数学思想方法割补法第1课
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容易知道
AF
A
6 a 3
B F C E
D
6 r a. 12
图3-3
评析：本题所采取的解题方法为分割法.分割的点在几何体
内部，这也是本题的难点所在.分割后主要利用部分与整体
的关系来解决问题.实际并没பைடு நூலகம்分割几何体，只是利用了分
割的方法.
谢谢！
a 2 解得 b 1 c 3
VP ABC
1 1 1 abc 4 abc abc 1 2 3 2 6 3 3
评析：本题所采取的解题方法为补形法.难点在于如何利用
“对棱相等”这一特点，不拘泥于在所给几何体求体积，
联想长方体大胆构造，通过将对棱相等的三棱锥补形成长
中学数学解题思想方法--割补法 第一讲：补形与分割 主讲人 姜国
对外经济贸易大学附属中学
普通高中《数学课程标准》中指出：学生能从空间几何体的 整体观察入手，认识空间图形，了解一些简单几何体体积的计算 方法.割补法就是在求简单几何体的体积中常用的解题方法. 立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、 不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简单的、 规则的、易于认识的几何体，从而解决问题的一种解题方法. 通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联 系，提高空间想象能力.割补法的运用蕴含了一种构造的思想方 法，反映了对立、统一的辩证思想.本专题将从“补形”、“分 割”和 “割补的灵活应用”三个方面进行阐述.本讲着重从前两 个方面进行讲解.
解： 将多面体 ABCDEF 分割成如图2-2所示的直三棱柱 和两个三棱锥，因此 1 1 V多面体ABCDEF VADG BCH VE ADG VF BCH SADG AB SADG EG SBCH FH 3 3
1 1 1 1 SADG AB SADG EG SADG FH SADG ( AB EG FH ) 3 3 3 3 G E 4 4 1 2 2 S ADG = 1 3 3 2 2 3
F
D
C
A
B
图2-1
分析 题中所给多面体是一个不规则多面体，一般我们可以考虑 把这类问题转化为用规则的几何体之和差来求解.考虑到题目中 给出的四边形 ABCD 为正方形，因此我们可以考虑在图中截成 一个直三棱柱和两个三棱锥，如图2-2所示，
从而借助常用的三棱柱和三棱锥的 体积计算.
E
G
H
F
D
C
A
B
图2-2
图3-2
C
解：
设正四面体内切球的球心为 O ，内切球的
半径为 r ，连结 OA, OB, OC , OD, 如图3-2所示，则
V正四面体 =4VO BCD
A
O B D
图3-2
C
设顶点 A 到底面的高为 AF ，因此
1 1 V正四面体 = S BCD AF , VO BCD = S BCD r , 3 3 1 r = AF 4
方体，匠心独具，极大地降低了计算量.类似地，可以将正
四面体补形成正方体，将三条棱互相垂直的三棱锥补形成
长方体或正方体求三棱锥的体积.
例2
如图2-1,在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为
1的正方形，且 ADE, BCF 均为正三形，EF
则该多面体的体积为 ________.
E
EF 2 / / AB，
例1
已知如图1-1所示，三棱锥 P ABC 的每相对的两条棱
, 13 ，求三棱锥 P ABC 的体积. 相等，棱长分别为 5，10，
P
A C B
图1-1
分析 一般地如果按常规求法需求三棱锥的底面积和对应高， 而高很难求出.因此需要我们重新审视条件寻找其他解决问题 的途径.由已知三组相对的棱相等这一特点，联想长方体对面 不平行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥，因此可以把三棱 锥 P ABC 补成长方体，如图1-2所示，
D
H
F
C
A
B
图2-2
评析： 本题所采取的解题方法称为分割法.我们通过从几何
体外部进行分割入手，将所给不规则的几何体分割成规则的
几何体——三棱柱和两个三棱锥，从而达到分割求和的目的.
例3
求棱长为 a 的正四面体内切球的半径.
A
D B
C
图3-1
分析
要想求出内切球的半径必须知道球心的位置，而球心
的位置比较难找.我们不妨假设球心为 O ,连结 OA, OB, OC , OD,
P
C
A B
图1-2
长方体可以看成由三棱锥 P ABC 和四个相同 体积的易于计算的三棱锥组成.
解： 设补成的长方体的三度分别为 a，b,c ， 则 V长方体 =abc ，由题意得
a 2 b 2 ( 5) 2 2 2 2 b c ( 10) 2 2 2 c a ( 13)
这样我们就把正四面体分割成四个全等的三棱锥如图3-2所示，
A
O B D
图3-2
C
O 到正四面体各个面的距离就是内切球的
半径.因此 V正四面体 =4VO BCD ,不难看出正四
A
面体和三棱锥 O BCD 共底面 BCD ，所以
1 我们只要求出正四面体的高，它的 即 4
B
O D
为内切球的半径.
AF
A
6 a 3
B F C E
D
6 r a. 12
图3-3
评析：本题所采取的解题方法为分割法.分割的点在几何体
内部，这也是本题的难点所在.分割后主要利用部分与整体
的关系来解决问题.实际并没பைடு நூலகம்分割几何体，只是利用了分
割的方法.
谢谢！
a 2 解得 b 1 c 3
VP ABC
1 1 1 abc 4 abc abc 1 2 3 2 6 3 3
评析：本题所采取的解题方法为补形法.难点在于如何利用
“对棱相等”这一特点，不拘泥于在所给几何体求体积，
联想长方体大胆构造，通过将对棱相等的三棱锥补形成长
中学数学解题思想方法--割补法 第一讲：补形与分割 主讲人 姜国
对外经济贸易大学附属中学
普通高中《数学课程标准》中指出：学生能从空间几何体的 整体观察入手，认识空间图形，了解一些简单几何体体积的计算 方法.割补法就是在求简单几何体的体积中常用的解题方法. 立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、 不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简单的、 规则的、易于认识的几何体，从而解决问题的一种解题方法. 通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联 系，提高空间想象能力.割补法的运用蕴含了一种构造的思想方 法，反映了对立、统一的辩证思想.本专题将从“补形”、“分 割”和 “割补的灵活应用”三个方面进行阐述.本讲着重从前两 个方面进行讲解.
解： 将多面体 ABCDEF 分割成如图2-2所示的直三棱柱 和两个三棱锥，因此 1 1 V多面体ABCDEF VADG BCH VE ADG VF BCH SADG AB SADG EG SBCH FH 3 3
1 1 1 1 SADG AB SADG EG SADG FH SADG ( AB EG FH ) 3 3 3 3 G E 4 4 1 2 2 S ADG = 1 3 3 2 2 3
F
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C
A
B
图2-1
分析 题中所给多面体是一个不规则多面体，一般我们可以考虑 把这类问题转化为用规则的几何体之和差来求解.考虑到题目中 给出的四边形 ABCD 为正方形，因此我们可以考虑在图中截成 一个直三棱柱和两个三棱锥，如图2-2所示，
从而借助常用的三棱柱和三棱锥的 体积计算.
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图2-2
图3-2
C
解：
设正四面体内切球的球心为 O ，内切球的
半径为 r ，连结 OA, OB, OC , OD, 如图3-2所示，则
V正四面体 =4VO BCD
A
O B D
图3-2
C
设顶点 A 到底面的高为 AF ，因此
1 1 V正四面体 = S BCD AF , VO BCD = S BCD r , 3 3 1 r = AF 4
方体，匠心独具，极大地降低了计算量.类似地，可以将正
四面体补形成正方体，将三条棱互相垂直的三棱锥补形成
长方体或正方体求三棱锥的体积.
例2
如图2-1,在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为
1的正方形，且 ADE, BCF 均为正三形，EF
则该多面体的体积为 ________.
E
EF 2 / / AB，
例1
已知如图1-1所示，三棱锥 P ABC 的每相对的两条棱
, 13 ，求三棱锥 P ABC 的体积. 相等，棱长分别为 5，10，
P
A C B
图1-1
分析 一般地如果按常规求法需求三棱锥的底面积和对应高， 而高很难求出.因此需要我们重新审视条件寻找其他解决问题 的途径.由已知三组相对的棱相等这一特点，联想长方体对面 不平行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥，因此可以把三棱 锥 P ABC 补成长方体，如图1-2所示，
D
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F
C
A
B
图2-2
评析： 本题所采取的解题方法称为分割法.我们通过从几何
体外部进行分割入手，将所给不规则的几何体分割成规则的
几何体——三棱柱和两个三棱锥，从而达到分割求和的目的.
例3
求棱长为 a 的正四面体内切球的半径.
A
D B
C
图3-1
分析
要想求出内切球的半径必须知道球心的位置，而球心
的位置比较难找.我们不妨假设球心为 O ,连结 OA, OB, OC , OD,
P
C
A B
图1-2
长方体可以看成由三棱锥 P ABC 和四个相同 体积的易于计算的三棱锥组成.
解： 设补成的长方体的三度分别为 a，b,c ， 则 V长方体 =abc ，由题意得
a 2 b 2 ( 5) 2 2 2 2 b c ( 10) 2 2 2 c a ( 13)
这样我们就把正四面体分割成四个全等的三棱锥如图3-2所示，
A
O B D
图3-2
C
O 到正四面体各个面的距离就是内切球的
半径.因此 V正四面体 =4VO BCD ,不难看出正四
A
面体和三棱锥 O BCD 共底面 BCD ，所以
1 我们只要求出正四面体的高，它的 即 4
B
O D
为内切球的半径.