高考数学专题复习数形结合思想

高考冲刺：数形结合
编稿：林景飞审稿：张扬责编：辛文升
热点分析
高考动向
数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。

高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。

数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。

历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华
数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。

它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。

但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。

1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则。

要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；
（2）双方性原则。

既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分
析容易出错；
（3）简单性原则。

不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；
二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变
量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：
（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；
（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；
（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。

4．常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；
（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；
（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜
率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予
以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：
主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.
经典例题透析
类型一：利用数形结合思想解决函数问题
1．(2010全国Ⅰ·理)已知函数，若，且，则a+2b的取值范围是
A．B．C．D．
解析：画出的示意图.
由题设有，
，
∴，
令，
则，
∵，∴.
∴在上是增函数.
∴.选C.
举一反三：
【变式1】已知函数在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示：
（1）（2）（3）（1）当a＜0时，如图（1）所示，
当x=0时，y有最大值，即。

∴1―a=2。

即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，
当x=a时，y有最大值，即。

∴a2―a+1=2，解得。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即。

∴a=2。

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2
【变式2】已知函数。

（Ⅰ）写出的单调区间；
（Ⅱ）设，求在[0，a]上的最大值。

解析：
如图：
（1）的单调增区间：，；单调减区间：（1，2）
（2）当a≤1时，
当时，
当，。

【变式3】已知()
（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；（2）当，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,
]时，都
有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。

解析：
（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；
若a≠0，假设，
∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，
∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，
（这是不可能的）
（2）当，时，，∵，所以，
（图1）（图2）
(1)当即，时（如图1），则
所以是方程的较小根，即
(2)当即，时（如图2），则
所以是方程的较大根，即
（当且仅当时，等号成立），
由于，
因此当且仅当时，取最大值
类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题
2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。

解析：画出和的图象，
当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线与曲线相切时，二者只有一个交点，
设切点，则，即，解得切点，
又直线过切点，得，
∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。

总结升华：
1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两
个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.
举一反三：
【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围
是。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）
如图：当或时，关于x的方程在（－1，1）内有1个实根。

【变式2】若0＜θ＜2π，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和。

解析：将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。

设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知，当或时，y1与y2的图象有两个不同交点，
即对应方程有两个不同的实数根，
若，设原方程的一个根为，则另一个根为.
∴.
若，设原方程的一个根为，则另一个根为
，
∴.
所以这两个实根的和为或.
且由对称性可知，这两个实根的和为或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答
3．(北京2010·理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点
的轨迹方程是，则函数的最小正周期为________；在其两个相邻
零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.
解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，
使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.
（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；
（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x 轴上，
顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；
（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x 轴上，为点，
它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点.
∴函数的周期为4.
相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、
半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是
.
举一反三：
【变式1】已知圆C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点。

（1）求的最大、最小值；
（2）求的最大、最小值；
（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）表示点（x，y）与原点的距离，
由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。

∴|OC|=2。

的最大值为2+r=2+1=3，
的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：
将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，
所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，
当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，
最值必在直线与圆C相切时取得。

这时，
∴。

∴x―2y的最大值为，最小值为。

【变式2】求函数的最小值。

解析：
则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和
如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），
则即为P到A，B距离之和的最小值，∴
【变式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是（）
A．B．或C．D．
或
解析：如图
由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，
则，即
下面利用线性规划的知识，则可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的斜率
则，选C。