二次函数一般式的图像与性质

当 x<1 时y随x的增大而增大；当x>1 时y随x的 增大而减少,当x= 1 时y有最 大 值 －2.5 .
做一做:
2.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：
(1) y 5 x2 5 x 3 (2) y 2x2 2 2x 3 4 24
(3) y 2(x 1)(x 2)
A
ox -3
B
ox -3
C
ox -3
D
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c
与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（ C ）
y
y
y
y
ox
ox
ox
ox
A
B
C
D
8.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴
的一个交点为(1,0),则下列各式
y
中不成立的是( B)
A.b2-4ac>0 C.a+b+c=0
向下___平移_3__单位而得到的， 也可由抛物线y=2x2 先向__右_平移_2__单位，再而 得向__下__平移___3_单位得到的。
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
对于二次函数y=ax²+bx+c （ a≠0 ）的
图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
轴的单位长度，建立平面直角坐标系， 求（1）以这一部分抛物线为图
y
象的函数解析式，并写出x的取
O
值范围；
x
（2） 有一辆宽2.8米，高1米的
农用货车（货物最高处与地面AB
的距离）能否通过此隧道？
A CB
探究活动:
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部 离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线 的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以 水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
A. -2 B. 2 C. -5 D. 5
2.抛物线y = 2x2 + bx + c的顶点坐标 为(-1,2),则b = _4___，c = _4__.
3.若二次函数y=ax2+3x-1与x轴有两个
交点，则a的取值范围是 a 9 且a. 0 4
4.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值 总为负，那么a、c应满足的条件是（ C ） A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0 C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 请根据图象判断下列各式的符号： a < 0 ,b< 0, c > 0 ,∆ > 0 , a-b+c >0,a+b+c = 0
知识回顾:
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 时，图象将发生怎样的变化？
y = a(x+m)2 +k
1、顶点坐标？
（0，0）
（m，0）
（ m，k ）
2、对称轴？
（ y轴或直线x=0） 3、平移问题？
（直线x= m ）
（直线x= m ）
一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m<0）或向左 （当m>0） 平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再向上（当k>0 ）或 向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x+m)2 +k的图象。
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
➢ 二次函数 y ya=(xax2b²a+)2b x4a+c4ca b2 ( a≠0)
的图象是一条抛物线，
➢对称轴是直线x=

b 2a
➢顶点坐标是为（ b
，4ac

b
2
）
2a
4a
➢当a>0时，抛物线的开口向上，顶点
是抛物线上的最低点。
2.已知二次函数
-2 -1 0 1
y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,
请画一个能反映这样特征
的二次函数草图.
1.已知一个二次函数的图象过点（-1,10）,（1,4）, （2,7）三点，求这个函数的解析式？ 一般式：
y=ax2+bx+c
2.已知抛物线的顶点为（－1，3），与y轴交点 为（0，－5）求抛物线的解析式？顶点式：
(4) y 2x(1 x) 3 2
3. 说出上面函数的图象可由怎样的抛物线 y=ax²（a≠0），经过怎样的平移后得到？. 4、P16 练习1
请研究二次函数y=x2 -6x+5的 图象和性质，并尽可能多地说 出结论。
我们的结论:
① 图象的开口方向：向__上___
② 对称轴：直线x =__3____ ③ 顶点坐标：（__3_，__-_4_）___ ④增减性: 在对称轴的_左__侧, y随x的__增__大__而__减_,小
二.探究系数与图象间的关系
a与图象的关系
a决定 图象的 形状
开口方向 开口大小
当a > 0 时 开口向上
当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
b影响 对称轴 的位置
b与图象的关系 当b=0时对称轴为y轴 当ab>0时对称轴在y轴左侧 当ab<0时对称轴在y轴右侧
c与图象的关系
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1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,请在下列横线
上填写“<”,“>”或“=”.
（1） a__<_0, b__<__0, c__>___0, abc__>__0 b2-4ac__>___0
（2）a+b+c__<___0, a-b+c__>__0 4a-2b+c___>__0

4 1 5 32 2 2 4 1

2
2
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。
1.函数 y 1 x2 x 3 的图象开口向 下 ， 2
顶点坐标为 (1，－2.5)，对称轴为直线x=1 ，
复习：
1、抛物线y= - 3（x-2）2 +4的开口_向__下_； 对称 轴是 直线x=2 ；顶点坐标_(2_，__4_）；当x _≥_2__ 时， y随x的增大而减小，当x ____≤时2 ， y随x的增大而 增大；当x为____时2,有最大值是____.4
2、抛物线y=2（x-2）2 - 3是由抛物线y=2(x-2)2
y = x2 - 6x + 5
⑧ 图象与x轴的交点 :（_1_，__0_）__（_5，0） 与y轴交点:（__0_，__5_）__
⑨ ⊿=16＞0,抛物线与x轴有两____个交点, 且交点的横坐标是对应二次方程x_2_-_6_x_+_5_=_0 的两根
⑩当_1__﹤x﹤5___时 y﹤0 ； 当x﹥5___或x﹤1___时 y﹥0
2
2
的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移
的过程，并画出示意图；
2、说出函数图象的开口方向、顶点坐标、对称 轴、函数的增减性和函数最大或最小值。
画函数图象
这节课你有什么收获和体会？
通过变形能否将 y=ax²+bx+c转化为 y = a(x+m)2 +k的形式 ？
y=ax²+bx+c
=a（x2+
b a
x）+c
=a〔x2+ b x+ b 2 – b 2 〕+c
a 2a 2a
= a(x+ b )2 + 4ac b2
2a
4a
y=ax²+bx+c
1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求 得的函数解析式最简单？
C
4m
A
12m
B
3、抛物线与直线的位置关系
y = ax2 +bx+c y = kx+m
例5:已知二次函数y=

1 2
x²+4x–3,
请回答下列问题：
1、函数 y 1 x2 4x 3 的图象能否由函数 y 1 x2
C 确定图 象与y轴 的交点
当c＝0时图象过原点 当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 当c < 0时图象与y轴负半轴相交
∆与图象的关系
当∆>0 时图象与x轴有两个交点 ∆决定图 象与x轴的 当∆ ＝0时图象与x轴只有一个交点 交点情况
当∆ <0时图象与x轴无交点
对于二次函数y=ax2+bx+c中字母的几何意义
3.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+yk=)2a+(kx-(ha≠)20+)k的
顶点都在(B )
A.直线y = x上 B.直线y = - x上C.x轴上 D.y轴上 4.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值
是( A )
A. 4 B. -1 C. 3 D. 4或-1
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向
在对称轴的__右__侧,y随x的__增__大__而__增__大
⑤最值: 当x = _3___时, y最小值 =_-_4_____
y = x2 - 6x + 5
⑥ 可由抛物线y = x2向_右___平移3__个单位, 再向_下____平移_4__个单位得到;
⑦抛物线与x轴的两个交点与顶点构
成的三角形是__等__腰___三角形.
（2，－1），且与y轴的交点
到原点的距离是2，则这个二
次函数的解析式是
y__43_(_x__2_)2__1_或___y____14_(_x __2)_2__1_.
图 26.2.5
如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽
AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高
点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数
上平移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则( B )
A.b=2
B.b= - 6 , c= 6
C.b= - 8
D.b= - 8 , c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、
四象限，则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图
象是 y ( C ) y
y
y
ox -3
a： 确定抛物线的开口方向、形状 c： 确定y轴的交点（0，c）
b -
确定对称轴的位置
2a
b2-4ac: 确定与x轴的交点情况
当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点
当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点
当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
1.若抛物线y=x2+(m-2)x+(m+5)的顶点在y轴上， 则m的值是（ ） B
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点 是抛物线上的最高点。
请说明其增减性
例题学习:
例4
求抛物线
y 1 x2 3x 5
2
2
的对称轴和顶点坐标。
解： a 1 , b 3, c 5 ,
2
2
b 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2 1
3
2
4ac b2 4a
B.abc>0 -1 o 1 x D.a-b+c<0
课内练习 9、请写出如图所示的抛物线的解析式：
y （2，4）
（0，1）
O
驶向胜利 的彼岸
x
1.用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩 形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成 的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
2、已知二次函数的顶点是