第三章MATLAB的符号运算分析
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第3章 MATLAB的符号运算
1
MATLAB符号运算入门
科学与工程技术的数值运算固然重要，但自然科学 理论分析各种各样的公式、关系式及其推导就是符 号运算要解决的问题。它与数值运算一样，都是科 学计算研究的重要内容。Matlab数值运算的对象是 数值，而Matlab符号运算的对象则是非数值的符号 对象。符号对象就是代表非数值的符号字符串。
– 例： >>sym(4/3,'f') ans ='1.5555555555555'*2^(0) >> sym(4/3,'r') ans =4/3 >> sym(4/3,'e') ans =4/3-eps/3 >> sym(4/3,'d') ans =1.3333333333333332593184650249896 11
符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double()
这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa()
精确计算表达式的值。 格式1：R＝vpa（E） 格式2：R＝vpa（E,D）
12
例1：计算以下符号常量的值 c e 79
并将结果转换为指定精度8位与18位的精确数值解。 见example3_8
13
Matlab符号运算的基本运算（P52）
符号加：+ 符号减：符号乘：* 符号表达式的幂运算：^
见example3_5
14
Matlab符号运算的基本内容
符号变量代换及其函数subs（P54）（重点）
格式：f=subs(s,old,new) 功能：将符号表达式S中的old变量替换为new。old一定 是符号表达式s中的符号变量，而new可以是符号变量、 符号常量、双精度数值与数值数组相等。 格式：f=subs(s,new) 功能用new置换符号表达式s中的自变量
符以将一符号表达式赋值给一个符号变量。 符号变量的命名规则与数值变量相同。
例如： a=sym(‘alpha’) syms alpha beta gama;
8
符号表达式、符号函数与符号方程（P50） 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函数 用运算符或专用函数连接而成的符号对象。符号 表达式有两类： 符号函数和符号方程。 例：f=sym(‘a*x^2+b*2+c’)
3
符号运算与数值运算的区别
例求解: f 2 1
中f的值 。
其中 （1 5）/ 2
数值运算 ：
符号运算：
>>rho=(1+sqrt(5))/2 >>rho=sym(‘(1+sqrt(5))/2
rho=1.6180
’)
>>f=rho^2-rho＋1 rh0= (1+sqrt(5))/2
f=2.000
63 见example3_7
p
a c
b
d
见example3_4 6
Matlab符号运算的几个基本概念
符号对象（P49）：
符号对象是symbolic math toolbox定义的一种新的数据 类型（sym类型），用来存储代表非数值的字符符号（通 常是大小写的英文字母及字符串）。符号对象可以是符号 常量（符号形式的数），符号变量，符号函数以及各种符 号表达式（符号数学表达式，符号方程与符号矩阵）
例1：已知 f axn by k 试对其进行符号变量替换：
a sin(t),b ln(w).k cedt 符号常量替换：n 5, k
与数组数值替换：k 1:1: 4
见example3_6 15
例2：已知 f a sin x k
试求当：a 1:1: 2, x 0 : : 时函数f的值。
>> A=sym(A) A= [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5]
10
数值转化为符号
sym(‘数值变量’,’f’)－返回浮点表示形式 sym(‘数值变量’,’r’)－返回有理数表示形式 sym(‘数值变量’,’e’)－返回有理数(带误差)表示形式 sym(‘数值变量’,’d’)－返回十进制小数表示形式
因式连乘积的展开式。
见example3_2
5
例4：导函数 d (cos2 x)和 d (cos x2 )
dx
dx
见example3_3
b
例5：计算不定积分 xdx 和定积分 xdx a
见example3_3
例6：求解一阶微分方程 dy ay dt
见example3_3
例7：求以下矩阵行列式的值
2
符号运算与数值运算的区别
数值运算：
1. 其运算的元素是数 值；
2. 在运算过程中必须 先对变量进行赋值， 然后才能参加运算；
3. 其结果以数值形式 出现。
符号运算：
1. 其运算的元素是符 号；
2. 在运算过程中无须 对变量进行赋值就 可参加运算；但是 必须先定义符号变 量；
3. 其结果以符号形式 出现。
>>f=rho^2-rho＋1
f=(1/2+1/2*5^(1/2))^2+1/2 -1/2*5^(1/2))
4
例1：求解一元二次方程 x2 2x 2 0的解。
见example3_1
例2：对于数学表达式x2 y yx x2 2x 合并关于
x 的同类项。
见example3_2
例3：对于数学表达式 (x2 1)(x 2)(x 3)即三
或syms a b c x f=‘a*x^2+b*2+c’
9
数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym(‘[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]’) m2=sym(‘[1 12;23 34]’)
– 例： – >>A=hilb(3);
A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
创建符号对象与函数命令（P50）
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
2、函数命令syms格式 syms s1 s2 s3;创建3个符号对象
7
符号常量
符号常量是一种符号对象。数值常量如果作为函数命令 sym（）的输入参量，这就建立了一个符号对象——符 号常量 例如：sym（1/8）
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MATLAB符号运算入门
科学与工程技术的数值运算固然重要，但自然科学 理论分析各种各样的公式、关系式及其推导就是符 号运算要解决的问题。它与数值运算一样，都是科 学计算研究的重要内容。Matlab数值运算的对象是 数值，而Matlab符号运算的对象则是非数值的符号 对象。符号对象就是代表非数值的符号字符串。
– 例： >>sym(4/3,'f') ans ='1.5555555555555'*2^(0) >> sym(4/3,'r') ans =4/3 >> sym(4/3,'e') ans =4/3-eps/3 >> sym(4/3,'d') ans =1.3333333333333332593184650249896 11
符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double()
这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa()
精确计算表达式的值。 格式1：R＝vpa（E） 格式2：R＝vpa（E,D）
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例1：计算以下符号常量的值 c e 79
并将结果转换为指定精度8位与18位的精确数值解。 见example3_8
13
Matlab符号运算的基本运算（P52）
符号加：+ 符号减：符号乘：* 符号表达式的幂运算：^
见example3_5
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Matlab符号运算的基本内容
符号变量代换及其函数subs（P54）（重点）
格式：f=subs(s,old,new) 功能：将符号表达式S中的old变量替换为new。old一定 是符号表达式s中的符号变量，而new可以是符号变量、 符号常量、双精度数值与数值数组相等。 格式：f=subs(s,new) 功能用new置换符号表达式s中的自变量
符以将一符号表达式赋值给一个符号变量。 符号变量的命名规则与数值变量相同。
例如： a=sym(‘alpha’) syms alpha beta gama;
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符号表达式、符号函数与符号方程（P50） 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函数 用运算符或专用函数连接而成的符号对象。符号 表达式有两类： 符号函数和符号方程。 例：f=sym(‘a*x^2+b*2+c’)
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符号运算与数值运算的区别
例求解: f 2 1
中f的值 。
其中 （1 5）/ 2
数值运算 ：
符号运算：
>>rho=(1+sqrt(5))/2 >>rho=sym(‘(1+sqrt(5))/2
rho=1.6180
’)
>>f=rho^2-rho＋1 rh0= (1+sqrt(5))/2
f=2.000
63 见example3_7
p
a c
b
d
见example3_4 6
Matlab符号运算的几个基本概念
符号对象（P49）：
符号对象是symbolic math toolbox定义的一种新的数据 类型（sym类型），用来存储代表非数值的字符符号（通 常是大小写的英文字母及字符串）。符号对象可以是符号 常量（符号形式的数），符号变量，符号函数以及各种符 号表达式（符号数学表达式，符号方程与符号矩阵）
例1：已知 f axn by k 试对其进行符号变量替换：
a sin(t),b ln(w).k cedt 符号常量替换：n 5, k
与数组数值替换：k 1:1: 4
见example3_6 15
例2：已知 f a sin x k
试求当：a 1:1: 2, x 0 : : 时函数f的值。
>> A=sym(A) A= [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5]
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数值转化为符号
sym(‘数值变量’,’f’)－返回浮点表示形式 sym(‘数值变量’,’r’)－返回有理数表示形式 sym(‘数值变量’,’e’)－返回有理数(带误差)表示形式 sym(‘数值变量’,’d’)－返回十进制小数表示形式
因式连乘积的展开式。
见example3_2
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例4：导函数 d (cos2 x)和 d (cos x2 )
dx
dx
见example3_3
b
例5：计算不定积分 xdx 和定积分 xdx a
见example3_3
例6：求解一阶微分方程 dy ay dt
见example3_3
例7：求以下矩阵行列式的值
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符号运算与数值运算的区别
数值运算：
1. 其运算的元素是数 值；
2. 在运算过程中必须 先对变量进行赋值， 然后才能参加运算；
3. 其结果以数值形式 出现。
符号运算：
1. 其运算的元素是符 号；
2. 在运算过程中无须 对变量进行赋值就 可参加运算；但是 必须先定义符号变 量；
3. 其结果以符号形式 出现。
>>f=rho^2-rho＋1
f=(1/2+1/2*5^(1/2))^2+1/2 -1/2*5^(1/2))
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例1：求解一元二次方程 x2 2x 2 0的解。
见example3_1
例2：对于数学表达式x2 y yx x2 2x 合并关于
x 的同类项。
见example3_2
例3：对于数学表达式 (x2 1)(x 2)(x 3)即三
或syms a b c x f=‘a*x^2+b*2+c’
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数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym(‘[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]’) m2=sym(‘[1 12;23 34]’)
– 例： – >>A=hilb(3);
A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
创建符号对象与函数命令（P50）
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
2、函数命令syms格式 syms s1 s2 s3;创建3个符号对象
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符号常量
符号常量是一种符号对象。数值常量如果作为函数命令 sym（）的输入参量，这就建立了一个符号对象——符 号常量 例如：sym（1/8）