浅谈二次型及其应用1

目录

摘要 (1)

引言 (2)

1.二次型的相关定义及定理 (3)

2.二次型的应用 (6)

2.1在二次曲线中的应用 (6)

2.2在证明不等式中的应用 (7)

2.3在求极值中的应用 (8)

2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用 (10)

2.5在多项式因式分解中的应用 (10)

参考文献 (12)

致谢 (13)

浅谈二次型及其应用

摘要：二次型是高等代数的重要内容之一，通过研究二次型的结构及性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方法化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用.

关键词：二次型；正定矩阵；非退化线性替换；标准型；正交变换

A Talk about Quadric Form and Its Application

Abstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And compared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the second type of the application of the knowledge in the calculus.

Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation

引言

高等代数与初等代数的联系是密不可分的，在中学数学中，不等式的证明、求极值及因式分解问题都是重点问题.用初等数学方法去处理这些问题往往会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决，则会是很多问题化繁为简.用二次型来解决微积分中的一些问题，有时也会起到意想不到的效果.

由于二次型具有较高的综合性和抽象性，对于相当一部分非数学专业的学生来说，虽然能够按照化二次型为标准型的步骤将一个普通二次型化为标准型，但是仍然无法建立起二次型的直观概念，很多学生很疑惑：二次型到底是什么？它有什么几何意义？在化二次型为标准型时使用的正交变换和配方法有什么区别？二次型的标准形有什么用？等等这些问题我们将一一解决.

1.二次型的相关定义及定理

二次型从本质上来说仍然是一个关于n 个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中出了平方项就是交叉项，没有一次项和常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为: /f X AX = 定义1.1 每个n 元二次型/12(,,)

n f x x x X AX ， /12(,,

)n X

x x x 都可唯一地

表成/12(,,

)n f x x x X AX =, 其中/12(,,)n X x x x =，A 为对称阵，

称为二次型f 的矩阵，A 的秩称为f 的秩.

定义1.2 实二次型/f X AX = (A 为实对称阵，/12(,,

,)n X x x x =），若对于任意

的0x ≠，皆有0(0,)f f f o >≥≤，则称f 为正定（半正定，半负定）二次型，若既f 不是半正定也不是半负定的，则称f 为不定二次型. 定理1.1 实二次型/12(,,,)n f x x x X AX = (A 为实对称阵）为正定二次型的充

分必要条件为 1）12(,,

,)n f x x x 的正惯性指数为n ;

2) A 的各阶顺序主子是都大于零; 3) A 与单位矩阵合同； 4）A 的特征值全大于零； 5）A 的主子式全大于零； 6）存在可逆的B ，使得/A BB =. 定理1.2 实二次型 /12(,,,)n f x x x X AX = /()A A =为半正定的充要条件为

1）12(,,

,)n f x x x 的正惯性指数与秩相等；

2）A 的各阶主子式大于或等于零； 3）A 的特征值全大于等于零；

4）A 的正惯性指数p r =，负惯性指数0q =;

5)与A 矩阵000r

E

⎛⎫

⎪⎝⎭

合同，秩A r =. 定理1.3 实二次型/12(,,,)n f x x x X AX =可经过变量的正交变换Y QX = (Q 为

正交阵）化为:

22

2

1122n n f y y y λλλ=++

+ ((1,2,

,)i i n λ=是矩阵A 的全部特征值）.

定理1.4 设n 元二次型/

f X AX =，则f 在条件21

1n

i i x ==∑下的最大（小）值恰为

矩阵A 的最大（小）特征值.

定理1.5一个实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式乘积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1.

下面，我们来讨论论一般的n 元二次型极值的判定和求极值的一般方法. 一般的n 元二次型多项式形如

11

1

2n

n

n

ij i j i i i j i a x x b x c ===++∑∑∑ （1）

显然（1）存在极值当且仅当

11

12n

n

n

ij i j i i i j i a x x b x ===+∑∑∑ （2）

存在极值（上述两式中ij ji a a =），易见11

n

n

ij i j i j a x x ==∑∑是一个n 元二次型，设其矩阵

为A ，我们有:

定理1.6实元n 二次型（2），它的前一个和的矩阵为A ,秩为r ,则对二次型做非退化线性替换X PY =,使得/PAP 为对角阵，如:

1、〈1〉A 正定，r n =,且（2）中一次项系数不全为零，则（2）存在极值； 〈2〉半A 正定，若r n <,一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极小值；

〈3〉半A 正定，若r n <,一次项所含新变数至少有一个不在平方项中出现，则（2)不存在极值；

2、〈1〉A 负定，r n =,且一次项系数不全为零，则（2）有极大值；