线性代数第二章课后习题

习题二 （A ）
1 请按要求写出下列相应矩阵
（1）3E ； （2）35O ⨯； （3）()3,1,2.=-3Λdiag
2 设矩阵221,301A B ⎛
⎫⎛⎫==
⎪ ⎪
-+⎝⎭⎝⎭a b c c ，若
A B =，请确定a,b,c 的值. 3 设矩阵300012111=,,565042112A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭
，
求,,23A B B C A C -++.
4 设3023=12
531⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
A ,求,2,3--+A E E A A E . 5 设矩阵3111110=21,=212031112A
B ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，
求矩阵X ，使得()53X B AB X +=+. 6 计算下列乘积：
（1）AB 与BA ，其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600040002，B =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a ； （2）()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛6543,2,1；
（3）1023211231⎛⎫-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪-⎝⎭
；
（4）()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321,,x x x a a a a a a a a a x x x ；
（5）⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛3214214314324321
0110100101001000. 7 211312101⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪
-⎝⎭
A ，230101211⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，求23-AB B ,T A B 及()T AB .
8 设矩阵110010001⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，求n A ，其中n 为自然数.
9 设列矩阵A =()T
12
,n a a a ，满足T 1,=n A A E 为n 阶单位矩阵，T 2n =-B E AA ，
证明（1）矩阵B 是对称矩阵；（2）T
=n BB E .
证毕
10 设矩阵31212,01234031A B ⎛⎫
- ⎪⎛⎫
==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
，λ是实数，
（1）计算λ-E A 和λ-E B ； （2）计算-E A λ和E B -λ.
11 求下列方阵的逆矩阵 (1) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛4231；（2）cos sin sin cos ⎛⎫ ⎪
-⎝⎭θ
θθθ； （3）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛111011001； （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121
； （5）⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---60003400421025
2
1
. 12 解下列矩阵方程：
（1）25323714⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ； （2）211213*********-⎛⎫-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪--⎝⎭X ；
(3) 0314********X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝-⎭⎝-⎭
； (4) 010********
00
01201001010120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
X ．
13 设矩阵 1111111111111111⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭
A . (1) 求2A ；
(2) 证明矩阵A 可逆，并求1-A ；
(3) 求*1
()-A .
14 已知k
=A O （k 为正整数），证明
()
1
21---=++++k E A E A A A .
15 若矩阵A 满足2
24--=A A E O ，试证 (1) 矩阵A 可逆，并求1-A ;
(2) 矩阵+A E 可逆，并求1
()-+A E . 16 利用逆矩阵解下列线性方程组：
(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=++=++3531322
5223
2
1
321
321x x x x x x x x x ；(2) ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=
--
=-
-0
52313223
2
1
32
1
3
21x x x x x x x x x ． 17 设矩阵A 和B 满足关系式2=+AB A B ，其中03
3011
312A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝
⎭，求矩阵B . 18 设矩阵A 和X 满足关系式2
+=-XA E A X ，其中1203
40567⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
A ，求矩阵X . 19（研2006数一，数二） 设矩阵2112⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵
B 满足
2=+BA B E ，则=
B .
20 （研2008数一，数二，数三） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若3
=A O ，则（ ）
（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆； （B ）-E A 不可逆，+E A 可逆； （C ）-E A 可逆，+E A 可逆； （D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.
21 （研2009数一，数二，数三） 设,A B 均为2阶矩阵，,*
*
A B 分别为,A B 的伴随矩阵.若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫
⎪⎝⎭
O A B O 的伴随矩阵为（ ）
（A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ； （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ；（C ）32**
⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ； （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭
O A B O .
22 （研2010数二，数三） 设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2,-==+=A B A B 则
1-+=
A B .
23（研2012数二） 设A 为3阶矩阵，3=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*=
BA .
24（研2013数一，数二，数三） 设()
ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若()0,1,2,3ij ij a A i j +==，则=
A .
（B ）
1（研2002数二） 已知,A B 为3阶对称矩阵，且满足1
24-=-A B B E ，其中E 为3阶单位矩阵.
（1）证明：矩阵2-A E 可逆，并求
()
1
2--A E ；
（2）若矩阵012012002B ⎛⎫- ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵A .
2 设矩阵X 满足 1
2*-=+A X A B X ，其中
111111111A ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，110101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，
求矩阵X .
3（研2003数二） 设3阶矩阵,A B 满足2
--=A B A B E ，其中E 为3阶单位矩阵，011002021A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求B .
4 设,A B 均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵.已知2=+AB A B ，202040202⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
B ，
求()1
--A E .
5 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*
A ，证明： (1) 若0=A ，则*
0=A ； (2) 1
*
-=n A A
.
6 设矩阵11
1222⎛⎫
=
⎪⎝⎭
A A A O A ，其中ij A 是j i n n ⨯矩阵，证明矩阵A 可逆的充分必要条
件是11A 及22A 均为可逆矩阵，并求1A -.
7 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1
O O -⎛⎫
⎪⎝⎭
A B .
8 求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000000000121 n n a a a a 的逆矩阵，其中0≠i a ，n i ,,1 =.
9（研2015数二）设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
A 且3=A O .
（1）求a 的值；
（2）若矩阵X 满足--+22X XA AX AXA =E ，E 为3阶单位阵，求X .
10 设n 阶矩阵,,A B C 满足n ===AB BC CA E ，求222
++A B C .。