回归分析与matlab实现讲解

yi ˆ0 ˆ1xi 2 n ( yi yˆi )2
i 1
i 1
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
2 的无偏估计为
ˆ
2 e

Qe
(n 2)
称ˆ
2 e
为剩余方差（残差的方差），
ˆ
2 e
分别与ˆ0
ˆ e 称为剩余标准差.
、ˆ1 独立 。
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返回
设
yi 0 x1 i , i 1,2,..., n E i 0, D i 2 且1 2，..., n相互独立
n
n
记
Q Q(0 , 1)

2 i

yi 0 1xi 2
i 1
i 1
最小二乘法就是选择0 和 1 的估计ˆ0 ， ˆ1 使得
腿长
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.
解答
102
100
98
y 0 1x
96
94
92
90
88
86
84
140
145
150
155
160
165
8
三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验 对回归方程Y 0 1x 的显著性检验，归结为对假设 H 0 : 1 0; H1 : 1 0
进行检验.
假设 H 0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
i 1
i 1
当|r|> r1-α 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
其中 r1
1
1 n 2 F1 1, n 2
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2、回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1-α 的置信区间分别为

ˆ
0
Fra Baidu bibliotek

t1 2
(n

2)ˆ e
1 n

一元线性回归分析的主要任务是：
1、用试验值（样本值）对0 、 1 和 作点估计；
2、对回归系数0 、 1 作假设检验；
3、在 x=x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
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返回 5
二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值，（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
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散点图
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一般地，称由 y 0 1 x 确定的模型为一元线性回归模型， 记为
y 0 1x E 0, D 2 固定的未知参数0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.
Y 0 1x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
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检 验 、 预 测 与 控 制
性可 回线 归性 （化 曲的 线一 回元 归非 ）线
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
检 验 与 预 测
多 元 线 性 回
归
中
的
逐 步 回 归 分 析
3
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高 143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164
1 1 x0 x2
n
Lxx
特别，当 n 很大且 x0 在x 附近取值时,
y 的置信水平为1 的预测区间近似为



yˆ

ˆ
e
u
1

2
n i1
其中 x 1
xi , y 1
yi ， x 21
xi , xy
2
1
xi yi .
n
n
n
n
（经验）回归方程为:
yˆ ˆ0 ˆ1x y ˆ1(x x)
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2、 2 的无偏估计
n
记 Qe Q(ˆ0 , ˆ1 )
2
Qe (n
2)

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3、预测与控制
（1）预测
用 y0 的回归值yˆ0 ˆ0 ˆ1x0 作为 y0的预测值.
y0 的置信水平为1 的预测区间为
yˆ0 (x0 ), yˆ0 (x0 )
其中 (x0 ) ˆ et1 (n 2) 2
x2 Lxx
, ˆ0
t1 2
(n

2)ˆ e
1

x2

n Lxx
和

ˆ1


t
1 2
(n

2)ˆ e
/
Lxx
,
ˆ1

t
1
(n

2)ˆ e
/
2
Lxx

2 的置信水平为 1- 的置信区间为



Qe
2 (n 1 2

2)
,

2
故 T t (n 2) ，拒绝H 0 ，否则就接受H 0 .
1
2n
n
其中Lxx (xi x)2 xi2 nx 2
i 1
i 1
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（Ⅲ）r检验法
n
(xi x)( yi y)
记
r
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
Q ( ˆ 0
,
ˆ1 )

min
0 ,1
Q(
0
,
1
)
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解得
ˆ0 y ˆ1x
ˆ1


xy x2
xy x2
n
xi xyi y
或 ˆ1 i1 n
xi x 2
i 1
n i1
n i1
n i1
数学建模与数学实验
回归分析
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实验目的
1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
实验内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业。
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
* *
* *
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
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（Ⅰ）F检验法
当 H 0 成立时，
F
U
~F（1，n-2）
Qe /(n 2)
n
其中 U yˆi y2 （回归平方和） i 1
故 F> F1 (1, n 2) ，拒绝H 0 ，否则就接受H 0 .
（Ⅱ）t检验法 当 H 0 成立时，T
Lxx ˆ1 ~t（n-2） ˆ e