九上数学二次函数几何图形的最大面积
初三数学二次函数求面积最值问题的4种方法
原 题 ：在（ 1）中 的 抛 物 线 上 的 第 二 象 限 是 否 存 在 一 点 P，使 △PBC 的 面 积 最 大 ？ 若 存 在 ， 求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。 考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。 一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计 算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。 设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的 计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解 法 三 ：切 线 法 。这 其 实 属 于 高 中 内 容 。但 是 ，基 础 好 的 同 学 也 很 容 易 理 解 ，可 以 看 看 ， 提前了解一下。
二次函数面积最值问题的 4 种解法
二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是 在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。 而求三角形面积的最值问题，更是常见。今天，方老师介绍二次函数考试题型种，面积 最值问题的 4 种常用解法。 同学们，只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就 好。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。 总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找 出各元素之间的关系。 设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点 式，求出三角形面积的最大值。 对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题 中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的。
二次函数三角形面积最大值
二次函数三角形面积最大值
二次函数三角形面积的最大值是数学界的一个重要课题，许多算法是建立在此之上的。
该课题涉及多个数学领域，如研究函数最值、极大极小值、极值点、微分及导数的概念等。
有许多方法可用于求解二次函数三角形面积的最大值，包括数学方程法和几何图形法，其中数学方程法比较常用，可将三角形面积公式简化为一个二次函数，并求解函数最值，得出二次函数三角形面积的最大值。
而几何图形法可以通过在二次函数曲线下的三角形的几何关系来证明三角形面积的最大值。
以下是求解二次函数三角形面积最大值的具体步骤：首先令被三角形抹平的坐标轴长度为2a，抹除一条斜边之后，因此确定顶点坐标矩阵A(a, 0)，B(-a, 0)，C(x, y)。
继而，通过直角三角形斜边两点坐标，可将三角形面积表达式化简为二元二次方程，以此为基础，求出原三角形的最大面积并得到其最大值。
此外，还可以通过比较几何图形下的三角形面积，发现其最大值。
综上所述，求解二次函数三角形面积最大值是一项重要数学课题，有数学方程法与几何图形法可供选择，这需要对数学最值、极大极小值、极值点与微分及导数等概念有所了解，并结合被三角形抹平的坐标轴长度、直角三角形斜边两点坐标与比较几何图形下的三角形面积等内容，从而求出二次函数三角形面积最大值。
数学人教版九年级上册二次函数应用——面积最值问题
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图一．温故源自知新二、探
究
新
知
三．分
层
评
价
四．课
堂
小
结
问题热身：
1．二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图像顶点坐标，对称轴和最值。
2．（1）求二次函数y=x2-4x+3的最值。
（2）求函数y=x2-4x+3的最值。（3≤x≤5）
3．抛物线在什么位置取最值？
1．在创设情境中发现问题
（1）求S与x之间的函数解析式，并确定x的取值范围。(2)当x为何值时，花圃的面积最大？
1．【比一比】
如图点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
2．（你是最棒
的）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P在点A出发，沿AB边以1cm∕秒的速度移动；同时，点Q从点B出发，向点C以2cm∕秒的速度移动。如果P、Q两点分别到达B、C两点就停止运动。回答下列问题：
课题
二次函数应用——面积最值问题
授课人
三河十中李秀云
教学目标
1．知识与技能：巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质，理解顶点与最值的关系，会求几何图形面积最值问题。
2．过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
巡视指导，适时个别点拨。
出示问题，适时点拨。
通过本节课的学习，你有什么收获?
学生回忆旧知，解决问题。
22_3 第1课时 二次函数与图形面积问题【人教九上数学学霸听课笔记】
(2)S＝72－12(6－t)·2t＝t2－6t＋72(0≤t≤6).
(3)因为S＝t2－6t＋72＝(t－3)2＋63,
所以当t＝3时,S有最小值,最小值为63.
谢 谢 观 看！
与 围成一个矩形场地ABCD,求该矩形场地的最大面积.
应
用 解：设矩形场地的面积为S m2,平行于墙的
一边BC的长为x m.由题意,得
图22－3－1
S＝x·12(80－x)＝－12(x－40)2＋800,
所以当 x＝40 时,S 最大值＝800,12(80－x)＝20,符合题意.
探 究
所以当所围成的矩形场地ABCD的长为40 m,宽为20 m时,其
故当所围成的矩形场地ABCD的长为30 m,宽为25 m时,其面积最
大,最大面积为750 m2.
探 究
变式 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图J22－3
与 －1所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个
应
用 矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),在P处有一棵树与墙
CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含
1.用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 S cm2 的矩形,S 的
小 检
值不．可．能．为( D )
测 A.20
B.40
C.100
D.120
随 [解析] 设矩形的一边长为x cm,则S＝x(20－x)＝－x2＋20x＝－
堂
小 (x－10)2＋100.
检 测
可见S的最大值是100,
所以S的值不可能为120.
探 归纳总结
究 与
应用二次函数解决面积最值问题的“三个关键点”
应 用
2019新沪科版九年级数学上册习题课件：21.4-第1课时 求几何图形面积的最值问题
(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 解：y＝－34x2＋30x＝－34(x－20)2＋300，由于－34＜0，抛物线开口向下， 又 0＜x＜40，所以当 x＝20 时，y 取最大值，最大值为 300m2.
15．某学校为了美化校园环境，计划在一块长 40 米、宽 20 米的长方 形空地上新建一块长 9 米、宽 7 米的长方形花圃．
(2)当 x 是多少时，这个三角形的面积 S 最大？最大面积是多少？ 解：当 x＝－2ba＝－2×2－0 12＝20 时，这个三角形的面积最大，最大值 是4ac4－a b2＝4×－4×12×－021－ 202＝200(cm2)．
13．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两 边足够长)，用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB＝xm.
10．如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动(不与点 C 重合)．如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么经过 33 s，四边形 APQC 的面积最小．
(1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划 新建的长方形花圃的面积多 1 平方米，请给出你认为合适的三种不同的方 案；
解：方案 1：长为 917米，宽为 7 米．方案 2：长为 9 米，宽为 719米．方 案 3：长、宽都为 8 米．(答案不唯一)
(2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面 积能否增加 2 平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能， 请说明理由．
人教九年级数学上册《二次函数与图形面积问题》课件
第1课时 二次函数与图形面积问题
重难互动探究
探究问题 求几何图形的最大（小）面积 例 ［教材探究1变式题］ 一条隧道的截面如图22－3－2所 示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形 ABCD.
图22－3－2
第1课时 二次函数与图形面积问题
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米. ①求隧道截面的面积S（平方米）关于半径r（米）的函数关系 式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米≤CD≤3米，求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14， 结果精确到0.1平方米）.
与x间的函数关系，再求解.
解： 不妨设矩形纸较短边长为 a，设 DE＝x，则 AE＝a －x.
那么两个正方形的面积和为 y＝x2＋（a－x）2 ＝2x2－2ax＋a2. 当 x＝－－2×22a＝12a 时， y 最小＝2×12a2－2a×12a＋a2＝12a2. 即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的 面积和最小.
［解析］ （1）已知AD＝4米，即半圆O的半径为2米，直接根 据圆的面积公式计算；（2）①隧道的截面积由两部分组成， 即半圆面积和矩形面积；②注意自变量的取值范围，在实际问 题中求最大（小）值，要注意自变量的范围是否符合实际意义.
第1课时 二次函数与图形面积问题
解：（1）当 AD＝4 米时，S 半圆＝12π·A2D2＝12π×22＝2 π（平方米），
数学
新课标（RJ） 九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
第1课时 二次函数与图形面积问题
新知梳理
► 知识点 用二次函数求几何图形的最大（小）面积 在解答有关二次函数求几何图形的最大（小）面积的问题时 ，应遵循以下规律： （1）利用几何图形的面积（或体积）公式得到关于面积（ 或体积）的二次函数关系式； （2）由已得到的二次函数关系式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答 案.
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
《二次函数与图形面积问题》PPT课件 人教版九年级数学
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如 图所示)，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为15- 2xm.
y
x
15
x
2
=
1 2
x2
15x.
二次函数与图 形面积问题
R·九年级上册
复习导入
用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说
出开口方向，对称轴及最值.
（1）y=x2-4x-5
开口方向 对称轴 顶点坐标 最小值
向上 x=2 （2，-9） -9
（2）y=-x2+x+ 1 4
向上
x=1 4
（1 ，1） 22 1
2
探究新知
知识点 利用二次函数解决最大（小）面积问题
2
2
x2
5x
A
B
所以当
x= -
2
5 （-
1
=5 ）
时，S取最大值，S最大值
1 52 2
5 5=
25 2
2
当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
6. 一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，
AB=12. 用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，
E，F分别在BC，AB，AC上，要使剪出的矩形CDEF的
D
GC
则AH=a-x，HE = a - x2 + x2 ,
H
S正方形EFGH [ (a - x)2 x2 ]2 =2 x2 2ax + a2
当x=
a 2
二次函数应用-几何图形的最大面积问题精品PPT课件
Q1cm/秒B
∴ 当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大 最大面积是C，AD⊥BC， BC=160cm ,AD=120cm,
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函 数关系式；
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
最 值。
2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。
自学教材20页 “动脑筋”
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米 的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，
最大值是多少？
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
（四）课堂小结
1. 对于面积最值问题应该设图形一边长为自 变量，所求面积为函数建立二次函数的模型， 利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数 的自变量的取值范围。
2. 用函数知识求解实际问题，需要把实际问 题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要 符合实际题意，要注意数与形结合。
1.在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示， 如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边 的宽度为x cm，那么y关于x的函数是( ) A.y=(60+2x)(40+2x)
（一）思前想后
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、 对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。 （2）求函数y＝x2+2x－3 （0≤x ≤ 3）
二次函数应用几何图形的最大面积问题课件
对未来学习的思考和展望
深入学习二次函数和几何图形的基础知识，掌握更多解 决实际问题的技巧和方法。
拓展学习领域，了解更多与数学相关的学科知识，如线 性代数、微积分等，为解决更复杂的问题提供支持。
关注数学在实际生活中的应用，了解数学与其他学科的 交叉点，培养跨学科解决问题的能力。
THANKS
的最大面积。
03
几何图形面积的最大值问 题
几何图形面积最大值的求解方法
03
代数法
几何法
参数法
通过代数运算和不等式性质，求出几何图 形面积的最大值。
利用几何图形的性质和特点，通过作图和 观察，求出面积最大值。
引入参数表示几何图形，通过参数的变化 和约束条件，求出面积的最大值。
面积最大值在二次函数中的应用
二次函数应用几何图形的最 大面积问题课件
目录
• 二次函数与几何图形的关系 • 二次函数的最值问题 • 几何图形面积的最大值问题 • 实际应用案例分析 • 总结与思考
01
二次函数与几何图形的关 系
二次函数图像的几何意义
01
二次函数图像是抛物线，其 顶点是函数的极值点。
02
二次函数图像的对称轴是x=h ，顶点的纵坐标是k。
二次函数与几何图形面积最大值问题 紧密相关，通过合理设定函数参数， 可以找到几何图形面积的最大值。
在解决实际问题时，需要综合考虑多 种因素，如几何图形的形状、大小和 位置等，以及二次函数的参数和约束 条件。
二次函数开口方向和顶点位置对几何 图形面积的影响是关键，需要根据实 际情况调整函数表达式，以获得最佳 效果。
01
总结词
02
详细描述
矩形面积最大化
在给定长和宽的条件下，利用二次函数求矩形的最大面积。通过设定 长和宽为二次函数的形式，并利用求导数的方法找到面积的最大值。
22.3.1二次函数与图形面积问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
知识讲解
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l=
b
30
15时，
2a
2 ( 1)
2
2
S有最大值 4ac b 30 225.
4a
4 ( 1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
随堂练习
2. 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与
随堂练习
4. 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费用每平
方米1 000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
知识点 利用二次函数解决几何图形的最值问题
【例 2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为
x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果
不能，请说明理由．
知识讲解
九年级数学上册 第二十二章《二次函数》22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的面积问题试题
22.3实际问题与二次函数第1课时几何图形的面积问题知识要点基础练知识点利用二次函数求图形面积的最值1.用长60 m的篱笆围成一个矩形花园,则围成的花园的最大面积为(D)A.150 m2B.175 m2C.200 m2D.225 m22.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为4平方米.4.手工课上,小明准备做个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积为S,随其中一条对角线的长x的变化而变化.(1)求S与x之间的函数解析式.(不要求写出取值范围)(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大的面积是多少?解:(1)S=x(60-x)=-x2+30x.(2)由(1)得S=-x2+30x=-(x-30)2+450,故当x是30 cm时,菱形风筝的面积S最大,最大的面积是450 cm2.综合能力提升练5.合肥寿春中学劳动课上,老师让学生利用成直角的墙角(墙足够长),用10 m长的栅栏围成一个矩形的小花园,花园的面积S m2与它一边长a m的函数解析式是S=-a2+10a ,面积S 的最大值是25.6.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2s.7.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144 m2.8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,若该纸盒侧面积的最大值是 cm2,则a的值为3cm.9.在美化校园的活动中,巢湖一中初三一班的兴趣小组利用如图所示的直角墙角(两边足够长),用32 m长的藤条圈成一个长方形的花圃ABCD(藤条只围AB,BC两边),设AB=x m.(1)若花圃的面积为252 m2,求x的值;(2)正好在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,如果把将这棵桃树围在花圃内(含边界,不考虑树的粗细),老师让学生算一下花圃面积的最大值是多少?解:(1)因为AB=x,则BC=32-x,所以x(32-x)=252,解得x1=14,x2=18,故x的值为14 m或18 m.(2)因为AB=x,所以BC=32-x,所以S=x(32-x)=-x2+32x=-(x-16)2+256,因为在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,所以,所以8≤x≤15,所以当x=15时,S取到最大值为S=-(15-16)2+256=255,故花圃面积S的最大值为255 m2.10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2.(2)设运动开始后第t秒时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.(3)t为何值时S最小?求出S的最小值.解:(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2.则AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4.运动开始后第2秒或第4秒时△PBQ的面积等于8 cm2.(2)第t秒时,AP=t cm,PB=(6-t) cm,BQ=2t cm,∴S△PBQ=·(6-t)·2t=-t2+6t.∵S矩形ABCD=6×12=72,∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,∴当t=3秒时,S有最小值63 cm2.11.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示:设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2 dm,底面积为12 dm2.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5,设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.拓展探究突破练12.(安徽中考)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数解析式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解:(1)设AE=a,由题意得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.由题意得2x+3a+2·a=80,∴a=20-x.∴y=AB·BC=a·x=x,即y=-x2+30x(0<x<40).(2)∵y=-x2+30x=-(x-20)2+300,∴当x=20时,y有最大值,最大值是300平方米.13.如图,一面利用墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的面积为S平方米,平行于院墙的一边长为x米.(1)若院墙可利用最大长度为10米,篱笆长为24米,花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形,求S与x之间函数关系.(2)在(1)的条件下,围成的花圃面积为45平方米时,求AB的长.能否围成面积比45平方米更大的花圃?如果能,应该怎么围?如果不能请说明理由.(3)当院墙可利用最大长度为40米,篱笆长为77米,中间建n道篱笆间隔成小矩形,当这些小矩形为正方形,且x为正整数时,请直接写出一组满足条件的x,n的值.解:(1)由题意得:S=x×=-x2+8x(0<x≤10).(2)由S=-x2+8x=45,解得x1=15(舍去),x2=9,所以x=9,AB==5,又S=-x2+8x=-(x-12)2+48,0<x≤10,因为当x≤10时,S随x的增大而增大,所以当x=10米时,S最大,为平方米>45平方米,所以平行于院墙的一边长为10米时,就能围成面积比45平方米更大的花圃.(3)根据题意可得,则n=4,x=35或n=2,x=33.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题
初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题初中数学二次函数面积最值问题一般是指给出一个二次函数，要求求出其在一定范围内的面积最大值或最小值。
这类问题可以通过四种不同的解法来求解，分别是代数解法、几何解法、导数解法和平移法。
下面我来详细介绍这四种解法。
1.代数解法：代数解法是通过代数方法来解决问题。
对于给定的二次函数，首先根据题目要求找出变量的限制条件，然后可以利用一些代数的技巧，如配方法、因式分解等，将问题转化为求最值的问题。
通过求取顶点，得到函数的极值点，进而求得面积的最值。
代数解法的优点是原理简单，容易理解和掌握；缺点是计算量大，需要一些代数技巧和计算能力。
2.几何解法：几何解法是通过几何图形的性质和关系来解决问题。
对于给定的二次函数，可以画出函数的图像，然后根据几何图形的性质，找出切线、直线和坐标轴的交点，进而得到问题的解。
几何解法的优点是直观简单，理论基础较弱；缺点是需要具备较好的几何直观和空间想象能力。
3.导数解法：导数解法是通过求函数的导数，对函数的变化情况进行分析，进而求出极值点。
对于给定的二次函数，可以求出其导数，并令导数为零，求得顶点的横坐标，再代入函数中求得纵坐标，从而得到问题的解。
导数解法的优点是简单快捷，通用性强；缺点是需要一些微分的知识和运算能力。
4.平移法：平移法是通过对函数进行平移变换，将求最值的问题转化为求一些形状固定的函数的最值问题。
对于给定的二次函数，可以通过平移到一些特定位置，使得问题的解变为该函数的最值。
平移法的优点是逻辑清晰，简单明了；缺点是需要一些平移变换的知识和运算能力。
这四种解法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法。
在解决二次函数面积最值问题时，可以结合代数、几何、导数和平移四种解法，综合运用，可以更快更准确地解决问题。
掌握了这些解法，就不再害怕压轴题了。
知识点：利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是
二次函数的应用----面积最值问题 知识点:利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是:
1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量；
2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示出这个面积；
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值。
当a
b 2
不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。
练习：
1、如图⑴，在Rt △ABC 中，AC=3cm ，BC=4cm ，四边形CFDE 为矩形，其中CF 、CE 在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm ．当x 取何值时，矩形ECFD 的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt △ABC 中，作一个长方形DEGF ，其中FG 边在斜边上，AC=3cm ，BC=4cm ，那么长方形OEGF 的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC ，矩形GDEF 的DE 边在BC 边上．G 、F 分别在AB 、AC 边上，BC=5cm ，S △ABC 为30cm 2，AH 为△ABC 在BC 边上的高，求△ABC 的内接矩形GDEF 的最大面积．
4、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少?
能力提升：
5如图1，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点，（点E与点A、D不重合）．BE 的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？。
二次函数面积最值问题的4种解法
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解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。 设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的 计算公式，得出二次函数，必有最大值。
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原 题 ：在（ 1）中 的 抛 物 线 上 的 第 二 象 限 是 否 存 在 一 点 P，使 △PBC 的 面 积 最 大 ？ 若 存 在 ， 求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。 考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。 一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计 算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面 积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
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解 法 二 ： 铅 锤 定 理 ， 面 积 =铅 锤 高 度 ×水 平 宽 度 ÷2。 这 是 三 角 形 面 积 表 达 方 法 的 一 种 非 常 重要的定理。 铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为， 铅 锤 定 理 ，在 很 多 地 方 都 用 的 到 。这 里 ，也 有 铅 锤 定 理 的 简 单 推 导 ，建 议 大 家 认 真 体 会 。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。 总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找 出各元素之间的关系。 设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点 式，求出三角形面积的最大值。 对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题 中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
实际问题与二次函数—利用二次函数求面积最大问题 初中九年级数学教案教学设计课后反思人教版
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用L表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
解:根据题意得
S=L(30-L),
即 S=-l2+30L (0<l<30).
因此，当 L=15 时, S有最大值
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2) 当x＝3时，S最大值＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
小结
求实际问题最值问题的一般步骤：
（2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？ D C
解：(1) S=x(12-2x) 即S=-2x²+12x
(2)S=-2x²+12x =-2(x-3)²+18
思考：
1、解决实际问题中的最值问题就是求二次函数的什么量?
2、对这种类型的问题应该先怎么做？要注意些什么?
小 结
实际问题 数学模型 数学问题的解
(1)求出函数解析式，写出自变量取值范围；
(2)画出大致图象；
(3)用配方或公式法求最大值或最小值，或根据自变量的取值范围求最大值或最小值。
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
课堂练习
（难点巩固）
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
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A、B同时出发，那么经过3
秒，四边形APQC的面积最小.
3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用 每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
45．
O
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小
h= 30t - 5t 2
12 34 56
t/s
球运动中的最大高度是 45 m．
典例精析
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是
多少？
h/m
可以出，这个函数的图象是一
40
条抛物看线的一部分，这条抛物
h= 30t - 5t 2
线的顶点是这个函数的图象的最 20
高点.
也就是说，当t取顶点的横坐 O 1 2 3 4 5 6
t/s
标时，这个函数有最大值.
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
解:根据题意得
S=l(30-l), 200
即 S=-l2+30l (0<l<30).
100
因此，当 l b 30 15 2a 2 (1)
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 x b 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
2a y 4ac b2 ．
4a
h/m
t
b 2a
2
30 （
5）
3，
40 20
h
学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
导入新课
复习引入
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (配方法)
(2)y=-x2-3x+4.(公式法)
自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图
象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符
合实际的最值. 知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量 的取值范围内.
S 60 x x 1 x2 30x
2
2
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？不正确. 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. 问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据
解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), ∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；
最小值：-9；
（2）开口方向：向下；对称轴：x= - 3 ；顶点坐标：
（- 3 ，25 ）；最大值：25 .
2
24
4
讲授新课
一 二次函数与几何图形面积的最值
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时
间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2
时， 4ac b2 302 225
4a
4 (1)
S有最大值
O 5 10 15 20 25 30
l
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
x
x
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 60-2x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
问题1 变式1与例题有什么不同？
x
x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
60-2x
问题3 面积S的函数关系式是什么？ 设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什 么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2
当堂练习
1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的
透光面积是
8 m2 3
.
C
Q
图1
A P 图2 B
2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从
点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从
点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从