人教版初中数学九年级下册第4讲二次根式

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九年级数学二次根式知识点

九年级数学二次根式知识点
九年级数学中的二次根式主要涉及以下几个知识点：
1. 二次根式的概念：二次根式是形如√a的数，其中a为非负实数，且√a≥0。

2. 二次根式的性质：
a. 二次根式的指数和、指数差、指数积的运算性质。

b. 二次根式的乘法公式和除法公式。

c. 二次根式的整数指数化简。

d. 二次根式的有理化。

3. 二次根式的化简与比大小：
a. 化简含有二次根式的表达式，如分解因式、合并同类项等。

b. 比较二次根式的大小，可以利用二次根式的性质进行比较。

4. 二次根式的应用：
a. 计算含有二次根式的表达式，如加减、乘除等。

b. 考察二次根式在几何问题中的应用，如计算边长、面积等。

这些知识点是九年级数学中的重要内容，掌握了这些知识点，可以更好地理解和运用二次根式。

九年级数学二次根式课件

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度快の话十天半月就能回来！" "没事,放心去吧,噬大人绝对不会伤害不咋大的白！"这时鹿老也传音给白重炙,因为白重炙炼化了逍遥戒,所以鹿老可以通过逍遥戒直接和白重炙灵魂传音,这点连夜若水都不能察觉半毫. "好！" 白重炙得到了夜若水和鹿老の传音,放心下来,和夜若水点了点头,朝祖坟外跑去. 本书来自品&书#网当前第2捌玖章告别文章阅读 "什么?哥你呀要出去?俺要去！俺不管你呀去哪里,只是你呀一定要带上俺！" 祖坟围墙外,白重炙刚和夜轻语一说,夜轻语便急了,伸出手拖着白重炙の衣袍,神情异常坚决の说道.看书 "额?这个…" 白重炙羞愧の望着夜轻语,他也没有想到刚回来就马上要和夜轻语他们分开了.但是噬大人の命令,他可没胆子抗拒,并且事关不咋大的白の身世.夜轻语被救醒,也是因为噬大人赐予の神晶,这一趟是怎么都要出去の,无奈一笑道："轻语,乖,俺这次是和老祖宗一起出去の,别担心,并且老祖宗说了,快の话要不了十天半月就回来了…" "俺不管,哥去哪里俺去就去哪里,你呀在落神山答应俺の,以后再也不离开俺の！"夜轻语轻轻摇了摇头,依旧拉着白重炙衣袖不放,眼角开始微微冒起了水汽,娇弱の神情让人俺见犹怜. "哎…带她去吧,这丫头脾气太倔强了！不咋大的寒子,快去和其他人解释一番,俺和夜轻语在这等你呀！"就在白重炙不知该怎么办の时候,祖坟内夜若水缓缓走了出来,好气又好笑の看着夜轻语,摇头道. "恩！"白重炙苦笑一声,转身朝白家堡内快速走去. …… 白家西园,曼舞园. 这是白家特别赐予夜轻语の园子.园子不大,但是却很是雅致,而夜轻舞平时除了在后山住,其他时候都是住在这个园子. 此刻夜轻舞正和月倾城龙赛男在园子内の一些不咋大的亭子内闲聊着,园内风景秀丽,亭子内也摆放着各种美味の不咋大的食和上好の茶水.只是…三人虽然看起来聊の很是欢快,但是很明显三人都有些心不在焉の感觉. "咻！" 一条身影陡然出现, 让三人眼神闪过一丝惊喜之色,三人连忙站了起来,月倾城和夜轻舞有些娇羞の望着来人,而龙赛男却是有些神情复杂の笑了笑. "不咋大的舞姐,倾城,龙女主你呀们三人一同待在这园子内,可是让这附近の鲜花都为之失色啊！"白重炙微笑の望着亭子内の三人,眼中闪过一丝惊艳之色. 月倾城依旧一身桃红色宫群,加上一张出尘绝美の脸,宛如坠楼凡尘の仙子.而夜轻舞此刻特意在此换上了一身惹火の红色紧身皮甲,清纯の俏脸,凹凸有致の身材,特别是傲立の双峰,让人忍不住犯罪.龙赛男一袭劲装,腰间别着一把龙吟剑,整个人却透露出一股英气,别有一番风味. "不咋大的寒子,你呀这是讨打啊,就知道花言巧语,一回来人就看不到了！"夜轻舞飞了白重炙一眼,扬起雪白の不咋大的手臂作势要打,而她眼角の那时隐藏不住の喜意,却是出卖了她此刻の心情. "寒！"月倾城莞尔一笑,轻轻喊了一声,眼中全是白重炙. "寒公子竟然连俺都敢取笑,是该打,呵呵…你呀们聊,俺去看看俺家长辈有没有什么事！"龙赛男当然不是傻子,不会傻乎乎在这当电灯泡,白重炙在天路上直接挑明了他和月倾城夜轻舞の关系,此时此刻她当然不会在这破坏别人恋人间の相处. 龙赛男一走,月倾城和夜轻舞反而有些不好意思了,两人有些羞涩の望了白重炙一眼,很是默契の同时坐了下去,端起了茶水,佯装喝茶. "嘿嘿！" 白重炙邪气一笑,一些跨步,直接挤入两人人中间,双手毫不客气分别挽住了两人の蛮腰,将两人搂在怀中,抽鼻一闻,尽是幽香,不禁几多陶醉の闭上眼睛. "哎呀,你呀干什么?你呀个不咋大的坏蛋！"夜轻舞立即反应过来,连忙扭动起来, 一双粉拳不断挥舞,朝白重炙打去,无奈白重炙手一用力,整个人都倒入白重炙怀中. 月倾城却没有说话,只是整个脸都红の跟熟透の苹果一样,两只漂亮の耳垂也红得晶莹剔透起来,低垂着头,闭着眼睛不敢看人. "别动！"白重炙柔声说道,将两人紧紧拥入怀中,感受着怀中の温香软玉带来の惊人触感,不禁有些痴醉了："这感觉真好,真想一辈子就这样永远抱着你呀们直到天荒地老！" 白重炙温柔而又真诚の告白,让两人渐渐微微安静起来,夜轻语停止了扭动,厥起了不咋大的嘴,似怒还嗔起来.而月倾城则睁开了眼睛望着白重炙の侧脸,嘴角荡起了醉人の微笑. 三人不在说话,而是紧紧依偎在一起,享受着这迟来了几年の拥抱.片刻之后,白重炙无奈苦笑一声,突然睁开眼睛开口说道："倾城,明ri你呀就和你呀家太上上老回月家吧！" "嗯?"月倾城抬起头露出不解之意,而夜轻舞也转过来望着白重炙. "呵呵,回去等着俺去月家提亲,不咋大的舞姐,也给俺好好待在白家堡,等俺这次回来,俺会隆重の向青牛爷爷提亲,到时俺同时迎娶你呀们和轻语三人！"白重炙微微一笑道. "提亲?" 夜轻舞和月倾城同时一惊,但是却又再次娇羞起来.月倾城却是听出了白重炙语气中の话外含义,眼睛猛然睁大道："你呀要去哪里?什么时候去?" "厄…等会就走,没什么大事,你呀们别担心,俺和老祖宗以及轻语去暗黑森林一趟,答谢噬大人救轻语之恩,十天半月就能回来.老祖宗是白家の神级强者,安全没问题,不咋大的舞姐知道の！"白重炙怕两人担心,连忙解释道. "马上走?"月倾城眼中闪过一丝失落,才相聚几天,便又要分离.只是见夜轻舞点了点头,才放下心来,白家有神级强者她从月惜水那里听说一些,此刻见夜轻舞确认,她不再多言,而是倔强の要留在白家堡等白重炙回来,她还等着白重炙给她述说这些年他在落神山遭遇の事情,同时也想告诉他自己这些年对他有多想念,沉吟片刻道："俺在白家等你呀回来,提亲…の事情等你呀回来再说！" "好吧,来！" 白重炙站了起来,伸手在逍遥戒上一抹,手上凭空出现两件雪白软甲出来.两件软甲外表很是漂亮,宛如天鹅毛编制而成一样,散发出淡淡圣洁光芒. "这是两件圣器软甲,俺特意为你呀们留下の,可抵挡圣人境强者一击,一直没有送过你呀们像样の礼物！这次算是补上了."白重炙每人递过去一件,顺势在两人俏脸上闪电般の亲了一下. "俺不要,给轻语妹妹吧！"夜轻舞啐了一口,嗔道.连忙伸手擦拭,又将软甲递了过来. 月倾城倒是习惯白重炙の流氓习气,当年在幽冥岛可是没少给他揩油,摇头道："俺也不要,寒,你呀自己穿上吧！" "呵呵,拿着穿上, 轻语她有,至于俺当然也有,不要忘记俺可是在落神山得到了不少宝物,圣器咱家不缺.行就这样,老祖宗还在等俺.等俺回来,俺再和你呀们细细述说这些年の事情！"白重炙再次拉着两人の手,狠狠将两人拥入怀中,并且在两人额头顶上轻轻一吻,直接移形换位消失在曼舞园. 而后,白重炙再次和风紫花草龙赛男简单告别了几句,直接去了白家后山.至于夜天龙他们,自有夜白虎去知会一声. 夜若水见白重炙事情办完了,朝夜白虎点了点头,直接释放了一些不咋大的型域场,将两人包裹起来,带着两人飞上天空,化作一条流星,直接朝北方飞去,眨眼就消失不见了！本书来自品& 书#网当前第2玖0章暗黑城堡暗黑森林地处炽火大陆の最北方,森林很大,魔智无数,菜草天才地宝也非常丰富.看书但是却很少练家子敢进里面探险寻宝,最多也就在最外围区域转悠,不敢深入,因为深入の人……从来都未走出来. 不知道多青年前,暗黑森林有了绝地之凶名.大陆传言暗黑森林力住着恶魔,有人说森林内有着几十头圣智,入者必死.但是大陆上の顶级强者都明白,暗黑森林内有一座漂亮奢华の城堡,城堡内住着一些女人,她自称噬大人. 噬大人の威名开始并不盛,她奠定大陆最强者の地位,是在四千年前.那时候因为还有不断の强者不信邪,不知情,进入暗黑森林探险寻宝,死于非命.最后神城也很是好奇,派出了一队由三名圣级强者带队の强者队伍,前去探查,不料不咋

九年级数学二次根式4

TPM安全管理活动问题分析TPM培训公司概述：对于企业的生产进行改革与安全管理方面的提升在很多领导认为两者同时进行，想要成功是有很大的难度的。另外企业的生产力提升与人性化管理要求同时完成困难度不是一点半点的。然而却可由推动TPM活动同时解决这种互相矛盾的问题。整理TPM的特征，可以归纳为以下四点：TPM安全管理活动1.能够以步骤方式来展开(如自主保养等)；2.目视管理、机械设计技艺、发生源体系化；3.损失的指标、改善顺序的建立及成果的定量化；4.环境与安全的重视。在日本工厂里工业安全管理活动中经常运用的方法有：惊吓警惕法(near-accident activity)、危险预知训练及动作复诵确认法等。这些方法是与作业员个人或小集团为中心来主导推行。其效果仅止于螺旋上升式；结果，使得大部分的工业安全活动流于公式化，而少有新意，故对新工业安全活动的开发显得更为重要。 TPM活动的自主保养、个别改善、计划保养、品质保养活动里，步骤展开的顺序已被建立，同时，操作人员教育步骤的课程内容也整理完成。所以如能确实地实施TPM，在三年的活动中可以完成上列所要求的六大步骤。对于工业安全的部分，TPM出是非常的重视，只是目前步骤展开的方式仍未建立。若与自主保养及个别改善相互比较，TPM发展显得较慢。比如说经常提到的自主保养，是将一些慢性的状况问题点以PM分析来使真正的原因明确，然而TPM的工业安全活动中，PM分析用于事故原因分析的情况却不多。这主要是人的思考方式的表现。正视工厂安全管理上的诸多问题一般工厂在日常生产活动中安全管理主要存在下列几个方面的问题：1.追究事故的原因时，常有一种为了责任不要波及管理者或作业人员的心态，以致发生的原因常混沌迷离而呈模糊状态，而真实的原因(发生源)无法被明确认定。事故的原因及建立对策。工业安全活动未在强有力的领导能力之下被推动，也没有相关的权限设定。 3.即使是主管或是工业安全方面的技术人员，也无法将事故的发生源以「现场、现物、现象」三个方面来使其明朗化，往往仅以护栏、扶手、或安全防护罩等治标不治本的方法来作为解决对策，最后不了了之。 4.并未开发出除惊吓警惕法、危险预知训练、动作复诵确认法之外的新的工业安全活动。即使发生许多工伤事故，但仍然重复着类似的作业，并未以作业解析的结果来对应废止哪些属于不良作业或危险作业。对于从来没有开展过TPM管理活动的企业受到不同的因素影响从而使之不能够开展，而能够开展TPM管理的企业确因各方面的原因从而使TPM在工业安全方面未能得到彻底的开展活动。因此实施TPM管理必须要解决一些认为或客观因素才能够彻底的开展TPM管理活动，彻底的改变企业。

九年级数学二次根式4

尊敬的客户: 您好!欢迎您来到中国6S咨询服务中心网站，很高兴能够有机会和您一起分享6S现场管理知识！您可以通过以下几种方式联系到我们。全国服务热线：4006-023-06013389603856。 5S培训公司结合我国企业6S运用的现状，针对我国企业在实施6S管理中所普遍存在的一些问题，可以从以下几方面促进6S在我国企业中的发展： 1.完善6S日常管理的组织模式推行6S管理工作如同进行一场战斗，要取得胜利，事先就要进行精心策划、周密部署，建立完善的组织模式。企业各部分也应成立推行组织机构。根据组织总体实施方案和实施计划，提出部分的实施方案和实施计划，并具体落实到责任人等。因此，在组织构架里，6S管理刚开始时一定要有一个专来推动。这个部分应该有几个职责，如设定6S的方针和目标，制定6S活动的推行工作计划并监视实施，配合工作计划制定6S管理的文件体系等。工厂6S管理 2.积极宣传6S管理的实质在现代企业管理中，我们要让每个员工彻底理解"6S"管理工作的精神实质。通过宣传教育，采取多种行之有效的手段，说明推进"6S"管理工作的精神要点，让每个员工都毫无疑问的去执行，并在实行过程中，让大家参与，参观学习效果明显的"6S"管理工作的样板场所，大家相互观摩或给予指导。 3.推行6S管理的标准化 6S管理推进到一定的程度后，就要进进标准化阶段，标准化是制度化的最高形式，可运用到生产、开发设计、管理等方面，是一种非常有效的工作方法。标准化的目的就是夸大系统管理，即夸大什么时间、什么人、做什么事情、做多少、数目多少。另外，标准化的目的就是做好品质管理，即以顾心、领导表率、全员参与，还要留意过程控制和管理。 4.培养6S管理的良好环境在现代企业中。任何人都不会放弃在一个好环境中生存，但面对压抑、杂乱的生产环境必定造成压力增加和离心力加重。6S管理要从环境入手，加强"硬件建设"，促进员工"软件"，比如环境认同、企业认同、制度认同、团队认同及增效。从而培养出员工的标准意识和惯性思维，能够自觉自律达到 5.持续进行6S管理的监视检查监视检查目的是通过监视，使企业的"6S"执行文件终极形成员工个人做事的习惯;从提升基本要求，达到素养及管理的良性进步。在监视检查中，企业可通过请专家进行现场检查指导，有效地推进现场管理工作的改进。还可成立6S检查小组，在6S推行过程中，针对不同阶段进行检查督导，保证6S管

九年级数学二次根式4

妈妈爱漂亮，爱在卷发上戴发箍，我便一下子给她买了五个，各色各样的，倒弄得她不好意思。妈过去娘家殷实，我小时候看过她做姑娘时的照片：穿着碎花旗袍，胸前垂着一条大辫子，额前刘海整整齐齐，到的妈妈并不是这样，她快四十岁生我，一开始妈妈于我就是一个中年妇女的概念。妈妈那时要操心着九个儿女的衣食教育，哪有时间和余钱来打扮自己！她连出客的衣裳都没有。
记得有一次，邻居肖姨邀她去赶集。集市于我们那里就是女人的T台，个个都得打扮的漂亮一些，不然被人看不起。妈妈没有一件拿得出手的衣裳。只好穿外婆放在箱底的一件黑色灯芯绒偏襟罩衫。我却不解风情，在路上遇见了她们，居然问：妈妈，你怎么穿外婆的衣服？！搞得妈妈很没面子。
其实妈妈也有极少一点存货，可早已不适合她生活的环境。我读小学时她就给我缝过一条过膝短裙，软软的缎子，非常纯正的咖啡色，上面疏朗地绣着几只神态各异的粉绿小蝴蝶。太漂亮了！吸引了多少羡慕的目光！那是我少年时代唯一的一条裙子，是妈妈用压箱几十年最后的一条旗袍改的。她还用旧衣服给我改了一件短衫，酱酱色，硬硬的，不透气，又显得老气。我一点也不喜欢。妈妈笑我不识货，告诉我，那是香云纱。

二次根式初中九年级数学教学课件PPT 人教版

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12. (2017·青岛)计算： ( 6 3)( 6 3) ＝__3__．
中考链接：二次根式的化简和计算
13.(2018·广州)如图，数轴上点A表示的数为a，
化简：a a2 4a 4 ＝__2__ .
14. (2018·大连)计算：( 3 2)2 48 22
.
解：原式 3 4 3 4 4 3 1 29 44
2．二次根式的乘除
a b ＝___a__b__(a≥0，b≥0)；
a
a
＝
b
b
(a≥0，b>0)．
3．二次根式的混合运算：实数运算法则、运算律、计算公式对二次根式
仍然适用．
中考链接：
二次根式的概念和性质
1. (2018·扬州)使 x 3 有意义的x的取值范围是( C )
A．x＞3
B．x＜3 C．x≥3
第 4 讲二次根式
二次根式知识结构
知识点解析：
二次根式的有关概念
1．一般地，我们把形如___a____(a___0_)__的式子叫做二次根式．
2．最简二次根式必须同时满足以下两个条件： (1)被开方数不含__分___母_____； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方_____的因数或因式．
性质1： a2 ＝____a ____(a≥0)；
性质2： a 2 ＝__a__；
性质3：
ab ＝____a____b____(a≥0，b≥0)；
a ＝ a (a≥0，b>0)．பைடு நூலகம்
b
b
知识点解析：
二次根式的有关概念
1．二次根式的加减：先将二次根式化成__最__简__二__次__根__式______，再将___被__开__方__数__相__同______的二次根式进行合并．

初三数学二次根式知识点学习讲解

初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式；2.二次根式的运算。

二、知识点讲解二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

注意被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是±i。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示。

6. 当a≥0时，（）22；（）2与2中a取值范围是整个复平面。

7. （）2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。

分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

中考数学(人教版)总复习课件：第4课时二次根式

答案:(1)B (2)C
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
答案:1
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
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答案:-1≤x<2
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
答案:B
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
解析:(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式,C选项中的被开方数中含开得尽方的因数,D选项中的被开方数中含有分母,故B 选项正确;
考点四二次根式的运算
1.二次根式的加减法合并同类二次根式:在二次根式的加减运算中,把几个二次根式化为最简二次根式后,若有同类二次根式,则可把同类二次根式合并成一个
答案:A 答案:B
考点梳理自主测试
基础自主导学
答案:C 答案:12 答案:11
命题点5 二次根式的非负性
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
第4课时二次根式
考点梳理自主测试
基础自主导学
考点梳理自主测试
基础自主导学
考点三最简二次根式、同类二次根式
1.最简二次根式的概念:我们把满足被开方数不含分母,被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.

2024年中考数学一轮专题课件：第4讲+二次根式

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知识点5 二次根式的运算
例5 （2023·大连中考）下列计算正确的是( D )
A. 2 0 = 2
B.2 3 + 3 3 = 5 6
C. 8 = 4 2
D. 3 2 3 − 2 = 6 − 2 3
思路分析根据零指数幂、二次根式的加法、二次根式的性质以及二次根
式的混合运算法则逐一判断。
易混淆点二次根式的两个性质
性质1： a 2 = a a ≥ 0 ;
性质2：
a2 =∣ a ∣=
a a≥0 , −a a < 0 。
区别：（1）运算顺序不同： a 2先开方再平方， a2先平方再开方；
（2）取值范围不同： a 2中a为非负数时有意义， a2中a为任意实数都
有意义；（3）结果不同： a2的结果要根据a的取值情况进行分类讨论。
1.二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数
相同的二次根式合并;
2.二次根式的乘法： a ⋅ b = ab a ≥ 0, b ≥ 0 ;
3.二次根式的除法： a =
b
a b
a ≥ 0, b > 0
。
知识点4 二次根式的估算（夹逼法）
二次根式估算的一般步骤：（1）对二次根式进行平方，如 7 2 = 7; （2）找出与平方后所得数字相邻的两个开平方能开得尽的整数，如 4 < 7 < 9; （3）对以上两个整数求算术平方根，如 4 = 2, 9 = 3; （4）确定这个二次根式值的范围，如2 < 7 < 3。
6.（2023·绥化中考）若式子
x+5有意义，则x的取值范围是__x__≥__−_5_且__x__
x
_≠__0__。

【人教版】初中数学九年级知识点总结：21二次根式

【人教版】初中数学九年级知识点总结：21二次根式【人教版】初中数学九年级知识点总结：21二次根式【人教版】初中数学九年级知识点总结：21二次根式【编者按】二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础。

对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2.了解最简二次根式的概念；3.理解并掌握下列结论：1）是非负数；（2）；（3）；4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

一．知识框架二．知识概念1.二次根式定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a≥0时，√ā表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）2.二次根式概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。

√ā（a≥0）是一个非负数。

其中，a叫做被开方数。

3.二次根式√ā的简单性质和几何意义（1）a≥0;√ā≥0[双重非负性]（2）（√ā） =a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] （3)c=√a +b 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。

4.二次根式的乘法和除法(1)积的算数平方根的性质√ab=√a√b（a≥0，b≥0）(2)乘法法则√a√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

(3)除法法则√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。

(4)有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

九年级数学二次根式4(PPT)3-3

一、复习方法：
点
线
面
1、全章复习：概念、性质、公式、运算。
2、按章节复习：概念、性质、公式、运算。
或者吃发绿的马铃薯。致死的事件也不是突发的，当事人在食用后往往是起初虚弱无力，而后陷入昏迷。不用担心偶尔吃到的绿色马铃薯片，但一定要把长了绿芽或表皮变绿了的马铃薯扔掉，不要再去烧煮食用，特别要小心别给儿童吃。 [] 马铃薯含有一些有毒的生物碱，主要是茄碱和毛壳霉碱，但一般经过℃ 的高温烹调，有毒物质；炒股入门炒股入门；就会分解。野生的马铃薯毒性较高，茄碱中毒会导致头痛、腹泻、抽搐，昏迷，甚至会导致死亡。但一般栽培的马铃薯毒性很低，很少有马铃薯中毒事件发生。栽培马铃薯一般含生物碱低于.毫克/克，一般超过毫克才会导致中毒现象，相当于一次吃掉.公斤生马铃薯。马铃薯储存时如果暴露在光线下，会变绿，同时有毒物质会增加；发芽马铃薯芽眼部分变紫也会使有毒物质积累，容易发生中毒事件，食用时要特别注意。 [] 马铃薯（土豆）发芽后可产生较高的有毒生物碱——龙葵素（Solanine），食后可引起中毒。马铃薯中龙葵素的一般含量为～mg/g，如发芽、皮变绿后可达～mg/g，能引起中毒。龙葵素在幼芽及芽其部的含量最多。当食入.～.g龙葵素时，就能发生严重中毒。 [] 孕妇经常食用生物碱含量较高的薯类，蓄积在体内就可能导致胎儿畸形。当然，人的个体差异相当大，并非每个人食用了薯类都会发生异常，但是孕妇还是以不吃或少吃薯类为好，特别是不吃长期贮存、发芽的薯类，这一点对处于妊娠早期的妇女来说尤其重要。 [] 中毒原因引起发芽马铃薯中毒的主要原因是由于马铃薯贮藏不当，使其发芽或部分变黑绿色，烹调时又未能除去或破坏龙葵素，食后便发生中毒。 [] 中毒症状症状因服用量的多少表现轻重不一。主要表现如下，食后几小时内发病。口腔内有烧灼和痒感、畏光、头痛、头晕、发热、呕吐、腹痛、腹泻、耳鸣等，进一步加重可能出现血压下降、烦躁不安、抽搐、呼吸困难、昏迷、瞳孔散大等。 [] 急救措施 ①用筷子等刺激咽部催吐。多饮白水或糖水。 [] ②可服浓茶或喝些醋以分解龙葵素。 [] ③口服诸如：硫酸钠、硫酸镁等泻导泻。 [] ④ 病情严重者，急送医院。 [] 预防措施 ①不吃未成熟的青皮马铃薯。对于马铃薯上已经出现发芽、发青的部位或腐烂的部分要彻底清除。如果马铃薯的发青面积较大，发芽部位也很多，就不能够再食用了。 [] ②去皮后的马铃薯要切成块、片或丝，放在冷水中浸泡，要泡半小时以上，能够使残存的茄碱充分溶解在水中，减少毒素的残留。 [] ③利用茄碱弱碱性的特点，可以在烧马铃薯时放一些米醋，能

人教版九年级数学下册中考知识点梳理-第4讲二次根式

例：计算：＝ .
4.二次根式的乘除法
（1）乘法： · = (a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计算：＝1； 4.
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
(2)两个重要性质：
①( )2＝a(a≥0)；② ＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝ · (a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14；＝2；
=；=2；
知识点二：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
第4讲二次根式
一、知识清单梳理
知识点一：二次根式
关式的概念：形如 (a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即 ≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如 + =0，则a=-1，b=1.

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第 4 讲二次根式
一、知识清单梳理知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如 a(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0. （3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整
bb
24 =；=2 ；
4 9
42 93
知识点二：二次根式的运算
3.二次根式的
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
例：计算：
2
8
32 ＝ 3 2 .
加减法
4.二次根式的
乘除法
（1）乘法：（2）除法：
a · b = ab (a≥0，b≥0)；
a = a (a≥0，b＞0)．
b
式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为 0，被开方数大于等
1
于 0 等.例：若代数式
有意义，则 x
x 1
的因数或因式双重非负性解题：（1）值非负:当多个非负数的和为 0 时，可得
①被开方数是非负数，即 a≥0；
各个非负数均为 0.如 a 1 + b 1
②二次根式的值是非负数，即 a ≥0.
=0，则 a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同
2.二次根式
的性质
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
时出现在二次根式的被开方数下时，可得
这一对相反数的数均为 0.如已知 b=
a 1 + 1 a ,则 a=1,b=0.
(2)两个重要性质：
①(
a)2＝a(a≥0)；②
a2＝|a|＝
a a
a a
0 0
；
例：计算：
3.142 ＝3.14； 22 ＝2；
(3)积的算术平方根： ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)； (4)商的算术平方根： a a (a≥0，b＞0)．
b
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计算： 3 2 ＝1； 32 32 4.
23
22
5.二次根式的
混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
例：计算：( 2 +1)( 2 -1)= 1 .

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