极点极线及高中圆锥曲线必备公式

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等优秀内容.

极点极线

定义 已知圆锥曲线С: Ax +By

+Cx+Dy+E=0与一点P(x 0,y 0) [其中

A +B

≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L:

A ∙x 0x+

B ∙y 0y+

C ∙

x 0+x 2+D ∙

y 0+y 2

+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.

即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x ，以x 0+x

2

替换x ，以y 0y 替换y

,以y 0+y 2

替

换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L. 特别地：

(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；

(2)对于椭圆x

a

+

y

b

=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为

x0x

a

+

y0y

b

=1 ；

(3)对于双曲线x

a

-

y

b

=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为

x0x

a

-

y0y

b

=1 ；

(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x) ；

性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部

．．．．．．．．．．．

]:

①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=

(x 0-a)+(y 0-b)

；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x 0x a +y 0y b =

x 0

a

+

y 0b

；若

是双曲线,则此时中点弦的方程为x 0x a -y 0y b =x 0a -y 0

b ；若是抛物线,则此时中点弦

的方程为y 0y-p(x 0+x)=y 0-2px 0)；

④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；

⑤极点极线的对偶性:

Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P ,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．Pn ．．与直线．．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．

]；

Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与直线．．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点．．．．．极线．．

] ；

Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有:

1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则

OP∙OQ=OR即OP

OR

=

OR

OQ

椭圆如图

双曲线如图

2)若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR 如图

中学数学中极点与极线知识的现状与应用

虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破

而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆x

a

+

y

b

=1的焦点的极

线方程为: x=a

c

.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线

的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.

圆锥曲线基础必备

极点极线例题

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