5x
3 4
.
例4求差分方程 yx1 yx x3 3x2 2x的通解.
解 1是特征方程的根，
这类方程可用另一种较简单的方式求解.
方程左边为y
，右边为
x
x3 3x2 2x x x2 3x 2
xx 1x 2 x3
的解法 的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一、齐次方程
的解法
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0
k
1
1不 是 特征 方 程 的 根 1是 特 征方 程 的 根
例2 求差分方程 yx1 2 yx 3x2的通解.
解 特征方程 2 0，
特征根 2，
对应齐次方程通解
Yx C 2x
1不是特征方程的根，设
y
x
Ax2
Bx
C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
由于pn x是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是n 1次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 a 0
令yx Qn ( x) b0 xn b1 xn1 bn
(2) 1是特征方程的根，即1 a 0
令y
x
xQn ( x)
x
b0 xn
b1 x n1
bn
1
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 ay0
y2 ay1 a 2 y0
y3 ay2 a3 y0
yx ayx1 a x y0
容易验证，yx a x y0满足差分方程，令 y0 C为任意常数，于是差分方程（1）的 通解为Yx Ca x .
例1 求2 yx1 yx 0的通解.
形式：F(x, yx , yx1,, yxn ) 0 或G(x, yx , yx1,, yxn ) 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；
于是y
x
x
zx.
故yx x3
方程的通解为y x
x 4 4
C.
2. f ( x) x pn x型
方程2为 yx1 ayx x pn x 1 0，1 类型1
2 0，1 设yx x zx
代入方程得
z x1 x1
a x zx
x
pn
x
消去 x，即得 0
特征方程
＝a
特征根
于是yx a x是（1）的一个解， 从而yx Ca x是（1）的通解.
用特征根法求例1 的通解.
解
特征方程 2 1 0
特征根
1 2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
二、非齐次方程
的解法
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
第十二章 差分方程
第一节 差分方程的基本概念 第二节 一阶常系数线性差分方程
第一节 差分方程的基本概念
一、差分的定义 二、差分方程的基本概念
一、差分的定义
二、差分方程的基本概念
含有未知函数的差分yx , 2 yx ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) 0 含有未知函数两个或两个以上时期的符号 yx , yx1,的方程，称为差分方程.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
第二节 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程 二、非齐次方程
一 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx，
另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
下面
讨论特解y
的求法
x
:
当右端f x是某些特殊形式的函数时，
采 用 待 定 系 数 法 求 其 特解y x 较 为 方 便.
待 定 系 数 法 假 定 待 定 的 特 解yx与f ( x)的 形 式 相 同.然 后 将 它 们 代 入 差 分 方程, 求 出 待 定 系 数 即可求出特解．
1. f ( x) pn x型
方程2为yx1 ayx pn x
即yx 1 ayx pn x
设y
是它的解，代入上式得
x
yx 1 ayx pn x
1
解 a
2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
2.特 征 根 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
方 程 （1） 变 形 为
yx 1 ayx 0(a 0为常数)
根据x 1x，
可
以
看
出y
的
x
形
式
一
定
为
某
一
指
数函
数.
设yx x ( 0)，代入（1）得
x1 ax 0