微积分3.3 复合函数求导法则

例.设f ( x) ln(1 x), y f [ f ( x)],求y
解 y f [ f ( x)] ln[1 f ( x)] ln[1 ln(1 x)]
y {ln[1 ln(1 x)]}

1 [1 ln(1 x)]
1
1 1
1 ln(1 x)
x
练习：求y (1 2x)8，y 2ln x的导数。
key
:
y

16(1

2 x )7 ;
y

ln 2
x
2ln x

ln x 1 (ln x)2 ;
在熟练掌握链式法则后，不写出中间变量会更简便些。
例. 设 y xaa a xa aax (a 0), 求 y.
(3 4)
写成导函数的形式为
dy ( f [g( x)]) f [g( x)]g( x) dx
简写为
dy dy du dx du dx
或yx yu ux
(3 5) (3 6)
称之为复合函数导数的链式法则.
链式法则：复合函数对自变量的导数等于
y
函数对中间变量的导数乘以中间变量对自
x (,0) 时, y ln( x),
令 y ln u,u x,
则
y

(ln( x))
(ln u)u( x)

1 (1) u
1; x
因此
(ln x ) 1 , x
x (,0) (0,)
设置中间变量求导后，一定要换回原变量。
例.求y ln arctan x的导数y 2
例.求y [sin( 1 2x)]2的导数y
解 设y u2,u sinv,v w, w 1 2x
y (u2 )u (sinv)v w w (1 2x)x
2u cosv 1 (2) 2w
2sin( 1 2x)cos 1 2x 1 1 2x
1 ln(1 x) 1 x
例.设f
(
x)


x2
sin
1 x
0
x 0,求f ( x) x0
的表达式，并判别f ( x)在x 0处是否连续？
解 当x 0时，f ( x) x2 sin 1 x
f
( x)

2x sin
1 x

x2
cos
1 ( x
1 x2 )
(4) y 1 e2x x e2x
1
ex
1 e2x 1 (ex )2
对于既含有四则运算又有复合函数运算的函数，求导时，是先 运用哪个运算的求导法则，应根据具体情况决定。如果从总体 看是通过函数四则运算得到，则首先运用四则求导法则。如果 整体看函数是复合函数。则先运用复合函数求导法则。
(3) y ln cos( e x ) 2x5 ;(4) y x 1 e 2x arcsin e x
key : (1) y 1 ; sin x cos x
(2) y 2 1 x2
(3) y tan(e x )) e x 2x5 ln 2 5 x4;
解 设y ln u, u arctan v,v x ,由链式规则有 2
y

(ln
u)u

(arctanv
பைடு நூலகம்
)v


x 2


x

1 u

1
1 v
2

1 2

(4

x2
2 )arctan(x
2)
链式法则对多重复合函数同样适用，这时应搞清函 数的复合层次，求导时，从最外层开始，逐层依次 求导，注意不要遗漏。

2x sin
1 x

cos
1 x
分段函数分段点处的可导性严格用定义判断！
又f (0)
变量的导数。
u
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. x
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv dx
f (u) (v) ( x)
v
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. x
例 求 y ln x 的导数.
解 x (0, ) 时, y ln x, y (ln x) 1 ; x
ex ( x)sin 2x ex cos 2x ( 2x)
ex sin 2x ex cos 2x 1 2 2 2x

ex
cos 2x 2x

sin
2
x

已知y sec2(e1x2 )，求y
练习：求下列复合函数的导数：
1）y

sin
3.3 复合函数求导法则
性质 3.6 设 u g( x) 在 x0 点可导, 而 y f (u) 在 u0 g( x0 ) 点可导, 则 y f [g( x)] 在 x0 点可导, 且
dy dx
x x0

(
f [g( x)]) xx0
f (u0 )g( x0 ) f [g( x0 )]g( x0 )
解 y aa xaa 1 a xa ln a a xa1 aax ln a a x ln a aa xaa 1 a xa 1 ln a xa1 aa x x (ln a)2
例.设y ex sin 2x,求y
解 y (ex )sin 2x ex (sin 2x)
(2) y arcsin

11
1 2
(
3)
y

1
1

1 x2
(
1 x2
)


1
1 x
2
(4) y (e2x )tan3x e2x (tan3x)
2e2x tan3x 3e2x sec2 3 x
练习：求下列函数的导数 :
(1) y ln tan x sin 2;(2) y arctan 2x 1 x2
e
1 x
,2）y


arcsin
,3）y arctan 1 tan
x6
4）y e2x tan 3x,5）y x2 a2 arccos a（x 0,a 0）
x
Key：(1) y

sin 1
ex
cos
1 x
(
1 x2
)
(5) y x2 a . x x2 a2