相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线

在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“A”“X”型

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC

变式练习：

已知在△ABC中，AD是∠BAC

的平分线．求证：．

（本题有多种解法，多想想）G

F

E

D C

B

A

G

F

E

D C

B

A

CD

BD

AC

AB

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若

DC BD ＝

FA

FC

=2,求BE:EA 的比值.

变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE

ED =2,求BE:EA 的比

值.

例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF

变式1、如图，△ABC 中，AB

A

C

F

E

B D A

C

F

E

B D E

D

C

B

A

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长.

变式：如图，21==DE AE CD BD ，求

BF

AF

。（试用多种方法解）

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结：

（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。

（2）引平行线应注意以下几点：

1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

A B C

E

F

A B C

E

F

A B C

E

F

A B C

E

F

专题二、作垂线构造相似直角三角形

一、基本图形

例1、理由？（用多种解法）

v

变式练习：平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2

例2、如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB 于G，求证：FG2=CF•BF

A B

C

A

B

D

E

F

A B

C

D

E

F

【练习】

1．如图，一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D ，E ，F 。求证：若

CF

BF

EC AE

，则D 是AB 的中点。

2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，求DF ：FE 的值。

3.已知：AM ：MD=4：1，BD ：DC=2：3，求AE ：EC 。

4、 如图，的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC

延长线相交于F ，求证：

A B C D E

F

A

B C D

M E

B

D

A C

F

E