计算机组成原理第四章

§4.1机器数的加减运算及其实现
例: 已知X=+1101,Y=-110,求X+Y 解: [X]补=00001101, [Y]补=11111010 [X+Y]补=[X]补+[Y]补 = 00001101+11111010
符号位
溢出
00001101 +1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 mod 28
负溢出、正溢出
当发生错误时，采用除以比例因子H的方法求解
§4.1机器数的加减运算及其实现
补码加法特点: 符号与数值部分都参加运算 运算结果按2取模(小数),或按2n取模(整数) 运算结果仍为补码形式
补码相加的规则总结： 若两数的符号不同，相加的结果即为和的补码 若两数符号相同，相加后若其符号不变，结果正确 若两数符号相同，相加后若其符号改变，结果错误: 负溢出、正溢出 当发生错误时，采用除以比例因子H的方法求解
第四章 机器数的运算方法及运算器
4.1 机器数的加减运算及其实现 4.2 定点乘法及其实现 4.3 定点除法及其实现 4.4 浮点数的算术运算 4.5 运算器的组成和结构 4.6 浮点运算器
第二章内容回顾
1. 真值与机器数 2. 定点数的原码、反码、补码 例：写出13与-11的二进制形式真值、原码、 反码、补码。 解：真值：X＝+1101，Y＝-1011 [X]原＝ [X]反＝ [X]补＝01101 [Y]原＝11011， [Y]反＝ 10100 [Y]补＝10101
符号位 溢出位
1 1 .0 1 1 0 1 +0 0 .1 1 0 0 1 1 0 0 .0 0 1 1 0
mod 22
所以，X-Y＝+110
§4.1机器数的加减运算及其实现
例：两负数相减，被减数小于减数。已知X＝ -11001，Y＝-10011，求真值X-Y 解：[X]补=11.00111，[-Y]补＝00.10011 [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 ＝ 11.00111 + 00.10011
符号位
101001 +010001 111010
§4.1机器数的加减运算及其实现
2. 溢出及其判别方法 溢出原因：字长限制 例：对字长位8位的计算机，定点整数的表示 范围：-128～+127 溢出特点： 两异号数相加或两同号数相减不会产生溢出 两同号数相加或两异号数相减可能产生溢出 正溢：结果为正且大于最大正数 负溢：结果为负且小于最小负数
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例：已知X＝+10111，Y＝+10001，用变 形补码的加法求X+Y 解：设比例因子H＝2，则有 所以：
X+Y=+101000
§4.1机器数的加减运算及其实现
说明： a. 舍入处理 恒置1； 0舍1入； b. 符号位扩展 补码在右移时，要注意符号位要一起 移，且最左边要补上原符号的值
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性质二: 一个数的补码的补码是这个数的原码 [[X ]补]补=[X]原 例：设有两定点小数X＝0.10011， Y＝-0.11001，求其补码的补码 解： [X]原=0.10011，[X]补=0.10011 [[X ]补]补=0.10011＝ [X]原 [Y]原=1.11001，[Y]补=1.00111 [[Y ]补]补=1.11001＝ [Y]原
0 0 .1 0 0 1 1 +1 1 .0 0 1 1 1 1 1 .1 1 0 1 0 所以，X-Y＝-110
符号位
mod 22
§4.1机器数的加减运算及其实现
例：两负数相减，被减数大于减数。已知X＝ -10011，Y＝-11001，求真值X-Y 解：[X]补=11.01101，[-Y]补＝00.11001 [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 ＝ 11.01101 + 00.11001
1 1 .0 0 1 1 1 +0 0 .1 0 0 1 1 1 1 .1 1 0 1 0 所以，X-Y＝-110
符号位
mod 22
§4.1机器数的加减运算及其实现
补码加减法运算规则总结: 参加运算的操作数用补码表示 符号位与数值位一起参加运算 若为加法操作,则两数直接相加;若为减法,则 减数连同符号位一起变反加1,再与被减数相 加 运算的结果仍然是补码的形式.
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通过例子来说明如何判断结果是否发生溢出 假设计算机字长为8位
a. 31+13＝44 符号位 0 0 0 1 1 1 1 1 +00001101 00101100 b. 63+66＝129 符号位 0 0 1 1 1 1 1 1 +01000010 10000001
c. ( -31)+(-13)＝-44 符号位 1 1 1 0 0 0 0 1 +11110011 溢出 111010100
§4.1机器数的加减运算及其实现
例：设有两个定点小数X=+0.10111，Y=+0.10001， 用补码的加法求Z=X+Y 解：[X]补= 0.10111，[Y]补=0.10001 [X+Y]补= [X]补+[Y]补=0.10111+0.10001=1.01000 Z=X+Y=-0.11000 例：设 X=-0.10111 ， Y=-0.10001 ，用补码的加法求 Z=X+Y 解：[X]补=1.01001，[Y]补=1.01111 [X+Y]补= [X]补+[Y]补=1.01001+1.01111=0.11000 Z=X+Y=+0.11000
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例：已知X＝-10111，Y＝-10001，用变形 补码的加法求X+Y 解：设比例因子H＝2，则有 所以：
X+Y=-101000
§4.1机器数的加减运算及其实现
补码相加的规则总结：
若两数的符号不同，相加的结果即为和的补码
若两数符号相同，相加后若其符号不变，结果正确 若两数符号相同，相加后若其符号改变，结果错误
§4.1机器数的加减运算及其实现
2. 符号相异的两个原码相加 规则：先比较两数的绝对值，用绝对值大的数减去 绝对值小的数，结果取绝对值大的数的符号 例：已知X＝+10101，Y＝-01010，求X+Y 10101 -01011 01011 例：已知X＝+01010，Y＝-10111，求X+Y 10101 -01011 01101
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3. 符号相异的两个原码相减 同1 4. 符号相同的两个原码相减 同2 原码运算的特点:符号位不参加运算 原码运算的优缺点：麻烦 引入反码的原因：？ 引入补码的原因：？
§4.1机器数的加减运算及其实现
二、补码加法 特点: 符号与数值部分都参加运算 运算结果按2取模(小数),或按2n取模 (整数) 运算结果仍为补码形式 1. 定点补码运算性质 性质一: 两数之和的补码等于两数补码之和 [X+Y]补=[X]补+[Y]补
符号位 溢出
010111 +101111 1000110
§4.1机器数的加减运算及其实现
例 ： 设 有 两 个 定 点 小 数 X=-0.10111 ， Y=+0.10001，用补码的加法求Z=X+Y 解：[X]补=1.01001，[Y]补=0.10001 [X+Y]补= [X]补+[Y]补=1.01001+0.10001
00110110 +1 1 0 0 1 1 0 1 100000011
符号位 正溢出
00110110 +0 0 1 1 0 0 1 1 01101001
§4.1机器数的加减运算及其实现
四、补码加减法线路的实现 逻辑电路如图所示：
§4.1机器数的加减运算及其实现
§4.1机器数的加减运算及其实现
结果错误的原因： 1.符号参加运算 2.产生了溢出
例：设有两个定点小数X=+0.10111,Y=- 0.10001 ， 用补码的加法求Z=X+Y 解：[X]补= 0.10111，[Y]补=1.01111 [X+Y]补= [X]补+[Y]补=0.10111+1.01111
a. 63+66＝129 符号位 000111111 +001000010 010000001
正溢出
d. (-63)+(-66)＝-129 符号位 1 1 1 0 0 0 0 0 1 +110111110 1101111111
溢出
负溢出
§4.1机器数的加减运算及其实现
总结： 当结果两符号位不同时发生溢出 第一位符号总是结果的正确符号 第二位符号位区别是正 / 负溢出 操作数及结果在寄存器或存储器中仍然 只用一位，只是在运算时扩充为双符号位 措施：选取一个合理的比例因子H＝2i，对每 个加数都除以H，然后相加，最后将结果乘以 H即可。
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2. 双符号位判断法 又称为变形补码判断法 定义：正数用00表示符号 负数用11表示符号 性质： [X+Y]变形补=[X]变形补+[Y]变形补 [[X ]变形补]变形补=[X]原
§4.1机器数的加减运算及其实现
判断方法： 若双符号位相同（00或11），则无溢出 若双符号位不同（01或10），则有溢出 01：正溢出；10：负溢出 例：
符号位
溢出位
0 0 .1 1 0 0 1 +1 1 .0 1 1 1 1 1 0 0 .0 1 0 0 0
mod 22
所以，X-Y＝+1000
§4.1机器数的加减运算及其实现
例：两正数相减，被减数小于减数。已知X＝ +10011，Y＝+11001，求真值X-Y 解：[X]补=00.10011，[-Y]补＝11.00111 [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 ＝ 00.10011 + 11.00111
§4.1机器数的加减运算及其实现
例:已知X=+110110,Y=-110011,求 X+Y, X-Y. 解: 设机器字长为8,则: [X]补=00110110,[Y]补=11001101, [-Y]补=00110011
[X+Y]补= [X]补+ [X]补, [X-Y]补= [X]补+ [-X]补
符号位 溢出位
§4.1机器数的加减运算及其实现
计算结果的补码均可化成该数的原码。 例：设有两个定点小数 X=-0.1101，Y=0.0111，(1<X+Y<0)，求这两数之和。 解：[X]补＝1.0011 [Y]补＝0.0111 [X]补+[Y]补＝1.0011+0.0111＝1.1010 [X+Y]原＝[[X]补+[Y]补]补＝[1.1010]补＝1.0110 所以，X+Y＝-0.0110 说明： 用补码做加法是数值位连同符号位一起参加 运算的。
§4.1机器数的加减运算及其实现
一、原码加法 1. 符号相同的两个原码相加 规则：符号不变，数值部分相加 例：已知X＝+10101，Y＝+01011，求X+Y （+ 1 0 1 0 1） +（ + 0 1 0 1 1 ） +100000 例：已知X＝-10011，Y＝-01101，求X+Y （ - 1 0 0 1 1） +（ - 0 1 1 0 1 ） -100000
d. (-63)+(-66)＝-129 符号位 1 1 0 0 0 0 0 1 +10111110 溢出 101111111
§4.1机器数的加减运算及其实现
溢出判断方法： 1. 根据符号位判断 规则：两个正数相加，结果为负，则溢出 两个负数相加，结果为正，则溢出 即，当两个同号数相加，若结果符号与 两个操作数的符号不同，则发生溢出。
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§4.1机器数的加减运算及其实现
例: 已知X=+101100,Y=-110010,求X+Y 解: [X]补=0101100, [Y]补=1001110 [X+Y]补=[X]补+[Y]补 =0101100 + 1001110
符号位
0101100 +1 0 0 1 1 1 0 1111010
mod 27
§4.1机器数的加减运算及其实现
三、补码减法 原理：减法运算转换为加法运算 性质三：两数之差的补码等于被减数的补码与 负的减数补码之和 [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 例：两正数相减，被减数大于减数。已知X＝ +11001，Y＝+10001，求真值X-Y
§4.1机器数的加减运算及其实现
解：[X]补=00.11001， [Y]补＝00.10001 [-Y]补＝11.01111 [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 ＝00.11001+11.01111