高考数学专题复习数形结合思想

高考冲刺：数形结合

编稿：林景飞审稿：张扬责编：辛文升

热点分析

高考动向

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。

1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：

（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；

（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；

（3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；

（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。

4．常见的“以形助数”的方法有：

（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；

（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予

以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.

经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题

1．(2010全国Ⅰ·理)已知函数，若，且，则a+2b的取值范围是

A．B．C．D．

解析：画出的示意图.

由题设有，

，

∴，

令，

则，

∵，∴.

∴在上是增函数.

∴.选C.

举一反三：

【变式1】已知函数在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵，

∴抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示：

（1）（2）（3）（1）当a＜0时，如图（1）所示，

当x=0时，y有最大值，即。

∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，

当x=a时，y有最大值，即。

∴a2―a+1=2，解得。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即。∴a=2。

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【变式2】已知函数。

（Ⅰ）写出的单调区间；

（Ⅱ）设，求在[0，a]上的最大值。

解析：

如图：

（1）的单调增区间：，；单调减区间：（1，2）

（2）当a≤1时，

当时，

当，。

【变式3】已知()

（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；（2）当，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,

]时，都

有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。

解析：

（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，

∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，

∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，

（这是不可能的）

（2）当，时，，∵，所以，

（图1）（图2）

(1)当即，时（如图1），则

所以是方程的较小根，即

(2)当即，时（如图2），则

所以是方程的较大根，即

（当且仅当时，等号成立），

由于，

因此当且仅当时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题