2019年初一数学下期末模拟试题(及答案)
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并求此时点 P 的坐标；若不存在请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 【分析】 直接利用算术平方根、平方根以及立方根的定义分别化简求出答案． 【详解】
A、 9 3 ，此选项错误错误，不符合题意； B、 (3)2 3 ，此选项错误错误，不符合题意； C、 3 (3)3 3 ，此选项错误错误，不符合题意； D、 3 27 3 ，此选项正确，符合题意；
-2），把一根长为 2019 个单位长度没有弹性的细线(线的相细忽略不计)的一端固定在 A
处，并按 A B C D A 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线的另一端所
在位置的点的坐标是__________．
15．不等式 7 x 1的正整数解为：______________．
1 x 1
故选：D．
【点睛】 本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的概念，正确理解和灵活运用相关知识是解 题关键．
2．A
解析：A 【解析】 试题解析：∵x+1≥2， ∴x≥1． 故选 A． 考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
3．B
解析：B 【解析】试题解析：已知点 M（2，-3）， 则点 M 关于原点对称的点的坐标是（-2，3）， 故选 B．
10．C
解析：C 【解析】分析：让 A 点的横坐标减 3，纵坐标加 2 即为点 B 的坐标. 详解：由题中平移规律可知：点 B 的横坐标为 1-3=-2；纵坐标为-1+2=1， ∴点 B 的坐标是（-2，1）．
故选：C.
点睛：本题考查了坐标与图形变化-平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律
16．不等式组 { 2
的解集为________．
3x 2 0
17．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3， -1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.
18．关于 x 的不等式(3a-2)x<2 的解为 x＞
，则 a 的取值范围是________
19．比较大小： 2 3 ________ 13 .
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 观察可得点 P 的变化规律，
“ P4n 4n, 0 ，P4n1 4n 1, 1 ，P4n2 4n 2, 0 ，P4n3 4n 3, 2 (n 为自然
数)”，由此即可得出结论. 【详解】
观察， P0 0,0，P1 1,1，P2 2,0, P3 3,2, P4 4,0, P5 5,1，.... ， 发现规律: P4n 4n, 0 ，P4n1 4n 1, 1 ，P4n2 4n 2, 0 ，P4n3 4n 3, 2 (n 为自
（2）一动点 P 从 A 出发（不与 A 点重合），以 1 个单位/秒的速度沿 AB 向 B 点运动，在 2
P 点运动过程中，连接 MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON 之间的数量关系；
（3）是否存在某一时刻 t，使三角形 AMP 的面积等于长方形面积的 1 ？若存在，求 t 的值 3
量关系，小明过点 P 作 PE / / AC ，请仿照 (1) 问写出推理过程．
25．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点 A、C 坐标分别为（﹣8，4）、 （2，﹣8），且 AD∥x 轴，交 y 轴于 M 点，AB 交 x 轴于 N． （1）求 B、D 两点坐标和长方形 ABCD 的面积；
B 的关系，小明过点 P 作 l1 的平行线 PE ，可推出 APB ， A ， B 之间的数量关系，
请你补全下面的推理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：过点 P 作 PE / /l1 ，
l1 / /l2
PE / /l1 / /
A， B （
）
APB APE BPE
（2）如图 2 ，若 AC / /BD ，点 P 在 AC 、 BD 外部，探究 A ， APB ， B 之间的数
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样 的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得． 【详解】 解：A．x-y2=1 不是二元一次方程； B．2x-y=1 是二元一次方程；
C． 1 +y＝1 不是二元一次方程； x
D．xy-1=0 不是二元一次方程；
10x 4y＝24 依题意，得： 9x 5y＝23 ，
x＝2
解得：
y＝1
，
∴选项 A 正确；
B、b=2×4+1×10=18，选项 B 正确；
C、a=14-7=7，选项 C 正确；
D、设该队胜了 z 场，则负了（14-z）场，
依题意，得：2z=14-z，
解得：z= 14 ， 3
∵z= 14 不为整数， 3
B、根据总积分=2×得胜的场次数+1×负的场次数，即可求出 b 值；
C、由负的场次数=总场次数-得胜的场次数，即可求出 a 值；
D、设该队胜了 z 场，则负了（14-z）场，根据胜场总积分等于负场总积分，即可得出关于
z 的一元一次方程，解之即可得出 z 值，由该值不为整数即可得出结论．
【详解】
A、设胜一场积 x 分，负一场积 y 分，
20．如果点 M（a-1，a+1）在 x 轴上，则 a 的值为___________.
三、解答题
21．诗词是我国古代文化中的瑰宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对诗词的学习情 况，举办了一次“中华诗词”背诵大赛，随机抽取了部分同学的成绩(x 为整数，总分 100 分)，绘制了如下尚不完整的统计图表．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 首先可以求出线段 BC 的长度，然后利用中点的性质即可解答． 【详解】
∵表示 2， 5 的对应点分别为 C，B，
∴CB= 5 -2，
∵点 C 是 AB 的中点，则设点 A 的坐标是 x，
则 x=4- 5 ，
∴点 A 表示的数是 4- 5 ．
故选 C． 【点睛】 本题主要考查了数轴上两点之间 x1，x2 的中点的计算方法．
9．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短；
B．过一点有一条直线平行于已知直线；
C．和已知直线垂直的直线有且只有一条；
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
10．将点 A（1，﹣1）向上平移 2 个单位后，再向左平移 3 个单位，得到点 B，则点 B 的
坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
组别
成绩分组(单位：分)
频数
A
50≤x＜60
40
B
60≤x＜7090
D
80≤x＜90
b
E
90≤x＜100
100
合计
c
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中 a＝
，b＝
，c＝
；
(2)扇形统计图中，m 的值为
，“E”所对应的圆心角的度数是
(度)；
(3)若参加本次大赛的同学共有 4000 人，请你估计成绩在 80 分及以上的学生大约有多少
11．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF 分别为∠ABE、∠CDE 的角平分线，则∠BFD＝
（）
A．110°
B．120°
C．125°
D．135°
12．如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
1,1 ，第 2 次接着运动到点 2,0 ，第 3 次接着运动到点 3, 2，···，按这样的运动规
2019 年初一数学下期末模拟试题(及答案)
一、选择题
1．下列各式中计算正确的是（ ）
A． 9 3
B． (3)2 3 C． 3 (3)3 3
2．不等式 x+1≥2 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
D． 3 27 3
C．
D．
3．点 M（2，-3）关于原点对称的点 N 的坐标是: ( ) A．（-2，-3） B．（-2, 3） C．（2, 3） D．（-3， 2）
y 2
cx by 2
【详解】
3a 2c 1① 由题意得， 3c 2b 2② ，
①
3,
②
2
得，
9a 6c
6c 4b
3③ 4④
④ ③ 得 9a 4b 1，
故选：D．
8．A
解析：A 【解析】
【分析】
根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1 和-2，再结合不等式计算即可. 【详解】
律，经过第 2020 次运动后，动点 P 的坐标是（ ）
A． 2020,1
B． 2020,0
C． 2020, 2
D． 2019,0
二、填空题
x y 2m 1
13．若关于
x、y
的二元一次方程组
x
3y
3
的解满足 x＋y＞0，则 m 的取值范围
是____．
14．如图，在平面直角坐标系中，已如点 A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，
队名 比赛场数 胜场 负场 积分
前进 14
10 4
24
光明 14
9
5
23
远大 14
7
a
21
卫星 14
4
10 b
钢铁 14
0
14 14
……
………
A．负一场积 1 分，胜一场积 2 分 C．远大队负场数 a=7 分
B．卫星队总积分 b=18 D．某队的胜场总积分可以等于它的负场总积
7．已知
x
y
3 2
根据 x 的不等式 x-b>0 恰有两个负整数解，可得 x 的负整数解为-1 和-2
xb 0
x b
综合上述可得 3 b 2
故选 A. 【点睛】
本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.
9．D
解析：D 【解析】解：A．应为两点之间线段最短，故本选项错误； B．应为过直线外一点有且只有一条一条直线平行于已知直线，故本选项错误； C．应为在同一平面内，和已知直线垂直的直线有且只有一条，故本选项错误； D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线正确，故本选项正确． 故选 D．
4．如图，数轴上表示 2、 5 的对应点分别为点 C，B，点 C 是 AB 的中点，则点 A 表示
的数是（ ）
A． 5
B． 2 5
C． 4 5
D． 5 2
5．下列方程中，是二元一次方程的是( )
A．x﹣y2＝1
B．2x﹣y＝1
C． 1 y 1 x
D．xy﹣1＝0
6．如图所示的表格是某次篮球联赛部分球队的积分表，则下列说法不正确的是（ ）
∴∠FBE+∠FDE= 1 （∠ABE+∠CDE）= 1 （360°﹣90°）=135°，
2
2
∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．
故选 D．
【点睛】 本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同 旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．
然数) .
∵ 2020 4505
是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示，过 E 作 EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
又∵DE⊥BE，BF，DF 分别为∠ABE，∠CDE 的角平分线，
∴不存在该种情况，选项 D 错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一
元一次方程（或二元一次方程组）是解题的关键．
7．D
解析：D 【解析】
【分析】
x 3， ax cy 1，
把{
代入{
即可得到关于 a, b, c 的方程组，从而得到结果．
故选 B．
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是 1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
A、设胜一场积 x 分，负一场积 y 分，根据前进和光明队的得分情况，即可得出关于 x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
是方程组
ax cx
cy by
1 2
的解，则
a、b
间的关系是(
)
A． 4b 9a 1
B． 3a 2b 1
C． 4b 9a 1
D． 9a 4b 1
8．关于 x 的不等式 x-b>0 恰有两个负整数解，则 b 的取值范围是
A． 3 b 2
B． 3 b 2
C． 3 b 2
D． -3<b<-2
人？
22．一个正数 x 的两个平方根是 2a-3 与 5-a，求 x 的值. 23．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．求证：AD∥BE．
24．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许 多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1， l1//l2 ，点 P 在 l1 、 l2 内部，探究 A ， APB ，
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 【分析】 直接利用算术平方根、平方根以及立方根的定义分别化简求出答案． 【详解】
A、 9 3 ，此选项错误错误，不符合题意； B、 (3)2 3 ，此选项错误错误，不符合题意； C、 3 (3)3 3 ，此选项错误错误，不符合题意； D、 3 27 3 ，此选项正确，符合题意；
-2），把一根长为 2019 个单位长度没有弹性的细线(线的相细忽略不计)的一端固定在 A
处，并按 A B C D A 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线的另一端所
在位置的点的坐标是__________．
15．不等式 7 x 1的正整数解为：______________．
1 x 1
故选：D．
【点睛】 本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的概念，正确理解和灵活运用相关知识是解 题关键．
2．A
解析：A 【解析】 试题解析：∵x+1≥2， ∴x≥1． 故选 A． 考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
3．B
解析：B 【解析】试题解析：已知点 M（2，-3）， 则点 M 关于原点对称的点的坐标是（-2，3）， 故选 B．
10．C
解析：C 【解析】分析：让 A 点的横坐标减 3，纵坐标加 2 即为点 B 的坐标. 详解：由题中平移规律可知：点 B 的横坐标为 1-3=-2；纵坐标为-1+2=1， ∴点 B 的坐标是（-2，1）．
故选：C.
点睛：本题考查了坐标与图形变化-平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律
16．不等式组 { 2
的解集为________．
3x 2 0
17．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3， -1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.
18．关于 x 的不等式(3a-2)x<2 的解为 x＞
，则 a 的取值范围是________
19．比较大小： 2 3 ________ 13 .
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 观察可得点 P 的变化规律，
“ P4n 4n, 0 ，P4n1 4n 1, 1 ，P4n2 4n 2, 0 ，P4n3 4n 3, 2 (n 为自然
数)”，由此即可得出结论. 【详解】
观察， P0 0,0，P1 1,1，P2 2,0, P3 3,2, P4 4,0, P5 5,1，.... ， 发现规律: P4n 4n, 0 ，P4n1 4n 1, 1 ，P4n2 4n 2, 0 ，P4n3 4n 3, 2 (n 为自
（2）一动点 P 从 A 出发（不与 A 点重合），以 1 个单位/秒的速度沿 AB 向 B 点运动，在 2
P 点运动过程中，连接 MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON 之间的数量关系；
（3）是否存在某一时刻 t，使三角形 AMP 的面积等于长方形面积的 1 ？若存在，求 t 的值 3
量关系，小明过点 P 作 PE / / AC ，请仿照 (1) 问写出推理过程．
25．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点 A、C 坐标分别为（﹣8，4）、 （2，﹣8），且 AD∥x 轴，交 y 轴于 M 点，AB 交 x 轴于 N． （1）求 B、D 两点坐标和长方形 ABCD 的面积；
B 的关系，小明过点 P 作 l1 的平行线 PE ，可推出 APB ， A ， B 之间的数量关系，
请你补全下面的推理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：过点 P 作 PE / /l1 ，
l1 / /l2
PE / /l1 / /
A， B （
）
APB APE BPE
（2）如图 2 ，若 AC / /BD ，点 P 在 AC 、 BD 外部，探究 A ， APB ， B 之间的数
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样 的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得． 【详解】 解：A．x-y2=1 不是二元一次方程； B．2x-y=1 是二元一次方程；
C． 1 +y＝1 不是二元一次方程； x
D．xy-1=0 不是二元一次方程；
10x 4y＝24 依题意，得： 9x 5y＝23 ，
x＝2
解得：
y＝1
，
∴选项 A 正确；
B、b=2×4+1×10=18，选项 B 正确；
C、a=14-7=7，选项 C 正确；
D、设该队胜了 z 场，则负了（14-z）场，
依题意，得：2z=14-z，
解得：z= 14 ， 3
∵z= 14 不为整数， 3
B、根据总积分=2×得胜的场次数+1×负的场次数，即可求出 b 值；
C、由负的场次数=总场次数-得胜的场次数，即可求出 a 值；
D、设该队胜了 z 场，则负了（14-z）场，根据胜场总积分等于负场总积分，即可得出关于
z 的一元一次方程，解之即可得出 z 值，由该值不为整数即可得出结论．
【详解】
A、设胜一场积 x 分，负一场积 y 分，
20．如果点 M（a-1，a+1）在 x 轴上，则 a 的值为___________.
三、解答题
21．诗词是我国古代文化中的瑰宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对诗词的学习情 况，举办了一次“中华诗词”背诵大赛，随机抽取了部分同学的成绩(x 为整数，总分 100 分)，绘制了如下尚不完整的统计图表．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 首先可以求出线段 BC 的长度，然后利用中点的性质即可解答． 【详解】
∵表示 2， 5 的对应点分别为 C，B，
∴CB= 5 -2，
∵点 C 是 AB 的中点，则设点 A 的坐标是 x，
则 x=4- 5 ，
∴点 A 表示的数是 4- 5 ．
故选 C． 【点睛】 本题主要考查了数轴上两点之间 x1，x2 的中点的计算方法．
9．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短；
B．过一点有一条直线平行于已知直线；
C．和已知直线垂直的直线有且只有一条；
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
10．将点 A（1，﹣1）向上平移 2 个单位后，再向左平移 3 个单位，得到点 B，则点 B 的
坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
组别
成绩分组(单位：分)
频数
A
50≤x＜60
40
B
60≤x＜7090
D
80≤x＜90
b
E
90≤x＜100
100
合计
c
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中 a＝
，b＝
，c＝
；
(2)扇形统计图中，m 的值为
，“E”所对应的圆心角的度数是
(度)；
(3)若参加本次大赛的同学共有 4000 人，请你估计成绩在 80 分及以上的学生大约有多少
11．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF 分别为∠ABE、∠CDE 的角平分线，则∠BFD＝
（）
A．110°
B．120°
C．125°
D．135°
12．如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
1,1 ，第 2 次接着运动到点 2,0 ，第 3 次接着运动到点 3, 2，···，按这样的运动规
2019 年初一数学下期末模拟试题(及答案)
一、选择题
1．下列各式中计算正确的是（ ）
A． 9 3
B． (3)2 3 C． 3 (3)3 3
2．不等式 x+1≥2 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
D． 3 27 3
C．
D．
3．点 M（2，-3）关于原点对称的点 N 的坐标是: ( ) A．（-2，-3） B．（-2, 3） C．（2, 3） D．（-3， 2）
y 2
cx by 2
【详解】
3a 2c 1① 由题意得， 3c 2b 2② ，
①
3,
②
2
得，
9a 6c
6c 4b
3③ 4④
④ ③ 得 9a 4b 1，
故选：D．
8．A
解析：A 【解析】
【分析】
根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1 和-2，再结合不等式计算即可. 【详解】
律，经过第 2020 次运动后，动点 P 的坐标是（ ）
A． 2020,1
B． 2020,0
C． 2020, 2
D． 2019,0
二、填空题
x y 2m 1
13．若关于
x、y
的二元一次方程组
x
3y
3
的解满足 x＋y＞0，则 m 的取值范围
是____．
14．如图，在平面直角坐标系中，已如点 A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，
队名 比赛场数 胜场 负场 积分
前进 14
10 4
24
光明 14
9
5
23
远大 14
7
a
21
卫星 14
4
10 b
钢铁 14
0
14 14
……
………
A．负一场积 1 分，胜一场积 2 分 C．远大队负场数 a=7 分
B．卫星队总积分 b=18 D．某队的胜场总积分可以等于它的负场总积
7．已知
x
y
3 2
根据 x 的不等式 x-b>0 恰有两个负整数解，可得 x 的负整数解为-1 和-2
xb 0
x b
综合上述可得 3 b 2
故选 A. 【点睛】
本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.
9．D
解析：D 【解析】解：A．应为两点之间线段最短，故本选项错误； B．应为过直线外一点有且只有一条一条直线平行于已知直线，故本选项错误； C．应为在同一平面内，和已知直线垂直的直线有且只有一条，故本选项错误； D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线正确，故本选项正确． 故选 D．
4．如图，数轴上表示 2、 5 的对应点分别为点 C，B，点 C 是 AB 的中点，则点 A 表示
的数是（ ）
A． 5
B． 2 5
C． 4 5
D． 5 2
5．下列方程中，是二元一次方程的是( )
A．x﹣y2＝1
B．2x﹣y＝1
C． 1 y 1 x
D．xy﹣1＝0
6．如图所示的表格是某次篮球联赛部分球队的积分表，则下列说法不正确的是（ ）
∴∠FBE+∠FDE= 1 （∠ABE+∠CDE）= 1 （360°﹣90°）=135°，
2
2
∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．
故选 D．
【点睛】 本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同 旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．
然数) .
∵ 2020 4505
是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示，过 E 作 EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
又∵DE⊥BE，BF，DF 分别为∠ABE，∠CDE 的角平分线，
∴不存在该种情况，选项 D 错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一
元一次方程（或二元一次方程组）是解题的关键．
7．D
解析：D 【解析】
【分析】
x 3， ax cy 1，
把{
代入{
即可得到关于 a, b, c 的方程组，从而得到结果．
故选 B．
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是 1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
A、设胜一场积 x 分，负一场积 y 分，根据前进和光明队的得分情况，即可得出关于 x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
是方程组
ax cx
cy by
1 2
的解，则
a、b
间的关系是(
)
A． 4b 9a 1
B． 3a 2b 1
C． 4b 9a 1
D． 9a 4b 1
8．关于 x 的不等式 x-b>0 恰有两个负整数解，则 b 的取值范围是
A． 3 b 2
B． 3 b 2
C． 3 b 2
D． -3<b<-2
人？
22．一个正数 x 的两个平方根是 2a-3 与 5-a，求 x 的值. 23．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．求证：AD∥BE．
24．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许 多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1， l1//l2 ，点 P 在 l1 、 l2 内部，探究 A ， APB ，