高中数学 第1章《三角函数》弧度制教学案 苏教版必修4
高一数学苏教版必修4教学案：第1章2弧度制
江苏省泰兴中学高一数学教学案(38)必修4_01 弧度制班级姓名目标要求1．理解弧度的意义;2．掌握弧度制与角度制互化公式，能熟练地进行弧度与角度的互化;3．理解角的集合与实数集R是一一对应的．重点难点重点：弧度与角度的互化难点：弧度制的理解教学过程：一、问题情境：在本章引言中,我们曾考虑用(r, l)来表示点P,那么r, l与α之间具有怎样的关系呢?二、数学建构1、角度制：2、弧度制：3、度与弧度的换算公式：4、弧长公式：扇形面积公式：一、 典例剖析例1 将下列弧度数化为角度数：（1）35π； （2）3.5例2 将下列角度数化为弧度数：（1）252°； （2）11°15’例3 把下列各角化为2k πα+()02,k Z απ≤<∈的形式，并指出它们是第几象限角.（1）－1500°； （2）2008π； （3）－6例4 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，求该扇形的面积．引申：扇形的周长为a ，当扇形的圆心角α和半经r 各取何值时，扇形的面积最大．例 5 如图，已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角)0(πθ≤<，经过2秒种到达第三象限，经过14秒钟又转到与最初位置重合，求角θ的弧度数．四、课堂练习1、用弧度制表示：（1）终边在x 轴上的角的集合_____________________（2）第二象限的角的集合_______________________________2、若α=1rad ，则角α终边在第____象限，若α=2，则角α终边在第____象限，若α=3，则角α终边在第____象，限若α=4，则角α终边在第____象限，若α=6，则角α终边在第____象限．3、已知扇形周长为6cm ，面积为2cm 2 , 则扇形圆心角的弧度数为__________．4、把下列各角化成2(02,)k k Z απαπ+≤<∈的形式，并指出它们是第几象限角：（1）236π； （2）1500-o五、课堂小结1. 弧度的定义、弧度与角度之间的转化,以及弧度制下弧长公式及扇形的面积公式.2. 会应用所学的知识来处理实际问题,同时,要注重方程思想及消元思想的应用.江苏省泰兴中学高一数学作业(38)班级 姓名 得分1、若α是第四象限角，则απ-一定在第 象限。
高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制教学设计 苏教版必修4
1．1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键是弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．推进新课新知探究弧度制 1．1°的角 周角的1360为1°的角． 2．1弧度的角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 3．弧度数正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.一扇形的半径为R ，弧长为l ，则l ＝|α|R，S ＝12lR ＝12R 2|α|.4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度＝180°，1°＝π180弧度，1弧度＝(180π)°≈57°18′. 教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.我们已学习过角的度量，规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(degree measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1 rad(图1)．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure)．图1用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如1 rad ，2 rad ，π rad，可分别写成1,2，π.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2r ，那么∠AOB 的弧度数就是2rr ＝2(图2)．图2教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2πr，则∠AOB 的弧度数就是2πrr＝2π(图3)．故有360°＝2π rad，图31°＝π180 rad≈0.017 45 rad，1 rad ＝(180π)°≈57.30°.如图4给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记．图4弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad＝(180απ)°，n°＝n×π180(rad)．可让学生填写下列的表格，找出某种规律．的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向r 1 2r －2－π由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z )的形式．如图5为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图5与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR，S ＝12αR 2，S ＝12lR.应用示例例1将下列弧度数化为角度数： (1)3π5；(2)3.5.解：(1)3π5 rad ＝3π5×180°π＝108°；(2)3.5 rad ＝3.5×180°π≈200.54°.例2将下列角度数化为弧度数： (1)252°；(2)11°15′.解：(1)252°＝252×π180 rad ＝7π5 rad ；(2)11°15′＝11.25°＝11.25×π180 rad ＝π16rad.点评：以上两例的目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住.例3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3.活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是{β|β＝kπ，k∈Z }、{β|β＝π2＋kπ，k∈Z }，第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2kπ<β<2kπ＋π2，k∈Z }、{β|2kπ＋π2<β<2kπ＋π，k∈Z }、{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π2，k∈Z }、{β|2kπ＋3π2<β<2kπ＋2π，k ∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限．例4见课本本节例3.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．作业①课本习题1.1 6、8、10. ②课后探究训练：课本习题1.1 12.设计感想本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″.密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．1D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．kπ＋π4与2kπ＋π4(k∈Z ) B.kπ2与kπ＋π2(k∈Z )C ．kπ－2π3与kπ＋π3(k∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3kπ(k∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________. 5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．参考答案：1.A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π3.5．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R＝1，α＝4或R ＝2，α＝1.∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上．三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．[例题] 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)．点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。
苏教版必修4《弧度制》教案
苏教版必修4《弧度制》教案《苏教版必修4《弧度制》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！弧度制教材：苏教版必修4教学目标：(1)知识与能力：1、理解并掌握弧度制的定义;2、领会弧度制定义的合理性;3、熟练地进行角度制与弧度制的换算;4、掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题;5、了解角的集合与实数集之间的一一对应关系;(2)过程与方法：通过学生亲自进行数学实验，发现弧长与半径的比值为常数，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，通过例题分析、当堂练习，让学生真正掌握两种单位制的互化，为下一节学习三角函数做好准备。
(3)情感、态度价值观理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
教学重点、难点教学重点： (1)弧度制的概念角度制与弧度制的互化弧度制下弧长与扇形的面积公式教学难点：弧度制概念的理解与应用.教学的方法与教学手段(1)教学方法以教师为主导，学生为主体，采用讲授法、直观演示法、启发引导式、合作探究、当堂训练等方法创设和谐、愉悦互动的环境。
(2)教学手段多媒体、圆规、三角板(直尺)、量角器、计算器教学过程事实引入，创设情境温故知新分组完成数学实验①若圆心角为直角。
②若用量角器任意作一个角，分别计算出弧长、半径，你有什么发现?(学生分组共同完成)提出问题思考：一定大小的圆心角，所对应的弧长与半径的比值是否是确定的?与圆的半径大小有关吗?结论：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数.我们称这个常数为弧度数。
4、新课探究探究点1：弧度制的相关概念给出1弧度的角的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角。
由归纳总结可得出圆心角的弧度数的绝对值等于它所对的弧的长与半径长的比.即，这样可得任一正角的弧度数都是一个正数;任一负角的弧度数都是一个负数;零角的弧度数是0.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确立了角的弧度数与实数间的一一对应关系。
苏教版高中数学必修4第1章三角函数任意角、弧度教案1
§1.1任意角、弧度课题：§1.1任意角、弧度教学目标：1.会由给定条件求角的集合,并将其化成最简形式;2.会由角终边所在阴影的图形,求出角的集合.重点难点：重点——根据条件求角的集合;难点——由角终边所在阴影的图形,求出角的集合.教学教程：一、问题情境问题1:⑴与角α终边相同的角的集合____________;⑵弧度制定义:__________________________;⑶弧度,角度互换公式___________;⑷填空角度0°30°90°120°180°弧度π4π334π23π2π二、数学运用1．例题例1 写出终边在y 轴上的角的集合.解:在0°~360°内,终边在y 轴上的角有90°,270°所有与90°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝k ·360°+90°,k ∈Z} 所有与270°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝k ·360°+270°,k ∈Z} 所以终边在y 轴上的角构成集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°+90°,k ∈Z}∪{β|β＝k ·360°+270°,k ∈Z} ＝{β|β＝k ·360°+90°或β＝k ·360°+270°,k ∈Z}＝{β|β＝2k ·180°+90°或β＝2k ·180°+180°+90°,k ∈Z}＝{β|β＝2k ·180°+90°或β＝(2k+1)·180°+90°,k ∈Z}＝{β|β＝n ·180°+90°,k ∈Z}如何求出符合某些条件的角的集合?⑴在0°~360°内找出符合条件的角α；⑵写出所有终边与角α相同的角的集合;⑶将所求集合化成简单形式.练习一:1.写出终边在x 轴上的角的集合;2.写出终边在直线y ＝x 上的角的集合;3.已知角α＝π6,角β终边与角α终边垂直,求角β的集合. 例2 ⑴写出终边在第一象限的角的集合;⑵若α是第三象限角,那么α2是第几象限角?2α呢? 解:⑴S ＝{α|k ·360°＜α＜k ·360°+90°,k ∈Z}⑵∵k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°∴k ·180°+90°＜α2＜k ·180°+135°若k 是偶数,即k ＝2n,n ∈Z 时n ·360°+90°＜α2＜n ·360°+135°α2是第一象限角若k 是奇数,即k ＝2n+1,n ∈Z 时。
弧度制教学设计教案
弧度制教学设计教案一、教材及内容分析本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。
本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识作铺垫，因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。
本节内容一课时完成。
二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：1、理解并掌握弧度制的定义。
2、熟练地进行角度与弧度的相互转换。
3、弧长公式、扇形面积公式的应用。
难点：弧度的概念的理解。
三、目标分析１、知识技能目标（1）理解1弧度的角及弧度的定义。
（2）掌握角度与弧度的换算公式。
（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。
（4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
２、过程与方法通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
３、情感态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
苏教版高中数学必修四弧度制教案(1)
1.1.2 弧度制（2）一、课题：弧度制（2）二、教学目标：1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用； 3．求扇形面积的最值。
三、教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。
四、教学过程： （一）复习：（1）弧度制角如何规定的？||l rα=（其中l 表示α所对的弧长）（2）1801()π=o ； 1180π=o ．说出下列角所对弧度数30,45,60,75,90,120,150,180,240,270,360o o o o o o o o o o o ． （练习）写出阴影部分的角的集合：（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为r ，圆心角为n o所对弧长为||||2360180n n r l r ππ=⨯=o o； 扇形面积为22||||360360n r n S r ππ=⨯=o o ． （二）新课讲解：1．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？∵||l rα=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅．]2．扇形面积公式：扇形面积公式为：22||1222lr S r r lr αππππ=⋅==． 说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．3．例题分析：例1 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120o ，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？解：（1）因为21203π=o ，所以，21112||36122223S lr r παπ===⋅⋅=． （2）设弧长为l ，半径为r ，由已知220l r +=，所以202l r =-，202||l rr rα-==，x30oxOA B 从而222211202||10(5)2522r S r r r r r rα-==⋅⋅=-+=--+， 当5r =时，S 最大，最大值为25，这时2022l rr rα-===．例2 如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。
高中数学必修四《弧度制》教学设计
苏教版必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制第二课时弧度制江苏省盐城中学何莹《弧度制》教学设计深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨．本节课教学的重点就是弧度制概念．一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是必修4第一章第一节第二课时的内容，教学重点是弧度制的概念．本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础．二．教学目标设置首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；了解角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想及数形结合的思想，还有提高学生数学抽象，逻辑推理，直观想像，数学运算和数据分析能力都提供了很好的契机．另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；从进制的不统一，认知的冲突引入新的度量制的必要性；从度量的角度引导学生探究从测量长度去度量角，并让学生感受到角的大小仅仅只与弧长和半径的比有关，与半径大小无关，理解弧度制的合理性；推导弧长公式，扇形的面积公式和角与实数的对应，认识到弧度制的优越性；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流的意识，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展．三．学生学情分析学生已有知识储备上，其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础．能力上，学生经过高中半个学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内．弧度制的概念教学是重点也是难点，在概念的教学中引导学生分析概念生成的必要性、合理性、优越性．四．教学方法分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，提出问题引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程．五．教学过程设计分为以下四个教学环节：（一） 创设情境1.角的研究，回顾角度制．设计意图：有人提出，60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度．给出弧度制引入的必要性． 2.角的大小的测量思考1：角的概念推广后，我们如何去测量一个角？问１：测量一个角的大小，除量角器外还能用的工具是什么?问2：能用直尺（有刻度）测量一个角吗？用直尺测量角———用一条线段长来刻画（表示）一个角．设计意图：从测量的角度去引发学生的思考：最简单有效的工具是直尺，用直尺只能量线段的长，如何构造一条线段去刻画角的大小？（二）新课导入----弧度制的建构思考2：用来表示角的大小的这条线段怎样去构造？ 问1:它的两个端点如何选择？问2：这条线段的两个端点都在角的一条边上选显然是不行的，一定是在两条边上各取一点，怎样选呢？（以60角为例）问3：在两条边上，距角的顶点等距离的地方选两点．设计意图：让学生进行一系列尝试，找到初步符合要求的线段．问4：这种方法对于锐角而言可以建立起一一对应，即每一个锐角的大小都可以用对应的线段长之比刻画.对于任意角可行吗？问5：对于1200和2400的这两个角，相对应的线段长是一样的？对于00、3600等终边相同的角，它们对应的线段都一样？设计意图：在肯定部分学生尝试的合理性的同时，引导学生发现其局限性，引发认知冲突，激发学生进一步探究的欲望．思考3：用线段来刻画任意角的大小是不行的，那么用什么量才能反映任意角的大小？问1：能否利用弧线？为什么？问2：角的动态生成过程中，射线上任意一点（顶点除外）绕端点旋转都可以生成一段弧，仅仅利用弧长能否准确刻画角的大小呢？ 学生猜想用弧长与半径的比来刻画角的大小 设计意图：放手让学生探究、尝试，引导学生从角的动态生成过程中观察、抽象，找到“弧线”来刻画角的大小，引导学生利用弧长与半径的比来刻画角的大小． 问3：能否给出你的猜想一个合理的解释呢? 从180n rl p =出发得到180l n r p =?由此可知，弧长与半径的比决定圆心角的大小，欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧．设计意图：给出弧度制的合理性，同时渗透数学史． 思考4:如何定义这种度量角的制度？问:类比角度制，能否给出1弧度角的定义，得出弧度制的相关概念． 设计意图：让学生尝试、完善用准确的数学语言描述数学概念．（三）探索新知，数学运用1.弧度制的相关概念规定：1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角，记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制．设计意图：明确给出1弧度角的定义．让学生直观感受1弧度角的大小,了解角度的单位不能省略，弧度的单位可以省略；初步感受弧度制下角与实数的对应．2.总结角度与弧度的互化，明确核心公式180π=，以及变形公式：10.01745180rad rad π=≈180157.3rad π=≈练习：特殊角的度数与弧度数的对应表：弧度制下，任意角的集合和实数集建立了一一对应的关系，即每个角都有唯一的实数与它对应，同时每个实数也都有唯一的一个角与它对应。
高中数学 1.1.2《弧度制1》教案 苏教版必修4
1.1.2 弧度制（1）教学目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。
教学重、难点弧度与角度之间的换算。
教学过程复习：uiu初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？新课讲解1．弧度角的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是rl =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r rπαπ-=-=-=-． 3．角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）193π； （2）315-； （3）1485-．课堂练习P9 1,2,3,4,5,6课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别。
高中数学第一章三角函数第2课时1.2弧度制教案苏教版必修4
第2课时 §1.2 弧度制【教学目标】 一、知识与技能（1）理解1弧度的角、弧度制的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算； （3）熟记特殊角的弧度数。
（4）掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
二、过程与方法：（1）通过比较引入“弧度制”的概念；（2）通过小组活动，熟练进行角度和弧度的换算。
（3）培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力三、情感、态度与价值观：进一步加强对辩证统一思想的理解。
【教学重点】弧度的意义 【教学难点】弧度与角度的换算 【教学过程】一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度如图： radrad周角=2 rad 平角=rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值rl=α（l 为弧长，r 为半径）3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算 注意：360=2o l=rC 2rad1rad r l=2ro AA Bradrad 01745.0180≈π '185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例1、 （1）把'3067化成弧度 （2）把rad π53化成度注意： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad表示rad 角的正弦2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见下表）3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R例2、 用弧度制表示：终边在x 轴上的角的集合；终边在y 轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π⑵ 165例4、利用弧度制证明扇形面积公式lRS 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
弧度制(最新)
课题：1.1.2 弧度制教学设计教材：苏教版高中数学必修4A 组7号【教材分析】本节课是苏教版必修4第1章第1节任意角、弧度的第2课时．三角函数这一章的教学共分为三大节，其中第1节任意角、弧度，分为两部分，第一部分是“任意角”，角的度量仍采用角度制，第二部分弧度制的本质用线段长度度量角的大小，用对应的弧长与圆半径之比来度量角，实现了角的集合与实数集R 之间一一对应的关系．弧度制统一了三角函数自变量与函数值的单位，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性， 同时学习弧度制为后续学习提供便利，如微积分中重要极限1sin lim 0=→x x x 成立，众多公式可以简化．所以本节课的学习对本章以及今后的数学学习十分重要． 【教学目标】1. 通过经历弧度制产生的过程，理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．2. 了解角的集合与实数集R 之间可以建立一一对应的关系．3. 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题． 【教学重点】 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． 【教学难点】 弧度的概念．【教学手段】 多媒体辅助教学，实验操作、小组讨论、相机引导相结合. 【教学过程】 一、实验：直观感知导语 同学们，很高兴能来省常中参加这次优课比赛，很巧昨天正好也是我儿子10周岁的生日．经过中心将圆形蛋糕切三刀分成了6块，这6块大小相差无几．现从中挑出最大的一块给儿子，同学们帮我想想办法?问题1 在半径为r 的圆O 中，如何比较AOB ∠与COD ∠的大小，并说明理由．可能方案： （1）用量角器度量． （2）比较弦长． （3）比较弧长．【设计意图说明】 数学源于生活，对生活中的深刻研究是数学发现的最自然的来源．结合情境，让学生直观感知，抽象出数学模型，并通过实验操作、合作交流来比较AOB ∠与COD ∠的大小．重温了角度制，对同圆或等圆中的弦、弧、圆心角之间关系进行了回顾，培养了学生直观想象，数学建模的能力．问题2 当弧长l 一定时，随着半径r 的增大，圆心角α发生什么变化?问题3 弧长l 、半径r 和圆心角α三者之间存在怎样的数量关系式?本质揭示 通过弧长公式π180n r l =，引导学生利用l 与r 的比值来表示圆心角180l n r =⋅π．画板验证【设计意图说明】 构建开放的活动，让学生经历直观感知——公式说理——画板验证等环节，感悟数学的严谨之美．通过几何画板实验得到：圆心角随着l 与r 的比值的确定而唯一确定，从而启发学生，利用l 与r 的比值来度量圆心角，同时穿插数学史，鼓励学生用审慎、科学严谨的数学眼光和数学思维去观察和思考． 二、探究：意义建构形成定义问题4 请你在给出的实验纸上作出1弧度的角．问题5 弧度制下1 弧度的角和角度制下︒60角相比，哪一个更大呢?【设计意图说明】通过学生活动，进一步理解1弧度的角的定义，建立对1弧度的角的直观理解，并加深对定义的理性认识．问题6 完成下表．【设计意图说明】 由1 rad 的定义出发，引导学生发现||lrα=．通过两组特殊数据：2π=360︒和π=180︒．发现角度和弧度之间的互化关系，培养学生依托数据分析解决问题的能力． 三、引导：实践应用做一做：在下图中写出各特殊角所对应的弧度数．例1 请将下表中的弧度和角度互化．π180°165°150°135°120°105°90°75°60°45°30°15°0°【设计意图说明】 强化弧度与角度之间的互化，一方面帮助学生巩固所学，正确进行弧度与角度的互化，熟记特殊角的弧度数；另一方面通过规范化思考问题，提升学生的数学运算素养． 例2 推导弧度制下的弧长和扇形面积公式应用：已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为 2 rad ，求该扇形的面积．【设计意图说明】 通过弧度制的定义得到弧长公式，类比初中推导扇形面积公式的方法得到弧度制下的扇形面积公式．培养学生逻辑思考数学问题的能力，形成合乎逻辑的思维品质和理性精神． 四、提炼：反思拓展 知识结构：【设计意图说明】通过提要素、理关系、建结构、明功能，对本节内容进行梳理重构，形成可见的思维结构．【课后作业】基础达标：教材第10页，习题1.1中3，4，6，8，9．能力提升：①教材第10页，习题1.1中10．②用弧度制表示：终边相同的角、各轴线角、各象限角的集合．拓展探究：①搜集与弧度制有关的数学故事（数学史），并相互交流．②了解度量角的其它单位制．。
苏教版高中数学必修4弧度制教案
课题：弧度制教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 4、教学目标1 •理解1弧度的角及弧度制的定义，领会其必要性和合理性.2 •会根据定义求任意角的弧度数及进行角度数与弧度数的互化.3 •理解任意角的集合与实数集的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式与 扇形面积公式.二、 教学重点弧度制的探究生成及如何约定新制度〔弧度制〕下的单位 1.三、 教学难点弧度制的生成与理解.四、教学方法与教学手段课堂采用启发引导，合作探究的教学模式，利用几何画板辅助教学，从活动中 体会数形结合、以形助数的数学思想.问题4:角度与弧度如何 互化？五、教学过程 思考：点P 的位置与哪些几何量有关？〔体会学习弧度制的必要性〕 探究：能否像度量 长度那样，用十进 制的实数来度量 角的大小呢？ 问题1:同一个量，它的 度量结果可以用不同的 单位表示吗？ 〔学生举例，发现探究的可行性〕〕问题2:哪些几何量能唯 一确定角的大小. 〔独立探究，小组交流〕 问题3:如何建立一种新 的度量角的制度呢？〔类比几何量长度，知识 迁移，独立探究，小组交 流〕类比长度单位制的构建齐 过程，完成探究发现角的'新单位制〔弧度制〕构建 的过程. 提炼概括： 从特殊事物中揭示一般规 律：单位制构建的一般过 程.1创设情境，引出必要思考：点P的位置与哪些几何量有关呢？师生活动：将所得几何量分为两大类：六十进制的角及十进制的长度.小结：数学就是建立量与量关系的模型，在同一运动中，两类几何量度量进制的不一致会给我们的数学研究带来很多不便.探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢?【设计意图】客观世界变化万千，为了研究它们的规律，我们常常需要用数学的眼光去观察我们现实生活中的各种现象，以摩天轮为例，师生一起抽象建模进行研究刻画点P的位置的几何量，发现分为角及长度这两类几何量，它们度量的不一致会给我们的数学研究带来很多的不方便，让学生体会到学习弧度制的必要性. 此时适时渗透数学史并引出本节课探究主题：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？问题1：现实生活中有没有同一个几何量，它的度量结果可以用不同的单位表示呢？请举出相应例子？预设：学生举出各种具有不同单位的量的例子.小结：既然有这样的量，说明我们可以尝试去建立新的度量角的单位制•【设计意图】引导学生通过类比生活中的量，发现同一个量存在不同的单位制，说明角的度量存在其余单位制的可能性.2. 合作探究，凸显生成问题2：图中哪些几何量能唯一确定角a？师生活动：学生经过独立思考，有了自己的探究结果后，先生生交流，再师生交流•教师板书可能方案，让学生们说一说，教师追问学生为什么？〞几何画板作图验证.预设1:弧长、弧长比半径.师生活动：学生阐述，教师板书所有方案后，教师先用几何画板作图，从形' 的角度进行验证，而后教师通过追问，让学生从数〞的角度进行说理，然后学生评价学生，学生自主区分可行方案并阐述其理由，最后师生一起总结，弧长与半径的比值可以唯一确定角的大小，而在半径给定的圆中，弧长〞也是可以唯一确定角的大小的，其实就是用l唯一确定角的大小的一个特例！值得注意的是，当半径取1个单位长度时，弧长与角的数值相等！预设2:学生层次比拟高，问角a与哪些长度有关，还未展开探究，学生直接l o得出利用弧长占整个圆周的比即2n=3600，算出角a的度数.师生活动：通过追问，区分一个几何量为何不可行，从而深化认识.小结：早在几百年前，数学家们就发现了角a的大小可以由r唯一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多奉献，通过刚刚的同学们的探究，我们也得出了同样的结论，说明同学们的认知水平很高，和大数学们家有一样的想法！【设计意图】学生先经过独立思考，再充分交流.在探究中，凸显了弧度制概念的生成，学生亲身经历探究寻找以及思辨的过程，明白了弧度制选用弧长与半径的比来度量角的合理性.如此设计源于：章建跃教授曾在?关于弧度制的教学?中提到：弧度制定义的合理性应从：如此度量角的大小是唯一确定的〞给出.最后，以夸奖的形式适时渗透数学史：早在几百年前，数学家们就发现了角a的大小可以由1的比值唯r一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多奉献，既自然，又能让学生感受到探究成功被肯定的喜悦.3. 类比迁移，构建概念问题3：如何建立一种新的度量角的制度呢？师生活动1：为解决问题3回忆已有的经验，即类比学生身高的表示方法，可以用米表示，也可以用尺寸表示，从中寻找建立新制度的研究方向.小结：有了约定的单位1,就可以定量表示出其余的所有长度，即：一生二，二生三，三生万物！历史上，对同一个单位制，单位的约定也曾出现过不统一，例如，战国时期，一尺的长度是不一样的，这给人们的生活带来很多不便，所以秦始皇统一六国时，就统一了度量衡，推动了当时社会的开展！师生活动2：为解决问题3继续回忆已有的经验，回忆在角度制下，角的度量单位：1°的角规定•通过课堂引导性提问，阐述1°的角的规定的合理性.小结：①1°的角的大小与所在圆的半径无关；②给出这样规定后，所有角的度1数就确定了；③适时渗透数学史：之所以用圆周的舟所对应的圆心角规定为1°360的角〞据说是因为古巴比伦科学家发现360个太阳刚好能围成一整圈•由以上两个活动可见，对于一种单位制，约定及认识它的单位1是多么的重要！师生活动3：学生根据之前活动经验，先自己独立探究：如何建立一种新的度量角的制度，再小组交流.预设：学生主动明确接下来研究方向，先约定单位1，即令r=1，即l=r，从图形上，长度等于半径长的弧所对的圆心角约定为新制度的单位1,能主动提出接下来需要利用单位1,定量表示其余的角•通过课堂引导性提问互动，得出任意角弧度数的计算公式.小结：把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角，记作1rad.有了任意角弧度数的计算公式后，任意一个角都可以定量表示了•那么，用弧度作为度量角的单位制称为弧度制.它就是我们今天探究发现的新的度量角的单位制----弧度制.【设计意图】因为学生不知该如何建立一种新的度量角的制度，所以此问题引导学生从已有经验出发，寻找解决问题的方法.这时教师通过追问，以具体尺〞和米〞为例, 师生一起摸索几何量长度从构建到使用单位制的过程，让学生感受到，认识一种新的单位制，首先得明确它的单位1,只有明确单位1后，才可以定量表示其余的长度.对于具体几何量角，让学生回忆初中1°的角的规定，充分说明角度制下单位1 的约定的合理性，再次强化：对于一种单位制，应该先约定单位1,才能定量表示出其余的角.最后引导学生类比迁移，自主探究完成几何量角新单位制〔弧度制〕中单位1的约定，然后类比所得经验，定量表示出任意角弧度数，最后完成对弧度制的构建.4. 相互转化，揭示联系追问：通过学习 弧度制〞度 量角已经有两种不同的方法，接下 来应该要解决什么问题？预设：单位换算.追问：怎么换算？师生活动：找出换算关系：360°= 2 n rad1 =面彳人180 1rad =： 学生独立完成换算练习后互化练习：请将F 列角进行角度与弧度的互化.(1) -3.5 (2)lP15f追问：这些非整角，你会互化吗？ 师生活动：学习先独立完成练习，然后再进行方法交流.【设计意图】引导学生主动思考接下来应完成单位换算. 课堂上以量角器形式给出互化练 习，避开枯燥无味，提升课堂活泼程度.5. 运用新知，加深认识角的集合 实数集Rrad ~0.01745rad, 度-57.30°,进行方法交流. 正实数负实数\ /互化练习： 请将量角器上各角进行弧度与角度的互化师生活动：通过课堂对话，在弧度制下，探究角的集合与实数集 R 之间构成 —一 —对应关系.小结：弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应的关系，即角 的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系！【设计意图】让学生明确：角的概念推广之后，无论是角度制还是弧度制都能在角的集合和实数的集合之间建立一种 对应关系.练习：(1在弧度制下，弧长公式如何表示？(2)在弧度制下，扇形面积公式如何表示？其中I 是扇形弧长，r 是圆的半径.扇形圆心角为 a rad (I M <n ).师生活动：学生独立计算出弧度制下的弧长公式及扇形面积公式后，给出角度 制下的相应公式进行比照，发现弧度制下公式更简洁.小结：这也表达了我们数学的简洁美！其实弧度制的优越性远不止那么多，就 让我们慢慢去感受，慢慢去发现吧！【设计意图】通过角度制与弧度制下弧长及扇形面积公式的比照，感受公式的简洁美!小活动：你能用不同的方法度量角的大小吗？ 预设：方法1:量角器量角.方法2:量出弧长，量出半径利用公式|«计算出角的弧度数.方法3:构造三角形.过量弧长及半径，就可以唯一确定a 的大小，特别提醒，当半径长度为1个单位长 度时，弧有多大，角就有多少弧度，这表达了弧度制的本质：用线段长度度量角的 大小.对于方法3:可以利用构造直角三角形解决 a 是特殊角的情况，对于更一般 的角，将是我们后继将要学习的内容(利用正余弦定理解决等等). 【设计意图】引导学生加深对弧度制本质的理解， 即:弧度制的本质是用线段长度度量角的 大小.小结：对于方法1是同学们小学就会的，对于方法2,我们再次感受到：通 1 r6. 小结反思归纳提升小结:"单位〔1度〕—2度 、 =单位〔1弧度〕一>2弧度 / 小结：今天我们类比长度单位制构建的过程，探究发现了角的新单位制〔弧度 制〕构建过程•它们都是从现实的度量需要开始，经历了约定单位1,定量表示， 单位换算这样的过程，这个过程就是我们研究单位制的 一般过程•拓展研丸运用“单位制构建的一般过程〞.你会研尤其它量的单位制吗？课后作业；巴o 匀题 1.1： 3, 4. 8【设计意图】本节课类比长度的单位制构建的过程，探究发现了角度的新单位制〔弧度制〕 构建的过程，设置 拓展研究〞的目的是让学生去思考：构建一种单位制的一般过程, 即从特殊事物中揭示一般规律.最后设置的拓展探究，实质上是对本节课进行了高 度提炼概括：我们不仅要学习弧度制，我们还要明白构建一种单位制的一般过程是 什么，还要会运用此经验去研究更多的量，从而完成对本节课的总结！六、教学设计说明1 •关于新课导入：如何激发学生学习 弧度制〞的求知欲，让学生感受到学习 新知的必要性.本节课选择从生活的大场景，到本章引言中的例子摩天轮这个具体 的小场景，从学生生活中熟悉的现象出发，发现同一运动中既有大量的角又有各种 长度，发现度量进制不一致给数学研究带来不便， 从而让学生体会到学习弧度制的 必要性.2. 关于弧度制概念生成探究：这是本节课的教学重点，鼓励学生独立对度量 角的新长度 /单也｛米〕―珠、单如尺_> 2尺360度二2rr 弧度制度进行探索，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同方案进行探讨，找出可行方案．在过程中充分调动学生的学习积极性，组织学生合作交流，培养学生思辨、质疑、理性思维和创新能力，使开展学生的数学核心素养在数学课堂中真正做到落地生根．3．教学设计突出学生主体，注重知识的自主建构与生成，让学生真切感受到数学是自然可亲的，过程中表达数学研究方法、渗透数学思想方法和数学史，关注学生的情感体验，培养学生的积极情感．。
苏教版(必修4)弧度制教案
课题：弧度制教材：苏教版（必修4）一、教材及内容分析本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容.在此之前，学生已经学习了角度制的概念及任意角，了解生活中度量同一个物理量可以有不同的度量单位，而弧度制概念的建立不仅是为度量角多了一个新的制度，更为今后学习三角函数奠定基础.通过本节课弧度制的学习，我们可以了解为何要建立弧度制及弧度制在简化运算方面的作用，同时我们会认识到两种制度相互联系的辩证统一的思想.本节课内容设为一课时.二、教学目标1、知识与技能（1）经历1弧度角定义的过程，感受定义的合理性；（2）会进行弧度制与角度制的换算；（3）会在弧度制下求弧长及扇形面积公式；（4）了解在弧度制下角的集合与实数集R之间一一对应的关系.2、过程与方法类比角度制单位角的定义过程，尝试规定其它类型的单位角，体验单位角在制定过程中的合理性，体会到1弧度角定义的合理性.由特殊到一般的思想找到弧度制与角度制之间的互化的方法，初步感受弧度制下运算的简洁性.3、情感态度与价值观（1）经历长度单位的再熟悉过程认识到单位与我们的生活息息相关，同时意识到规定单位角的大小是定义新的度量单位的前提；（2）经历单位角的定义过程，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念，体会1弧度角定义的合理性；（3）经历角度制与弧度制的互化及应用弧长公式与扇形面积公式体会到弧度制建立的优越性.三、教学重点、难点教学重点：弧度制的定义及弧度制与角度制的换算.教学难点：弧度制的定义.四、教学方法与手段探究式学习与讲授结合五、教学过程：一、创设情境、引入课题常州环球港竖立着美丽的摩天轮，当摩天轮不断旋转时，摩天轮上点P会周而复始运动，用怎样的数学模型来刻画这样的运动呢？为了研究这个问题，我们已经将角推广到任意角，今天我们继续为研究这个模型做准备，学习度量角的另一种单位制——弧度制.设计意图：指出本章学习的主要内容是建立刻画周期现象的数学模型，我们今天的学习是为了建立这样的模型作准备，为学生的学习指明方向.二、数学建构探索新知（1）回顾度量长度的几种单位，指出怎样规定度量单位当规定好1米有多长，我们可以用米作为单位来度量长度当规定好1尺有多长，我们可以用尺作为单位来度量长度，一米=3尺当规定好1度角有多大，我们可以用度作为单位来度量角的大小.问题1：（1）1°角是怎么规定的？（2）能用平分圆周的方法得到1°角吗？（3）现在我们要建立新的单位来度量角，那先要对什么做出规定？（单位角的大小）试一试：请您尝试利用圆周来定义一个单位的角的大小.(学生活动)问题2：如果以半径长为单位对圆周进行度量，把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为一个单位角的大小，合理吗？（学生探究角的大小不会随着半径的改变而改变） 设计意图：类比1°角定义的过程，弧度制定义的本质是用半径r 对圆周进行度量，可以理解为是对圆周不同的平分方式.学生经历单位角的定义过程，感受1弧度角定义的合理性.(2)概念 ：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制. 历史介绍： 1748年欧拉在它的著作《无穷小分析概论》 中提出把圆的半径作为弧长的度量单位,这一思想将线段 与弧的度量统一起来，大大简化了三角的运算.数学教师汤姆生（James Thomson ）在北爱尔兰首府贝尔法斯特（Belfast ）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度一词”，当时它将“半径”（radius ）的前四个字母与“角（angle ）的前两个字母合在一起，构成radian,并被人们广泛接受和引用. 在半径为r 的圆中①若圆心角α（正角）所对的弧长为2r ,那么,角α的弧度数是多少? ②若圆心角α（正角）所对的弧长为r π,那么,角α的弧度数是多少? ③若圆心角α（正角）所对的弧长为2r π，那么角α的弧度数是多少？ ④若圆心角α（正角）所对的弧长为l ，那么角α的弧度数是多少？设计意图：根据1弧度角的定义，写出弧度角与半径及弧长之间的关系，弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.A三、新旧融合 知识应用问题3：弧度制与角度制之间如何换算？3602rad π︒= 1 rad =180π度例1 ：把下列各角从弧度化为度（1） （2）3.5解：33180110855rad πππ︒︒=⨯=（） 例2：把下列各角从度化为弧度'(1)252(2)1115︒︒解 7(1)2522521805rad rad ππ︒=⨯=用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系：练习.写出一些特殊角对应的角度和弧度180o radπ=01180radπ=180(2) 3.5 3.5200.54oorad π=⨯≈'(2) 111511.2511.2518016o o rad radππ==⨯=35π问题4：在弧度制下，弧长与面积公式是什么？并与角度制下的公式比较（弧长公式）（扇形面积公式）结论：在弧度制下，弧长公式与扇形面积公式简洁了，这也是引入弧度制的原因之一.例3（1） 已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2rad设计意图：（1）角度制与弧度制的互化紧扣 （2）体会弧度制下扇形的弧长公式与面积公式的简洁性. 四、课堂小结 五、课后作业 教学设计说明：本节课是度量角的另一种单位制——弧度制. 学生对弧度制概念的学习比较困难，为何会这样定义1弧度角，一方面可以从角α与lr的对应关系理解，另一方面可以从弧度制定义的本质出发，用半径度量圆周定义1弧度角的大小.本节课采用的是后一种方式，所以弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.为了突破这些难点，本节课弧度制概念的学习分以下几个步骤完成：1.基于学生已有的知识基础，从熟悉的长度单位入手，了解当规定了单位长度时就可以用它作为单位度量长度，渗透了“单位”的思想.2.从熟悉的角度制入手，体会1°角定义的合理性.3.探究尝试其它方式定义一个单位角的大小，体会1弧度角定义的合理性.4.在1弧度角定义的基础上认识角的大小与lr的关系，同时揭示1弧度角定义的过程中角度与弧度之间的关系.2211.222r S r lr πααπ===2,4.r l =⎧⎨=⎩解得21S 4().2rl cm ==故扇形的面积为 r l 解设扇形的半径为，弧长为，28, 2,r l l r +=⎧⎨=⎩则有A||l rα=180oradπ=弧度制的学习一方面是使进位制统一，由角的60进制转为实数的10进制，拓展了角在实数领域研究的范围，为三角函数的学习做铺垫，另一方面弧度制的使用简化了微积分中公式的计算.由于学生的知识有限，所以体会弧度制下弧长公式与面积公式的简洁性及来初步感受弧度制使用的优越性。
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江苏省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》弧度制教学案苏
教版必修4
教学目标：理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数。
了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系。
掌握弧长公式，会利用弧度制解决
某些简单的实际问题。
教学重点：弧度的意义、弧度与角度的换算
教学难点：弧度的概念
教学过程：
一、问题情境：
角的度量单位可以用度，还可以用其它单位吗？
二、学生活动：
1弧度角有多大？它与一度角大小有什么关系？
三、知识建构：
1、角度制：
1度角：
2、弧度制：
1弧度角：
注意：
3、角度与弧度互化：
360°=_____，1°=____rad ≈____rad ，1rad=_____度≈_____°
4、弧长公式：
四、知识运用：
例1、把下列各角从弧度化为度
（1）3
5
（2）3.5
小结：
例2、把下列各角从度化为弧度
（1）252°（2）11°15′
小结：
例3、已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求扇形的面积。
小结：
练习：书P9 练习 1-8
拓展：若扇形的周长为定值l，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？。