高中数学：函数解析式的十一种方法

高中数学:函数解析式的十一种方法
一、定义法 二、待定系数法 三、换元(或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法
七、利用给定的特性求解析式.
六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法
一、定义法:
【例1】设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .
2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)
1(2
++-+x x
65)(2+-=∴x x x f
【例２】设2
1
)]([++=
x x x f f ，求)(x f ． 【解析】设x
x x x x x f f ++=+++=++=
11111
11
21)]([
x
x f +=
∴11)(
【例３】设33221
)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .
【解析】2)(2)1(1)1(2222
-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f
又x x x g x x x x x
x x x g 3)()
1(3)1(1)1(3333
-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f
【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.
【解析】
)2
(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=π
π
x x x 17sin )172
cos()1728cos(=-=-+
=π
π
π．
二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例１】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则
b
ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩
⎨⎧⎩⎨
⎧=-===32
12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
【例2】已知1392)2(2
+-=-x x x f ,求)(x f ．
【解析】显然,)(x f 是一个一元二次函数。

设)0()(2≠++=a c bx ax x f
则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2
)24()4(2c b a x a b ax +-+-+=
又
1392)2(2+-=-x x x f
比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得:⎪⎩
⎪⎨⎧=-==312
c b a 32)(2
+-=∴x x x f
三、换元(或代换)法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

【例1】 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 【解析】令1+=
x t ，则1≥t ,2)1(-=t x
x x x f 2)1(+=+
∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1)(2-=∴x x f )1(≥x
x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
【例2】 已知
,11)1(2
2x x
x x x f ++=+求)(x f . 【解析】设,1t x x =+则1
1
-=
t x 则x x x x x x x f t f 11111)1()(222++=++=+= 1)1()1(11
11
)11(11222+-=-+-+=-+-+
=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f 【例3】 设x x f 2
cos )1(cos =-,求)(x f ．
解：令1cos ,1cos +=∴-=t x x t
又0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即
]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即
【例４】 若x x
x f x f +=-+1)1
(
)( (1) 在(1)式中以x
x 1
-代替x 得x x x
x x x f x x f 11)11
1
()1(-+=---+-
即x x x f x x f 12)11()1(-=
--+- (2) 又以11--x 代替(1）式中的x 得：1
2
)()11(--=
+--x x x f x f (3）
)1(112121)(2:)2()3()1(23---=----++=-+x x x x x x x x x x f 得)
1(21)(23---=∴x x x x x f
【例5】设)0,,()1()()(b a ，c b a cx
x
bf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。

【解析】cx x
bf x af =+)1
(
)( (１）用
x 1来代替x ,得x
c x bf x af 1)()1(⋅=+ （2）
由x
bc
acx x f b a b a -=-⨯-⨯22
2
)()(:)2()1(得x
b a bc
acx x f b
a )()(22
2--=∴±≠
【例６】已知2)(21
+=-x a
f x ,求)(x f .
【解析】设01 -=x a t
,则t x a log 1=-
即1log +=t x
a
代入已知等式中，得:
3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a
3log 2log )(2++=∴x x x f a a
四、配凑法
已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式,则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

【例1】已知1)f x =+求()f x 的解析式。

【解析】2x x +
∴可用配凑法
由21))1f x =+=-
令t =
1
x t ≥∴≥
则2()1f t t =- 即2()1(1)f x x x =-≥ 当然,上例也可直接使用换元法
令t = 则1t = 得
2
22(1)()(1)2(1)1
x t f t t t t =-∴=-+-=- 即 2()1(1)f x x x =-≥
由此可知,求函数解析式时,可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【 例 ２】已知2
211(),f x x x x
-=+求()f x ．
【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来,但用配凑法比较方便。

由222111
()()2f x x x x x x
-=+=-+
令21
10t x x tx x =-⇒--=
由0∆≥即240t +≥得t R ∈ 2()2f t t ∴=+ 即:2()2()f x x x R =+∈
实质上，配凑法也缊含换元的思想,只是不是首先换元,而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来,在通过整体换元。

和换元法一样,最后结果要注明定义域。

五、函数方程组法。

函数方程组法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数()f x 混合运算,则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

【 例1】设()f x 满足1()2(),f x f x x
-=求()f x 的解析式。

【解析】要求()f x 可消去1()f x ,为此,可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1
()f x
的等式,通过
解方程组达到消元的目的。

1
()2()f x f x x
-=………………………①
显然,0x ≠，将x 换成1
x
得
11
()2()f f x x x
-=……………………………..②
由1()2()11()2()f x f x x f f x x
x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
消去1
()f x ,得
12
()33f x x x
=--
小结:函数方程组法适用于自变量的对称规律。

互为倒数,如ｆ(x ）、1
()f x
；互为相反数，如f(ｘ)、f （－x)，通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。

【 例 ２】已知2)(21
+=-x a
f x ,求)(x f ．
【解析】设01 -=x a t
，则t x a log 1=-
即1log +=t x
a
代入已知等式中,得:
3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a
3log 2log )(2++=∴x x x f a a
【例 3】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1
)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 【解析】)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，
)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴
又1
1
)()(-=
+x x g x f ① ， 用x -替换x 得:1
1)()(+-=-+-x x g x f 即1
1
)()(+-
=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组,得
11)(2-=
x x f , x
x x g -=21
)( 六、特殊值法:（赋值类求抽象函数)
【例１】设)(x f 是定义在N 上的函数,满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(,
求
)(x f .
解：由1)1(=f ,xy y x f y f x f -+=+)()()(
设
1=y 得：x x f x f -+=+)1(1)(
即:
1)()1(+=-+x x f x f
在上式中,x 分别用1,,3,2,1-t 代替，然后各式相加
可得：
t t t t t f 21
211)1)(2(21)(2+=+-+=
)(2
1
21)(2*∈+=∴N x x x x f
【例２】 已知:1)0(=f ，对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f
【解析】对于任意实数ｘ、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,
不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2
++=x x x f
七.利用给定的特性求解析式.
【例１】设)(x f 是偶函数,当x ＞0时， x
e x e x
f +⋅=2
)(,求当x ＜0时,)(x f 的表达式.
【解析】对x ∈R ， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1，0］时， x x x f 2)(2
+=求当x ∈[9，1０]时)(x f 的表达式.
七.利用给定的特性求解析式．
八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似)
【例1】若a
f 1lg
)1(=，且当),0(,lg )()1(,21
*∈-=-≥-N x a a x f x f x x 满足时,求)(x f . 【解析】),0(lg )1()(1
*-∈+-=N x a a x f x f x
递推得：
2lg )2()1(-+-=-x a x f x f
3lg )3()2(-+-=-x a x f x f
…… ……
2lg )2()3(a f f +=
a f f lg )1()2(+=
以上)1(-x 个等式两边分别相加，得:
122lg lg lg lg )1()(--+++++=x x a a a a f x f )1()2(21lg )1(-+-++++=x x a f
12
)
1(2
)1(lg lg 1
lg ---=+=x x x x a
a
a
a x x lg ]12
)
1([
--= 九、归纳法：
【例1】已知
a f N x x f x f =*∈+
=+)1()(),(2
1
2)1(且，求)(x f . 【解析】a a f f a f 2
1
24212)1(212)2(,)1(+-=+=+==
a a f f 2021
24)212(212)2(212)3(+-=++=+=
a a f f 3121
24)413(212)3(212)4(+-=++=+=-
a a f f 422
1
24)81213(212)4(212)5(+-=++=+=-
………………………………，依此类推，得
a x f x x 1
32
124)(--+
-=
再用数学归纳法证明之。

十、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代
等运算求得函数解析式。

【例1】 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有
ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f
【解析】+∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，,
∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，
又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,2
1x n =- 得:
(2)(1)2,
(3)(2)3,()(1),
f f f f f n f n n -=-=--
=
将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，
2
)
1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=
∴N x x x x f ,2
1
21)(2 十一、微积分法:（当你学了导数和微积分之后,就会用到,不过平时的考题还是
比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。

)
【例1】设2)1(,
cos )(sin 2
2
=='f x x f ,求)(x f ．
【解析】x x x f 222sin 1cos )(sin -=='
)1|(|1)(≤-='∴x x x f
因此
⎰⎰+-
=-='=c x x dx x d x f x f 2
2
1)1()()(2322112)1(=∴=+-
∴=c c f )1|(|2
3
21)(2≤+-
=∴x x x x f A 、
)()(x f T x f -=+
B 、
)
(1
)()(1)(x f T x f x f T x f -
=+=+或。