高中空间立体几何典型例题

1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD.

证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN.

又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ，

故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD.

方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则B

B G B A

B E B 1111=，

∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴B

B G B B

C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ，

又EG ∩FG=G ，AB ∩BC=B ，

∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD.

2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.

（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △3

21G G G ∶S △ABC .

（1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，

连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD=2∶3， PG 2∶PE=2∶3，∴G 1G 2∥DE. 又G 1G 2不在平面ABC 内，

∴G 1G 2∥平面ABC.同理G 2G 3∥平面ABC. 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC.

（2）解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE. 又DE=21AC ，∴G 1G 2=31

AC. 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=3

1BC. ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △3

21G G G ∶S △ABC =1∶9.

3如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA=SB=SC ，SG 为△SAB 上的高，

D 、

E 、

F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S

G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.

解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示.

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB.

在△ACG中，D是AC的中点，

且DH∥AG.

∴H为CG的中点.

∴FH是△SCG的中位线，

∴FH∥SG.

又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，

∴SG∥平面DEF.

方法二∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，

∴EF∥平面SAB.

同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，

∴平面SAB∥平面DEF，又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.

5如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、

C1D1、A1A的中点.求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

证明 （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.

（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ， 又D 1G 2

1DC ，∴OE D 1G ，

∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O.

又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D.

（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1， DB ∩BF=B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H.

6如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.

（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH.

（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG. ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD. ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC=AB ，

∴EF ∥AB.∴AB ∥平面EFGH. 同理可证，CD ∥平面EFGH.

(2)解 设EF=x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形，

∴4

x

CB CF =. 则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x

. 从而FG=6-x 2

3

. ∴四边形EFGH 的周长l=2(x+6-x 2

3)=12-x. 又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,

∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.

7如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？ 解 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO.

∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA. ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO. 又PO ∩PA=P ，D 1B ∩QB=B ， D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO.

8正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.