同济大学微积分第三版课件第一章第一节
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微积分第一章第一节课件
微积分的重要性
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分第三版第一章
三、函数的表示法
1. 表格法 2. 图像法 3. 解析式法
自变量的值与对应的函数值列成表格 的方法 在坐标系中用图形来表示函数关系的 方法 将自变量和因变量之间的关系用
数学表达式(又称为解析表达式 来表示的方法 数学表达式 又称为解析表达式)来表示的方法 又称为解析表达式 来表示的方法.
根据函数的解析表达式的形式不同, 根据函数的解析表达式的形式不同 函数也可 分为以下三种: 分为以下三种
( a , b] = { x a < x ≤ b}
o
a
b
x
[a , b ) = { x a ≤ x < b}
o a
b
x
(4)(a ,+∞ ) = { x x > a }, [a ,+∞ ) = { x x ≥ a }
(5)( −∞ , b ) = { x x < b}, ( −∞ , b] = { x x ≤ b}
δ
x0 − δ
δ
x0
x0 + δ
x
例如 ,0 < x − 1 < 2, 即为以点 x 0 = 1为中心 ,以2为半径 的空心邻域 ( − 1,1) U (1,3).
第 函
三
节 数
一、函数概念 定义1.9 若 D 是一个非空实数集合 , 设有一个对应规则 f , 定义
使每一个 x ∈ D , 都有一个确定的实数 y与之对应 , 则称这 个对应规则 f为定义在 D 上的一个函数关系 , 或称变量 y是 变量 x的函数 , 记作
以 a , b为端点的闭区间 , 记作[a , b], 即
[a , b ] = { x a ≤ x ≤ b}
o
a
《微积分第一讲》课件
积分的运算法则
积分的基本性质
积分具有一些基本的性质，如线性性质、区间 可加性等。
积分运算法则
包括乘积法则、商的积分法则、幂的积分法则 等，这些法则可以用来计算复杂的积分。
积分在实际问题中的应用
积分可以用来解决一些实际问题，如面积与体积的计算、变力做功问题等。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了不定积分与定积分之间的关系，可以将一个复杂 的定积分问题转化为求原函数的问题。
在经济学中，微积分被用 于研究边际效用、成本分 析等。
学习微积分的意义
01
学习微积分有助于培养学生的逻辑思维和数学素养 。
02
微积分在日常生活和工作中也有广泛的应用，掌握 微积分能够更好地解决实际问题。
03
学习微积分还有助于学生更好地理解其他数学分支 ，如线性代数、概率论等PORTING
极限的概念
总结词
极限是微积分的基本概念之一，它描 述了函数在某个点附近的变化趋势。
详细描述
极限描述了当自变量趋近于某个值时 ，函数值的趋近状态。极限的概念是 微积分中研究函数变化规律的基础。
导数的概念
总结词
导数表示函数在某一点处的切线斜率 ，反映了函数在该点附近的变化速率 。
详细描述
学生需要了解微积分的起源、发展历程以及在各个领域的应用，深入理解微积分的概念 和基本原理，如极限、连续性、可导性、积分等。
如何掌握微积分运算规则
总结词
掌握微积分运算规则是学习微积分的核 心，需要掌握各种运算方法和技巧。
VS
详细描述
学生需要掌握微积分的各种运算方法和技 巧，如极限的运算法则、导数的运算法则 、积分的运算法则等，同时还需要理解并 能够应用这些规则解决实际问题。
教学课件微积分第三版
称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
微积分 第3版 第1章 函数
函数 y f ( x) 与 x f 1( y) 的图像是相同的,
与 y f 1( x) 的图像关于直线 y x 对称.
1.4 函数的表示
通常可以用集合, 图表, 数据对应, 图形和解析 表达式等表示函数.
1. 解析表达式 (显函数)
y f ( x) 称为显函数.
2. 分段函数
一个函数在其定义域的不同部分可以有不同 的表达式, 即所谓的分段函数.
y ax (a 1)
特别地，y e x , e 2.718.
第一章 函数
1.1 函数
设D为实数集R的非空子集, 如果对任意的 x D, 都存在唯一的 y R与之对应, 则称y 是x 的一元函数, 可用 y f ( x)表示, 并称 x为自变量, y为因变量.
而定义域就是自变量的取值范围, 值域就是 因变量的取值范围, 分别记为 dom( f )与ran( f ).
如果函数 y f ( x)的定义域D 关于原点对称, 而且 y f (x) 的图形关于y 轴对称, 就称函数 y f (x)为偶函数.
即如果对任意 x D, 都有 f ( x) f ( x),
则称 f ( x) 为偶函数.
3. 周期函数
设 y f ( x)为函数, 如果存在正数T, 使得
2. 奇函数与偶函数
设函数 y f (x)的定义域为D,如果对任意 x D, 都有 x D, 我们就说D关于原点对称.
如果函数 y f ( x)的定义域D关于原点对称, 而且 y f ( x) 的图形关于坐标系原点对称,
就称函数 y f (x)为奇函数. 即如果对任意 x D, 都有 f ( x) f ( x), 则称 f ( x) 为奇函数.
3. 隐函数
如果x I(I为区间), 都存在唯一的 y, 满足方程
与 y f 1( x) 的图像关于直线 y x 对称.
1.4 函数的表示
通常可以用集合, 图表, 数据对应, 图形和解析 表达式等表示函数.
1. 解析表达式 (显函数)
y f ( x) 称为显函数.
2. 分段函数
一个函数在其定义域的不同部分可以有不同 的表达式, 即所谓的分段函数.
y ax (a 1)
特别地，y e x , e 2.718.
第一章 函数
1.1 函数
设D为实数集R的非空子集, 如果对任意的 x D, 都存在唯一的 y R与之对应, 则称y 是x 的一元函数, 可用 y f ( x)表示, 并称 x为自变量, y为因变量.
而定义域就是自变量的取值范围, 值域就是 因变量的取值范围, 分别记为 dom( f )与ran( f ).
如果函数 y f ( x)的定义域D 关于原点对称, 而且 y f (x) 的图形关于y 轴对称, 就称函数 y f (x)为偶函数.
即如果对任意 x D, 都有 f ( x) f ( x),
则称 f ( x) 为偶函数.
3. 周期函数
设 y f ( x)为函数, 如果存在正数T, 使得
2. 奇函数与偶函数
设函数 y f (x)的定义域为D,如果对任意 x D, 都有 x D, 我们就说D关于原点对称.
如果函数 y f ( x)的定义域D关于原点对称, 而且 y f ( x) 的图形关于坐标系原点对称,
就称函数 y f (x)为奇函数. 即如果对任意 x D, 都有 f ( x) f ( x), 则称 f ( x) 为奇函数.
3. 隐函数
如果x I(I为区间), 都存在唯一的 y, 满足方程
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
同济第三版高数(3.1)第一节中值定理同济第三版高数资料
使得曲线在该点处的
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论 定理 拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数 对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题， 而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值 定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点 处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性 质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分 学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成， 它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中 值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些 定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间 内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系 列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起 着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式 不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性， 每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式 的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样 的
曲
线
y f x
弧
没
f a
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论 定理 拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数 对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题， 而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值 定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点 处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性 质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分 学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成， 它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中 值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些 定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间 内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系 列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起 着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式 不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性， 每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式 的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样 的
曲
线
y f x
弧
没
f a
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
同济大学微积分课件 PPT
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
《微积分》(第三版)教学课件 (12)[8页]
![《微积分》(第三版)教学课件 (12)[8页]](https://img.taocdn.com/s3/m/a8822b4d960590c69fc376a5.png)
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A
”
《微积分》(第三版) 教学课件
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定义26(变量的极限)
对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么
一个时刻 在那个时刻以后
|yA|
恒成立 则称变量y在此变化过程中以A为极限 记作 lim yA
说明 (2)如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的
变化过程是x 则定义中 “总存在那么一个时刻” 是指 “总存在一个正数M” “在那个时刻以后” 是指 “当|x|M时” 而 “lim yA” 应为
“ lim f (x) A ” x
《微积分》(第三版) 教学课件
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定义26(变量的极限)
对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么
一个时刻 在那个时刻以后
|yA|
恒成如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的
为具体函数 则不能使用通用记号
《微积分》(第三版) 教学课件
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例 证明lim cc(c为常数) 证 设yc
对任意给定的 0 恒有|yc||cc|0 所以lim cc
结论 “limcc” 表示
对数列 f(n)c 有 lim f (n) lim c c
n
n
对函数 f(x)c 有 lim f (x) lim c c 及lim f (x) lim c c
定理24 如果在某一变化过程中 变量y有极限 则变量y是有界变
量
这个定理说明变量y在某一变化过程中有极限 则变量y 在某时刻后有界 但变量在某一时刻后有界不一定有极限
例如
f (x)1x
x0 x0
在
x0
同济大学微积分第三版课件第一章第一节
• 这个函数称为质点的位置函数. 我们需要确定该动点 •在各个时刻的“速度”（称为瞬时速度）. • 1.匀速运动: 在匀速直线运动中, 我们知道路程与速 •度、时间的关系为
•
•经过的路程 •所化的时间 •这里的速度 是一个常量.
• 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将
•不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段
同济大学微积分第三版课件 第一章第一节
•
•第一节 微积分中的极限方法
•
• 典型问题一 面积问题
• 如图, 求由曲线
. • 解决方法
与 轴围成区域的面积
• 1.将区间 •次为
等分, 分点依
•1
•
• 2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积 •之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
, 动点
•从 移到 , 相应的比值
•
•表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间
•间隔
很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地
•表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
•处 的瞬时速度为
•
• 前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节 中•我们将全面引入各类形式的极限.
•
• 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 •加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 •近. 由此得到曲边三角形面积S.
•注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.
•
•典型问题二 瞬时速度问题
• 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 •刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即
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•
•经过的路程 •所化的时间 •这里的速度 是一个常量.
• 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将
•不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段
同济大学微积分第三版课件 第一章第一节
•
•第一节 微积分中的极限方法
•
• 典型问题一 面积问题
• 如图, 求由曲线
. • 解决方法
与 轴围成区域的面积
• 1.将区间 •次为
等分, 分点依
•1
•
• 2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积 •之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
, 动点
•从 移到 , 相应的比值
•
•表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间
•间隔
很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地
•表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
•处 的瞬时速度为
•
• 前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节 中•我们将全面引入各类形式的极限.
•
• 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 •加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 •近. 由此得到曲边三角形面积S.
•注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.
•
•典型问题二 瞬时速度问题
• 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 •刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即
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《高等数学(一)微积分》讲义
f −1 : f (D) → D
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
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二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
同济大学 高等数学(本科少学时)第三版第一章
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x x a }称为点a的邻域 ,
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(
x
3)的定义域.
1 x2
解
f (x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
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• 这个函数称为质点的位置函数. 我们需要确定该动点 •在各个时刻的“速度”（称为瞬时速度）. • 1.匀速运动: 在匀速直线运动中, 我们知道路程与速 •度、时间的关系为
•
•经过的路程 •所化的时间 •这里的速度 是一个常量.
• 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将
•不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段
•
•精品课件
！
•
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！
, 动点
•从 移到 , 相应的比值
•
•表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间
•间隔
很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地
•表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
•处 的瞬时速度为
•
• 前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节 中•我们将全面引入各类形式的极限.
同济大学微积分第三版课件 第一章第一节
•
•第一节 微积分中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ限方法
•
• 典型问题一 面积问题
• 如图, 求由曲线
. • 解决方法
与 轴围成区域的面积
• 1.将区间 •次为
等分, 分点依
•1
•
• 2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积 •之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
•
• 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 •加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 •近. 由此得到曲边三角形面积S.
•注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.
•
•典型问题二 瞬时速度问题
• 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 •刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即
•
•经过的路程 •所化的时间 •这里的速度 是一个常量.
• 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将
•不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段
•
•精品课件
！
•
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, 动点
•从 移到 , 相应的比值
•
•表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间
•间隔
很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地
•表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
•处 的瞬时速度为
•
• 前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节 中•我们将全面引入各类形式的极限.
同济大学微积分第三版课件 第一章第一节
•
•第一节 微积分中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ限方法
•
• 典型问题一 面积问题
• 如图, 求由曲线
. • 解决方法
与 轴围成区域的面积
• 1.将区间 •次为
等分, 分点依
•1
•
• 2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积 •之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
•
• 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 •加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 •近. 由此得到曲边三角形面积S.
•注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.
•
•典型问题二 瞬时速度问题
• 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 •刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即