大学中常用不等式,放缩技巧
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
首先 对 极限的总结 如下
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)
假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
（从网上发现，谢谢总结者)
大学中常用不等式,放缩技巧
一： 一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
3：n！<【(n+1/2)】n
4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x
7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2 LHopital 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法 ，非常方便的方法
大学中常用不等式,放缩技巧
一： 一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)
3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）
二 重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
3：n！<【(n+1/2)】n
4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x
7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
LHopital 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）
二 重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
首先 对 极限的总结 如下
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)
假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
（从网上发现，谢谢总结者)
大学中常用不等式,放缩技巧
一： 一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
3：n！<【(n+1/2)】n
4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x
7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2 LHopital 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法 ，非常方便的方法
大学中常用不等式,放缩技巧
一： 一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)
3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）
二 重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
3：n！<【(n+1/2)】n
4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x
7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
LHopital 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）
二 重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了