2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)

–４ –３ –２ –１ O 1 2 3 4
–１
C
–２
–３
–４
（15） (a x)(1 x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a __________． 【答案】 3 【解析】由已知得 (1 x)4 1 4x 6 x2 4x3 x4 ，故 (a x)(1 x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项
2015 年高考全国卷 2 理科数学 试题及答案解析 （ word 精校版）
注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的
姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
“更相减损术 ”。执行该程序
A.0
B.2
【答案】 B
【解析】程序在执行过程中，
C.4
D.14
a ， b 的值依次为 a 14 ， b 18； b 4 ； a 10 ； a 6 ； a 2 ；
b 2 ，此时 a b 2 程序结束，输出 a 的值为 2，故选 B ．
（9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠ AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥
22．（本小题满分 10 分）
A
选修 4 - 1：几何证明选讲
如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， ⊙O 与 ΔABC 的
底边
BC 交于 M ， N 两点，与底边上的高 AC 分别相切于 E， F 两点。
（ 1）证明： EF ∥BC；
AD 交于点 G，且与
G E
AB ， F
（ 2）若 AG 等于⊙O 的半径，且 AE MN 2 3 ，求 形 EBCF 的面积。
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
（1） 已知集合 A= ｛ -2， -1,0， 1,2｝，B= ｛ x|（X-1 ）（ x+2）＜ 0｝ ,则 A∩B= （ ） （A ）｛--1,0｝ （ B）｛ 0,1｝ （ C）｛ -1,0,1 ｝ （ D ）｛ ,0,， 1， 2｝
32
6
S 4 R2 144 ，故选 C．
C
O
A
B
10.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2 ，BC=1 ， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ， CD 与 DA 运动， 记∠ BOP=x ．将动点 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（ x），则 f （x）的图像大致为
源自文库
BM
O
四边
D
NC
23．（本小题满分 10 分）
选修 4 - 4：坐标系与参数方程
x t cos
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：
（ t 为参数， t ≠0），其中 0 ≤α< π，在以 O 为极点，
y t sin
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ， C3： 2 3cos 。 （ 1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标； （ 2）若 C1 与 C2 相交于点 A， C1与 C3 相交于点 B，求 | AB | 的最大值。
不低于 90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间 C： “Ａ地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”。假设两地区用户的评价结果
相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求
C 的概率
19．（本小题满分 12 分） 如图，长方体 ABCD —A1B1C1D1 中，AB = 16，BC = 10，
xf ' (x) f (x)
x2
，因为当 x
0 时 ， xf '( x)
f ( x)
0，故当
x 0 时， g ' (x) 0 ，所以 g( x) 在 (0, ) 单调递减；又因为函数 f (x)( x R) 是奇函数，故函数
g( x) 是 偶 函 数 ， 所 以 g( x) 在 ( ,0) 单 调 递 减 ， 且 g( 1) g(1) 0 ． 当 0 x 1 时 ，
1
【答案】
2
【解析】因为向量 a b 与 a 2b 平行，所以 a b （k a 2b），则
k，
所以
1
．
1 2k,
2
（14）若 x， y 满足约束条件
x y 1 0， x 2 y 0, ，则 z x y 的最大值为 ____________ ． x 2 y 2 0,
【答案】 3 2
4y
3
2
B
1
D
x
O-ABC 体积的最
大值为 36，则球 O 的表面积为
A ． 36π B.64 π C.144 π D.256 π 【答案】 C
【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O ABC 的体积最大，设球
O 的半径为 R ，此时 VO ABC VC AOB 1 1 R2 R 1 R3 36 ，故 R 6 ，则球 O 的表面积为
（A） 1 8
【答案】 D
1
（ B）
7
1
（C）
6
1
（D）
5
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1 ，如图所示， ，设正
方体棱长为 a V ，则 A A1B1D1
1 3
分体积与剩余部分体积的比值为
1 a3 2
1． 5
1 a 3 ，故剩余几何体体积为 6
mx
e
2
x
mx 。
（ 1）证明： f ( x) 在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增；
（ 2）若对于任意 x1 , x2 [ 1,1]，都有 | f (x1) f ( x2 ) | e 1 ，求 m 的取值范围。
请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写 清题号
g( x) 0 ，则 f (x) 0 ；当 x 的 x 的取值范围是 ( , 1) (0,1) ，故选 A．
1时， g (x) 0 ，则 f ( x) 0 ，综上所述，使得 f ( x) 0 成立
二、填空题
（13）设向量 a ， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数
_________．
1
Sn 1 Sn
1 ，故数列
1 是以 1 为首项， 1 为公差 的等差数列，则 1
Sn
Sn
1 (n 1) n ，所以 Sn
1
．
n
三．解答题
（17） ?ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC ， ? ABD 是 ?ADC 面积的 2 倍。
sin B
(Ⅰ)求
;
sin C
(Ⅱ) 若 AD =1， DC = 2 求 BD 和 AC 的长 . 2
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的
平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）
；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于 70 分
70 分到 89 分
(18) 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 产品的满意度评分如下：
A ， B 两地区分别随机调查了
A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
20 个用户，得到用户对
B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
a3 1 a3 6
5 a3 ，所以截去部 6
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
（7）过三点 A（ 1,3）， B（ 4,2）， C（ 1,-7）的圆交于 y 轴于 M 、N 两点，则 MN =
（A）2 6
【答案】 C
（B）8
（ C）4 6
（D ） 10
（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a=
（4）等比数列｛ an｝满足 a1=3， a1 a3 a5 =21，则 a3 a5 a7 (
)
（ A ） 21 【答案】 B
（ B） 42
（ C） 63
（ D） 84
（5）设函数 f (x)
1 log 2(2
x), x
1, , f ( 2)
2x 1, x 1,
f (log 2 12)
(
)
（A）3
（B）6
（C）9
（D ） 12
【答案】 C
【解析】由已知得 f ( 2) 1 log 2 4 3 ，又 log 2 12 1，所以 f (log 212) 2 log212 1 2log 2 6 6 ，
故
f ( 2) f (log 2 12) 9 ．
（ 6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为
【答案】 D
（12）设函数 f ’(x是) 奇函数 f (x)( x R) 的导函数， f（ -1）=0 ，当 x 0 时， xf ' ( x) f (x) 0 ， 则使得 f ( x) 0 成立的 x 的取值范围是
（A ）
（B）
（C） 【答案】 A 【解析】
记 函 数 g( x)
（D ）
f ( x) ， 则 g ' ( x) x
【答案】 B
的运
动过程可以看出，轨迹关于直线 x 对称，且 f ( ) f ( ) ，且轨迹非线型，故选 B．
2
4
2
（11）已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ? ABM 为等腰三角形，且顶角为
则 E 的离心率为
（A ）√5 （B）2
（ C） √3 （ D） √２
120°，
D1 F
= 8 ，点 E，F 分别在 A1B1， D1C1 上， A1E = D1F = 4 ，过点
的平面 α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （ 1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）
； A1 E
（ 2）求直线 AF 与平面 α所成的角的正弦值。 D
A
C1
AA1
E，F
B1 C
B
20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C：9 x2 y 2 m2 (m 0) ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，
【答案】 A
【解析】由已知得 B x 2 x 1 ，故 A B 1,0 ，故选 A
（2）若 a 为实数且（ 2+ai ）（ a-2i ）=-4i, 则 a=（
）
（ A ） -1 【答案】 B
（B） 0 （C）1 （D）2
（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不
正确的是 (
)
（A ） 逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 （C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】 D 【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相 关．
B，线段 AB 的中点为 M 。 （ 1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （ 2）若 l 过点 ( m , m) ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能， 3
求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。
21．（本小题满分 12 分）
设函数 f (x)
24．（本小题满分 10 分） 选修 4 - 5：不等式选讲 设 a，b， c， d 均为正数，且 a + b = c + d，证明：
（ 1）若 ab > cd；则 a b c d ； （ 2） a b c d 是 | a b | | c d | 的充要条件。
附：全部试题答案
分别为 4ax ， 4ax3 ， x ， 6x3， x5 ，其系数之和为 4a 4a 1+6+1=32，解得 a 3 ．
（16）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1 ， an 1 SnSn 1，则 Sn ________．
【答案】 1 n
【解析】由已知得
an 1
Sn 1 Sn
1 Sn 1 Sn ，两边同时除以 Sn 1 Sn ，得