初中数学竞赛教程
初中数学竞赛精品标准教程及练习53条件等式的证明
初中数学竞赛精品标准教程及练习53条件等式的证明条件等式的证明在初中数学竞赛中是一类经典且常见的问题。
以下是一份精品标准教程及练习，适用于初中生学习条件等式的证明。
一、条件等式的证明方法：1.利用等式的性质：包括等式的基本性质、对称性、平方性、相反数相加等性质。
通过利用等式的性质，将已知条件转化为要证明的等式形式。
2.代数运算：通过代数运算，将等式两边进行变形，逐步推导出要证明的等式形式。
3.假设法：在已知条件中引入一个未知量，通过假设该未知量的取值，得到一系列结果，最后证明这些结果都满足已知条件，即可得到要证明的等式。
4.数学归纳法：对于具有递归关系的等式或不等式，可以采用数学归纳法进行证明。
二、条件等式的练习题：练习1：设x和y是两个不等于0的实数，且满足\[xy=1\]，证明：\[x^2+y^2\geq 2\]。
解析：首先，我们可以将要证明的等式进行变形：\[x^2+y^2-2\geq0\]。
然后，我们可以利用等式\[xy=1\]的性质进行代入变形。
将\[y=\frac{1}{x}\]代入\[x^2+y^2-2\geq 0\]，得到\[x^2+\frac{1}{x^2}-2\geq 0\]。
再进行整理得到\[x^4-2x^2+1\geq0\]。
接下来，我们可以使用因式分解法进行证明。
将\[x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\geq 0\]，由于平方的结果必然大于等于0，所以不等式成立。
练习2：对于任意实数a、b、c，证明无论a、b、c取何值，都有\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\]。
解析：首先，我们可以将要证明的等式进行变形：\[a^3+b^3+c^3-3abc-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\]。
然后，我们可以通过代数运算进行证明。
将等式进行展开和整理得到：\[a^3+b^3+c^3-3abc-a^3-b^3-c^3-b^2a-bc^2-c^2a+a^2b+ab^2+ac^2=(a^2b+ab^2-2abc)+(a^2c+ac^2-2abc)+(ab^2+b^2c-2abc)=ab(a-b)+ac(a-c)+bc(b-c)\]。
2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习数学符号
初中数学竞赛精品原则教程及练习（6）数学符号一、内容提纲数学符号是体现数学语言旳特殊文字。
每一种符号均有确定旳意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表达其他意义。
数学符号一般可分为：1, 元素符号：一般用小写字母表达数，用大写字母表达点，用⊙和△表达园和三角形等。
2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。
3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4, 逻辑符号：略5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，假如a 除以b 旳商旳整数部份记作Z （b a ），而它旳余数记作R （ba ）， 那么Z （310）＝3，R （310）＝1；又如设[]x 表达不不小于x 旳最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，⎥⎦⎤⎢⎣⎡32＝0，[]3-＝－3。
对旳使用符号旳关健是明确它所示旳意义（即定义）对题设中临时约定旳符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由详细到抽象，逐渐加深理解。
在解题过程中为了简要表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确旳定义，所用符号不要与常规符号混淆。
二、例题例1设[]Z 表达不不小于Z 旳最大整数，＜n>为正整数n 除以3旳余数 计算：①〔4.07〕＋〔－732〕－〈13;〉＋〈2023〉②〈〔14.7〕〉＋〔234><〕。
解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0②原式＝＜14＞＋〔21〕＝2＋0＝2例2①求19871988旳个位数②阐明19871989－19931991能被10整除旳理由解：设N （x ）表达整数x 旳个位数，N （19871988）＝N （74×497）＝N （74）＝1②∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3）＝N （71）－N （33）＝7－7＝0∴19871989－19931991能被10整除由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。
初中数学竞赛优秀教案
初中数学竞赛优秀教案课时安排：10课时教学目标：1. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和解决问题的能力。
2. 巩固和拓展初中阶段的基本数学知识和技能。
3. 培养学生的竞赛意识，提高学生的数学竞赛成绩。
教学内容：1. 数论：因数与倍数、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与同余方程。
2. 几何：平面几何的基本性质、三角形、四边形、圆、几何证明。
3. 代数：一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数、数列。
4. 概率与统计：概率的基本概念、事件的组合与排列、统计量的计算。
教学过程：第一课时：数论——因数与倍数1. 导入：介绍因数与倍数的定义，引导学生理解因数与倍数的关系。
2. 讲解：讲解如何求一个数的因数和倍数，并通过例题进行演示。
3. 练习：给出一些练习题，让学生独立完成，巩固因数与倍数的知识。
第二课时：数论——质数与合数1. 导入：介绍质数与合数的定义，引导学生理解质数与合数的特点。
2. 讲解：讲解如何判断一个数是质数还是合数，并通过例题进行演示。
3. 练习：给出一些练习题，让学生独立完成，巩固质数与合数的知识。
第三课时：数论——最大公约数与最小公倍数1. 导入：介绍最大公约数与最小公倍数的定义，引导学生理解最大公约数与最小公倍数的关系。
2. 讲解：讲解如何求两个数的最大公约数和最小公倍数，并通过例题进行演示。
3. 练习：给出一些练习题，让学生独立完成，巩固最大公约数与最小公倍数的知识。
第四课时：同余与同余方程1. 导入：介绍同余与同余方程的定义，引导学生理解同余与同余方程的概念。
2. 讲解：讲解如何求解同余方程，并通过例题进行演示。
3. 练习：给出一些练习题，让学生独立完成，巩固同余与同余方程的知识。
第五课时：几何——平面几何的基本性质1. 导入：介绍平面几何的基本性质，引导学生理解平面几何的基本概念。
2. 讲解：讲解平面几何的基本性质，并通过例题进行演示。
3. 练习：给出一些练习题，让学生独立完成，巩固平面几何的基本性质。
八年级数学竞赛教案
八年级数学竞赛教案教案标题：八年级数学竞赛教案教学目标：1. 熟悉八年级数学竞赛的题型和要求。
2. 提高学生解题的思维能力和数学应用能力。
3. 培养学生的合作与竞争意识。
教学内容：1. 数的性质与变化2. 代数表达式3. 方程与不等式4. 几何图形的性质与变化5. 数据分析与统计教学步骤：第一课：数的性质与变化1. 导入：通过一个有趣的数学谜题引起学生的兴趣。
2. 讲解：复习数的性质，如整数的分类、有理数的性质等。
3. 练习：提供一些数的性质相关的练习题，让学生巩固理解。
第二课：代数表达式1. 导入：通过实际生活中的例子引出代数表达式的概念。
2. 讲解：介绍代数表达式的基本概念和运算规则。
3. 练习：提供一些代数表达式的练习题，让学生练习转化和简化代数表达式。
第三课：方程与不等式1. 导入：通过一个实际问题引出方程与不等式的概念。
2. 讲解：介绍方程与不等式的基本概念和解题方法。
3. 练习：提供一些方程与不等式的练习题，让学生练习解方程和不等式。
第四课：几何图形的性质与变化1. 导入：通过几何图形的变换引起学生的兴趣。
2. 讲解：介绍几何图形的基本性质和变换规律。
3. 练习：提供一些几何图形的性质和变换的练习题，让学生巩固理解。
第五课：数据分析与统计1. 导入：通过一个实际数据的分析引出数据分析与统计的概念。
2. 讲解：介绍数据分析与统计的基本方法和技巧。
3. 练习：提供一些数据分析与统计的练习题，让学生练习应用统计方法解决问题。
教学评估：1. 在每节课结束时进行小测验，检查学生对所学内容的掌握情况。
2. 设计一套模拟数学竞赛试题，让学生在课后完成，以评估他们的竞赛水平。
教学资源：1. 数学竞赛教材和习题集。
2. 数学竞赛模拟试题。
3. 多媒体投影仪和电脑。
教学建议：1. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高他们的数学思维能力。
2. 组织学生进行小组合作学习，培养他们的合作与竞争意识。
3. 鼓励学生参加校内外的数学竞赛，提高他们的数学应用能力和竞赛技巧。
初中数学竞赛教程
“在数学竞赛中，我们需要掌握扎实的数学基础，包括代数、几何、数论、组 合数学等方面的知识。同时，我们还需要具备灵活的思维和敏锐的洞察力，能 够迅速找到解决问题的最佳途径。”
“数学竞赛中的题目往往非常复杂和抽象，需要我们具备扎实的数学基础和灵 活的思维。但是，只要我们能够认真思考、不断尝试，就一定能够找到解决问 题的方法。”
“在解决数学竞赛中的题目时，我们需要学会分析问题、寻找规律、建立模型， 然后运用所学的数学知识进行求解。同时，我们还需要具备严谨的逻辑推理能 力和扎实的计算能力。”
“数学竞赛不仅仅是一场考试，更是一次锻炼自己的机会。通过参与竞赛，我 们可以提高自己的数学水平、增强自信心、培养兴趣爱好。同时，我们还可以 结交更多的志同道合的朋友，一起探讨数学问题、分享学习心得。”
内容摘要
《初中数学竞赛教程》是一本非常实用的教材，可以帮助初中生提高数学能力和竞赛水平。
精彩摘录
《初中数学竞赛教程》是一本非常优秀的数学竞赛教材，它涵盖了初中数学竞 赛的所有知识点，并提供了丰富的例题和练习题，帮助学生们提高数学水平。 下面是一些精彩摘录：
“数学竞赛是锻炼数学思维和解决问题的能力的好机会，通过参与竞赛，我们 可以更加深入地了解数学，发现数学的奥秘和乐趣。”
“在数学竞赛中，我们需要保持冷静、自信和专注。即使遇到困难和挫折，我 们也不能轻易放弃。只有坚持不懈地努力，才能够取得优异的成绩。”
“我想说：数学竞赛不仅是一次考试，更是一次自我挑战和突破的机会。让我 们一起努力、共同进步！
阅读感受
《初中数学竞赛教程》是一本由浙江大学社的数学竞赛教材，旨在为初中生提 供数学竞赛的指导和帮助。在阅读这本书后，我深感其内容的丰富性和实用性， 对于提高我的数学竞赛水平有着很大的帮助。
初中数学竞赛精品标准教程及练习18式的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习18式的整除整除是指一个数能够整除另一个数，即能够被另一个数整除而不产生余数。
在初中数学竞赛中，整除是一个非常重要的概念。
掌握整除的性质和相关的解题方法将有助于学生更好地应对数学竞赛中的各种问题。
一、整除的定义整除是指一个数能够被另一个数整除而不产生余数。
如果一个数a能够被另一个数b整除，就可以表示为a能够整除b，也可以表示为b能够被a整除。
用数学语言表达就是a能够整除b表示为a，b，读作a整除b，b被a整除。
二、整除的性质整除具有以下性质：1.如果一个数a能够整除另一个数b，而b又能够整除另一个数c，则a能够整除c。
即如果a，b且b，c，则a，c。
2. 如果一个数a能够整除另一个数b，则a能够整除b的所有倍数。
即如果a，b，则a，kb(k为整数)。
3.整除具有传递性。
如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c。
即如果a，b且b，c，则a，c。
三、整除的判定法则1.若一个数能被2整除，则个位数为0、2、4、6、8中的任意一个。
2.若一个数能够被3整除，则该数的各位数之和能够被3整除。
3.若一个数能够被4整除，则该数的末两位能够被4整除。
4.若一个数能够被5整除，则个位数为0或55.若一个数能够被6整除，则该数同时能够被3和2整除。
6.若一个数能够被8整除，则该数的末三位能够被8整除。
7.若一个数能够被9整除，则该数的各位数之和能够被9整除。
四、整除的应用1.求最大公约数最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
当求最大公约数时，常常使用整除的方法。
首先列举出两个或多个数的约数，然后找出共有的约数中最大的一个即为最大公约数。
2.求最小公倍数最小公倍数是指两个或多个整数的公有倍数中最小的一个。
当求最小公倍数时，也常常使用整除的方法。
首先列举出两个或多个数的倍数，然后找到其中共有的最小的一个即为最小公倍数。
练习题：1.判断下列数是否能够被2整除：106、239、480、620。
初中数学竞赛精品标准教程及练习52换元法
初中数学竞赛精品标准教程及练习52换元法换元法是解决一些复杂的代数问题的一种常用方法。
在初中数学竞赛中，我们经常会遇到一些需要通过换元法来简化或改造问题的情况。
下面是一份初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要讲解换元法的原理、基本思路以及应用技巧。
一、换元法的原理换元法是通过引入新的变量，使得原问题可以转化为容易解决的形式。
通过合理选择新变量，我们可以改变原来的问题的结构，从而更容易找到解法。
二、换元法的基本思路1.从已知信息中分析问题的性质和特点，并寻找可以引入新变量的可能。
2.根据问题的要求和条件，选择合适的新变量。
3.通过代数变换、化简等方式，将原问题转化为关于新变量的简化形式。
4.利用已知的数学工具和方法，解决新问题。
5.根据新问题的解，反推回原问题的解。
三、换元法的应用技巧1.用几何方法引入新变量：通过引入几何图形的边长、角度等作为新变量，来解决代数问题。
2.用代数方法引入新变量：通过引入未知数、系数等作为新变量，来简化问题。
3.用函数法引入新变量：通过引入函数关系，将原问题转化为关于函数的方程。
四、实例练习题目：已知三个实数a、b、c满足方程组ab + bc + ca = 1a +b +c = ab + ac + bc求a、b、c的值。
解答：1.分析问题：根据已知条件，我们可以将方程组中的a、b、c看作三个变量。
我们可以使用换元法来简化问题。
2. 引入新变量：设a+b+c=p, ab+bc+ca=q，通过引入新变量p和q，我们可以得到新的方程组：q=1p=q3.解决新问题：根据新的方程组，我们可以得到p=1，q=14.反推回原问题：将p和q的值带入原来的方程组，我们可以得到：a+b+c=1ab+bc+ca=1根据以上方程，我们可以求出a、b、c的值。
综上所述，我们通过换元法将原问题转化为新的方程组，然后解决新的方程组，最后反推回原问题。
通过这种方法，我们可以简化问题，找到解法。
通过以上的精品标准教程及练习，我们对换元法有了更深入的理解。
八年级数学竞赛教案4篇
八年级数学竞赛教案4篇八年级数学竞赛教案篇1一、学习目标：1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗(1)2023×1999 (2)998×1002导入新课：计算下列多项式的积.(1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 即：(a+b)(a-b)=a2-b2四、精讲精练例1：运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)例2：计算：(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)随堂练习计算：(1)(a+b)(-b+a) (2)(-a-b)(a-b) (3)(3a+2b)(3a-2b)(4)(a5-b2)(a5+b2) (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c) (6)(a-b)(a+b)(a2+b2)五、小结：(a+b)(a-b)=a2-b2第三十五学时：4.2.2. 完全平方公式(一)一、学习目标：1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何解释.二、重点难点：重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算三、合作学习Ⅰ.提出问题，创设情境一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多多多少为什么Ⅱ.导入新课计算下列各式，你能发现什么规律(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;(2)(m+2)2=_______;(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;(4)(m-2)2=________;(5)(a+b)2=________;(6)(a-b)2=________.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)这两个数的积的二倍的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2四、精讲精练例1、应用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y- )2 (3)(-a-b)2 (4)(b-a)2例2、用完全平方公式计算：(1)1022 (2)992随堂练习第三十六学时：14.2.2 完全平方公式(二)一、学习目标：1.添括号法则.2.利用添括号法则灵活应用完全平方公式二、重点难点重点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用难点：在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的. 三、合作学习Ⅰ.提出问题，创设情境请同学们完成下列运算并回忆去括号法则.(1)4+(5+2) (2)4-(5+2) (3)a+(b+c) (4)a-(b-c)去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不变号; 如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除数的整除是初中数学竞赛中常见的考点之一，在解题过程中需要掌握一些基本的概念和操作方法。
本文将介绍数的整除的基本概念和性质，并附上一些练习题供大家练习。
一、整除的定义对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=c*b，那么我们就说a能够被b整除，b是a的一个因数，同时也说b是a的一个除数，记作b，a。
例如，2能够被4整除，就表示4是2的一个因数。
二、整除性质1.若a能够被c整除，而c能够被b整除，则a能够被b整除。
2.若a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c整除。
3.0除以任何非零整数都为0。
4.任何整数除以1都为本身。
5.任何整数除以0是没有意义的，应避免这样的操作。
三、整除的判定方法1.因数的概念：如果a能够被b整除，那么a一定是b的倍数，b一定是a的因数。
2.除数的性质：如果一个数a的除数是b，那么b的倍数一定是a的倍数。
3.余数的性质：如果一个数a除以b的余数为0，那么a一定能够被b整除。
四、整除的应用整除的概念和性质在解决一些实际问题时经常用到。
例如，求一个数的因数或倍数，判断一个数是否是另一个数的因数等等。
在这些问题中，我们可以应用整除性质和判定方法，进行推理和计算。
五、练习题1.一个数能够同时被3和5整除，它最小是多少？2.一个两位数，可以被3整除，这个两位数的十位数字加上个位数字等于6，这个两位数最大是多少？3.一个数同时是4和5的倍数，它最大是多少？解答：1.因为一个数能够同时被3和5整除，那么这个数一定是3和5的公倍数，即这个数是3和5的最小公倍数。
最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公因数。
由于3和5没有公因数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是3*5=15、所以这个数最小是152.设这个两位数为10a+b，其中a为十位数字，b为个位数字。
根据题意，有10a+b可以被3整除，且a+b=6、根据整除的判定方法，可以得到10a+b的各个位数之和能够被3整除。
2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习基本对称式
初中数学竞赛精品原则教程及练习（50）基本对称式一、内容提纲上一讲介紹了对称式和轮换式定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 基本对称式.含两个变量所有对称式，都可以用相似变量基本对称式来体现.例如x 2+y 2, x 3+y 3， (2x －5)(2y －5)， －y x 3232-， y x x y +……都是含两个变量对称式，它们都可以用相似变量x,y 基本对称式来体现：x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ， x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，(2x －5)(2y －5)＝4xy －10(x+y)+25, －yx 3232-=－xy y x 3)2+（， yx x y +=xy x y 22+=xy xy y x 2)(2-+.设x+y=m ， xy=n.则x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ＝m 2－2n ；x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)=m 3－3mn ；x 4+y 4＝（x 2+y 2）2－2x 2y 2＝m 4－4m 2n+2n 2；x 5+y 5＝（x 2+y 2）(x 3+y 3)－x 2y 2(x+y)=m 5－5m 3n+5mn 2；………一般地，x n +y n(n 为正整数)用基本对称式体现可建立递推公式：x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)－xy(x k －1+y k －1) (k 为正整数).含x, y 对称式，x+y ， xy 这三个代数式之间，任意懂得两式，可求第三式.二、例题已知x=21(3+1)， y=）－（1321 求下列代数式值： ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ； ②x2 (2y+3)+y 2(2x+3).解：∵含两个变量对称式都可以用相似变量基本对称式来体现.∴先求出 x+y=3， xy=21.① x 3+x 2y+xy 2+y 3 ＝（x+y ）3－2xy(x+y)=(3)3－2×321=23； ② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)=3［（x+y ）2－2xy ］+2xy(x+y)=3［（21232⨯－））2×213＝3－6.解方程组⎩⎨⎧=+=+②①53533y x y x 分析：可由 x 3+y 3，x+y 求出xy ，再由基本对称式，求两个变量x 和y.解：∵x 3+y 3,＝（x+y ）3－3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程组⎩⎨⎧==+65xy y x得⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧==23y x . 例3. 化简 321420+＋321420-. 解：设321420+＝x ， 321420-=y.那么 x 3+y 3=40， xy=32196400⨯－=2.∵x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，∴ 40＝（x+y ）3－6（x ＋y ）.设x+y=u ，得 u 3－6u －40=0 . (u －4)(u 2+4u+10)=0.∵u 2+4u+10=0 没有实数根，∴u －4＝0, u ＝4 .∴x+y=4.即321420+＋321420-＝4. 例4. a 取什么值时，方程x 2－ax+a －2=0 两根差绝对值最小？其最小值是什么？ 解：设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理，得 ⎩⎨⎧-==+22121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=-＝212214)x x x x -+（＝842+-a a ＝4)2(2+-a ，∴当a=2时，21x x - 有最小值是2.三、练习501. 已知 x －y=a ， xy=b. 则x 2+y 2=______ ； x 3－y 3=______.2. 若x+y=1， x 2+y 2=2. 则 x 3+y 3=_______； x 5+y 5=______.3. 假如 x+y=－2k ， xy=4，3=+xy y x . 则 k=_____. 4. 已知x+x 1=4， 那么x －x 1=____ ， 221xx +=＿＿＿. 5. 若x x 1+.＝a, 那么x+x 1=______, 221xx +=＿＿＿. 6. 已知：a=321－， b=321+. 求： ①7a 2+11ab+7b 2 ； ②a 3+b 3－a 2－b 2－3ab+1.7. 已知xx 1+＝8，则x x 12+＝＿＿＿＿. 8. 已知 a 2+a －1=0 则a 3－31a =＿＿＿＿＿. 9. 已知一元二次方程两个根平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10. 化简： ①335252－＋＋； ②33725725－－＋.11. 已知：α，β是方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 两个根.求证：α2（b β+c ）+β2(b α+c)=－ac 22.三、练习50参照答案：1. a 2+2b ， a 3+3ab2. 2.5， 4.753. ±54. 23或－23， 14， 525. a 2－2， a 4－4a 2+26. 109,367. 628. –49. x2±3x＋2＝010.①1，②2运用韦达定理，把左边式子化为基本对称式体现。
初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题
初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题初中数学竞赛是一项培养学生数学思维能力和解题技巧的重要活动。
为了帮助学生有效备战数学竞赛，专门编写了《初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题(二)》一书。
本书内容全面，涵盖了初中数学竞赛的各个考点，并通过一系列精选的练习题目，帮助学生巩固相关知识点和解题思路。
以下是本书的详细内容介绍。
第一章：数与式本章主要讲解数的性质及其运算，理解数与式的关系。
通过大量的练习题目，培养学生掌握各类数与式的转化和计算技巧。
第二章：代数式与方程本章重点讲解代数式的概念及其简化、展开等技巧。
同时，介绍方程的概念和解法，引导学生灵活运用代数知识解决实际问题。
第三章：比例与相似本章主要讲解比例与相似的概念、性质和运算。
通过丰富的练习题目，帮助学生熟悉比例与相似的应用场景，提高处理实际问题的能力。
第四章：图形与几何本章包括平面图形的性质与判定、计算图形的面积和周长等内容。
通过多种几何问题的解答，培养学生观察和推理能力，提高解决几何问题的能力。
第五章：数据与概率本章主要讲解统计数据的收集、整理和分析方法，以及概率的基本概念和计算方法。
通过实际案例和统计数据的分析，提高学生的数据处理能力和概率思维能力。
第六章：综合应用本章通过综合性的竞赛题目，培养学生将多个数学知识点与解题方法综合运用的能力。
同时，通过解析竞赛题目的解题思路，引导学生掌握解题的一般方法和技巧。
本书的练习题目从易到难，题目形式多样，包括选择题、填空题和解答题等。
每道题目都有详细的解析，讲解解题思路和方法，帮助学生理解题目的解法和解题过程。
同时，书中还配有足够的例题和习题，供学生进行练习和巩固知识。
《初中数学竞赛精品标准教程及练习68选择题(二)》是一本综合性的数学竞赛辅导书籍，适用于各类初中数学竞赛的备考和自学。
通过系统学习和练习，学生可以提高解题速度和准确性，激发数学兴趣，从而在数学竞赛中取得更好的成绩。
初中数学竞赛精品标准教程及练习14经验归纳法
初中数学竞赛精品标准教程及练习14经验归纳法经验归纳法是一种通过观察现象，总结规律，进而推广到一般情况的数学解题方法。
它在初中数学竞赛中经常被用来解决需要找到其中一种模式或规律的问题。
下面是一个关于经验归纳法的精品标准教程及练习，供初中生参考。
经验归纳法是一种通过观察特殊情况，从中总结规律，并推广到一般情况的解题方法。
它可以帮助我们发现问题背后的模式和规律，从而解决更为复杂的问题。
2.经验归纳法的步骤（1）观察特殊情况：首先，我们需要观察已知的特殊情况，例如给定的一组数据或一些已知条件。
（2）总结规律：通过观察特殊情况，我们可以总结出一些规律或模式。
这些规律可能是数列的规律、图形的规律或其他形式的规律。
（3）推广到一般情况：基于所总结的规律，我们可以推广到一般情况，即对于类似的问题是否也成立。
3.经验归纳法的应用（1）数列问题：经验归纳法常常用来解决数列问题。
例如，若题目给出前几项为1,4,9,16,25...，我们可以通过观察到这是一个平方数列，从而得出一般情况的规律：第n项为$n^2$。
（2）几何图形问题：经验归纳法也适用于解决几何图形问题。
例如，若题目给出一个由正方形组成的图形，每一层正方形的边长依次增加1，我们可以通过观察到每一层正方形的总数是前一层正方形总数加上该层正方形的个数，从而得出一般情况的规律。
（3）方程问题：经验归纳法也可以应用于解决方程问题。
例如，若题目给出一个等差数列的和为100，我们可以设该等差数列的首项为$a$，公差为$d$，根据等差数列的求和公式得出一般情况的规律。
4.经验归纳法的练习题（1）已知等差数列1,4,7,10...，求第100项的值。
（2）已知等比数列1,3,9,27...，求前10项的和。
（3）已知一个图形由三角形组成，第n层的三角形数量等于前n-1层三角形的总数量加上n。
求第10层的三角形总数。
（4）一个矩阵由正方形组成，第n层的正方形总数量等于前n-1层正方形的总数量加上该层正方形的数量（每一层的边长依次增加1）。
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学奥林匹克竞赛教程数学奥林匹克竞赛是一个旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力的竞赛。
对于初中阶段的学生来说，参加数学奥林匹克竞赛有着重要的意义。
下面是一个初中数学奥林匹克竞赛的教程，以帮助学生更好地参与竞赛。
一、了解数学奥林匹克竞赛的基本知识数学奥林匹克竞赛是一项高难度的数学竞赛，考察的内容有代数、几何、数论、组合数学等。
参加竞赛的学生应对这些知识有一定的了解和掌握。
二、积累数学题目要参加数学奥林匹克竞赛，需要积累大量的数学题目，并针对不同的题型进行分类整理。
可以通过做一些奥数辅导班的习题册，也可以通过向老师请教等方式来积累。
三、练习解题思路数学奥林匹克竞赛注重解题思路和数学方法的运用，因此要想在竞赛中取得好成绩，需要不断地练习解题思路。
可以选择一些经典案例，研究其中的解题思路和方法。
四、参加模拟竞赛数学奥林匹克竞赛是一项实战竞赛，为了更好地应对竞赛压力，可以参加一些模拟竞赛活动。
这样可以提前熟悉竞赛环境和竞赛模式，增强自己的竞赛实力。
五、增加数学知识的广度和深度数学奥林匹克竞赛不仅要求学生对基础的数学知识有深入的掌握，还要求学生对一些高级的数学知识有所了解。
因此要想在竞赛中取得好成绩，需要增加数学知识的广度和深度。
六、合理分配时间在参加数学奥林匹克竞赛时，要合理分配时间。
要根据每道题的难度和分值来合理安排时间，确保能够准确地完成每道题目。
七、培养团队合作精神数学奥林匹克竞赛有一些团队比赛的项目，这就需要学生培养团队合作精神。
要学会与队友相互配合，共同解决问题。
八、保持积极乐观的心态数学奥林匹克竞赛是一个较为困难的竞赛，可能会遇到各种困难和挫折。
学生要保持积极乐观的心态，相信自己的能力，并且相信只要努力，就一定能够克服困难。
九、重视总结和复习针对每次竞赛的经验和问题，要及时进行总结和复习。
通过总结和复习，可以发现自己的问题所在，认识到自己的不足，并且加以改进。
总的来说，参加初中数学奥林匹克竞赛需要学生在数学知识和解题思路上都有一定的积累和提高。
2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习整数解
初中数学竞赛精品标准教程及练习（54）整数解一、内容提纲1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，涉及判断无整数解.求整数解常用的性质、法则：①.数的运.算性质：整数＋整数＝整数， 整数－整数＝整数，整数×整数＝整数， 整数的自然数次幂＝整数,整数÷（这个整数的约数）＝整数.②.整系数的方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)只有当b 2－4ac 是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x 1+x 2与x 1x 1 都是整数，来拟定整数解，但必须检查（由于它们只是整数解必要条件）.③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.④.用列举法.3. 鉴定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m 分类，逐个推出矛盾.二、例题例1.求下列方程的正整数解：① xy+x+y=5； ② x 2+y 2＝1991.解：①先写成关于x 的方程，（y+1）x=5－y.x=16116115++-=++--=+-y y y y y .当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x 的值是整数.∵－1＋16+y ＞0， 且x>0, y>0, ∴ 1<y+1<6 . ∴ y=1或y=2.∴原方程有正整数解⎩⎨⎧==12y x ； 或⎩⎨⎧==21y x .又解：把左边写成积的形式：x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.∵6＝1×6＝2×3， 而正整数y+1>1, x+1>1.∴⎩⎨⎧=+=+3121y x 或⎩⎨⎧=+=+2131y x解得 ⎩⎨⎧==21y x ；或⎩⎨⎧==12y x .②要等式成立，x, y 必须是一奇一偶，设x=2a, y=2b －1 (a,b 都是正整数).左边x 2+y 2＝（2a ）2+(2b －1)2=4(a 2+a+b 2－b)+1.∴a, b 不管取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3.∴等式永远不能成立.∴原方程没有正整数解.例2. 一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数. 若把正整数改为整数呢？解：设这个正整数为x ，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(129)1(3822b x a x (a,b 都是正整数).(2)－(1)：b 2－a 2=91 .(b+a)(b －a)=91，∵91=1×91=7×13 且b+a>b －a.∴⎩⎨⎧=-=+191a b a b 或⎩⎨⎧=-=+713a b a b解得，⎩⎨⎧==4645b a ； 或⎩⎨⎧==103b a .由方程(1)知 a>38, 由方程(2)知 b>129.∴只有⎩⎨⎧==4645b a 适合. ∴ x=a 2－38=1987. 答(略).假如改为整数 ，则两组的解都适合. 另一个解是：x=a 2－38=9－38=－29.例3. 一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值是多少？解法一：用列举法与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，…与3的差是6的倍数的自然数有：3，9， 15，22，27，…∴符合条件的 最小自然数是27.解法二：设所求自然数为x,那么⎩⎨⎧=-=+bx a x 6353 (a,b 都是自然数).∴ x= 5a －3=6b+3,∴ a=511566+++=+b b b , ∵ a, b 都是自然数，∴ b+1是5的倍数， 其最小值是b=4.∴x=6b+3=27.例4. m 取什么整数值时，方程 mx 2+(m 2－2)x －(m+2)=0有整数解？解：设方程两个整数根为x 1, x 2. 那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+m m m m x x m m m m x x 222221221 ∵x 1和 x 2都是整数，∴m 是2的约数， 即m=±1，±2.∵这只是整数解的必要条件，而不是充足条件，故要代入检查.当m=1时，原方程为x 2－x －3=0, 没有整数解；当m=－1 时，原方程为－x 2－x －1=0, 没有实数根；当m=2 或m=－2 时，方程有整数解.答：当m=2或 m=－2时，方程 mx 2+(m 2－2)x －(m+2)=0有整数解.例5. 已知：n 是正整数，且9n 2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.求：n 的值.解：设9n 2+5n+26＝m(m+1)， m 为正整数.m 2+m －(9n 2+5n)=26. （ 把左边化为积的形式，先配方再分解因式）（m+21）2－(3n+65)2=26+362541-, (m+21+3n+65)( m+21－3n －65)=2595， 去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m －9n －1)=230.∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n ＞3m －9n..∴⎩⎨⎧=--=++1193230493n m n m ； 或 ⎩⎨⎧=--=++2193115493n m n m ；或⎩⎨⎧=--=++51946493n m n m ； 或 ⎩⎨⎧=--=++1019323493n m n m . 解方程组，正整数的值只有 n=2或 n=6.例6. 已知：方程x 2－2(m+1)x+m 2=0有两个整数根，且12＜m<60.求：m 的整数值.解：要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数.△＝［－2（m+1）］2－4m 2=8m+4=4(2m+1).即当2m+1 是完全平方数时，方程有整数解.∵12<m<60,∴25<2m+1<121，完全平方数.2m+1=36, 49, 64, 81, 100.则2m=35, 48, 63, 80, 99.∴ m 的整数值，只有24，40.检查：当m=24 时，有整数解32，18； 当m=40时，有整数解50，32.答：当m=24或 m=40时， 方程x 2－2(m+1)x+m 2=0有两个整数根.三、练习541. 已知x 2－y 2=1991, 则x, y 的正整数解是＿＿＿＿＿＿＿.2. 方程x 2+(y+1)2=5的整数解有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3. 已知x 1, x 2, x 3, ……, x 2023都是正整数，写出下列方程的一组整数解：①x 1+x 2=x 1x 2 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②x 1+x 2+x 3=x 1x 2x 3 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.③x 1+x 2+x 3+x 4=x 1x 2x 3x 4 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ④x 1+x 2+x 3+……+x 2023=x 1x 2x 3……x 2023 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 已知100≤x(x+1) ≤150，则整数x=_____.5. 已知x 200<2300, 则正整数x=____.6. 假如x,y 都是正整数，且0<x<10，0≤y ≤9，那么 它们的和、差的范围是：0<x+y<___, ___<x －y<___.7. 已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=÷=⋅=-=+Dx x Cx x B x x A x x 且A+B+C+D=100，则x=＿＿＿.8. 已知被除数是100以内的自然数，在○和( )填上适当的数，使如下带余除法的运算成立：○÷()()()⎪⎩⎪⎨⎧===6655449. 已知a+2=b －2=c ×2=d ÷2 且a+b+c+d=1989. 则a=___，b=___，c=___，d=___.10. 若a,b,c,d 是互不相等的整数，且 abcd=4. 则a+b+c+d=_____.11. 求下列方程的整数解： ①2x+2y=xy ； ②2x+10y=1991.12. m 取什么整数值时，下列方程有正整数解？① (x －1)=4－x ； ②m 2x 2－18mx+72=x 2－6x..13. 已知长方形的长和宽都是整数值，且周长与面积的数值相同，求这个长方形的 长和宽.14. 方程(x －a)(x －8)－1=0有两个整数根，求a 的值.15. 已知a,b 是自然数且互质，试问关于x 的方程：x 2－abx+21(a+b)=0 是否有自然数解(两解都是自然数)假如有，把它求出来，假如没有请给予证明.16. 两个自然数的和比积小1000，其中一个是完全平方数，求这两个自然数.练习54参考答案：1.x=994, y=9932.有8个解.3①2，2 ②1，2，3 ③1，1，2，4 ④x 1=x 2=x 3=……= x 1998=1， x 1999=2，x 2023=20234. 10 11，－11，－125. 1，26. 0<x+y<19 , –9<x －y<10 x+y=1,2,3...18, x －y=－8,－7,...0,1, (9)7. 9 8. 60,14,11,9 9. 440,444,221,884 10. 011 ①6个解②12个解 12①0，2，－2，4②－2 13. 6和3；4和414. 8 15. 有自然数1和2（先求出a=1,b=3） 16. 144和8。
2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习用交集解题
初中数学竞赛精品标准教程及练习（12）用交集解题一、内容提纲某种对象的全体组成一个集合。
组成集合的各个对象叫这个集合的元素。
例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集。
几个集合的交集可用图形形象地表达，右图中左边的椭圆表达正数集合，右边的椭圆表达整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组⎩⎨⎧<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x>3. 如数轴所示：0 2 34．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。
把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐个筛选、剔除，求得答案。
（如例2）整数集正数集正整数集二、例题例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
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8．已知 x2 x 1 0 ,求 x3 2x 1的值。
ab bc ca ５.已知 m2 mn 15, mn n2 6 ，求 3m2 mn 2n2 的值。
6.已知 abc 1,求 a b c 的值。 ab a 1 bc b 1 ac c 1
7.已知 ab 1，比较 M、N 的大小。 M 1 1 , 1 a 1b
N a b 。 1 a 1b
二、【典型例题解析】：
１. 如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的( )
A.相反数 B.倒数
C.绝对值
Ｄ．平方
2. 已 知 两 数 a 、 b 互 为 相 反 数 ， c 、 d 互 为 倒 数 , x 的 绝 对 值 是 2, 求
x2 (a b cd )x (a b)2006 (cd )2007 的值。
6.如果 abc 0，求 | a | | b | | c | 的值。 abc
7. x 是什么样的有理数时 | (x 2) (x 4) || x 2 | | x 4 | 等式成立?
第三讲 有理数(三)
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
第二讲 有理数（二）
一、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
① | a || a 0 | 表示数 a 对应的点到原点的距离。② | a b | 表示数 a 、 b 对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】:
１.若 2 a 0,化简| a 2 | | a 2 |
13 35
99 101
第四讲 代数式一)
一、【能力训练点】:
(1）列代数式；
（2）代数式的意义；
(3)代数式的求值（整体代入法）
二、【典型例题解析】：
1.求代数式的值:
（１）已知 2a b 5 ，求代数式 2(2a b) 3(a b) 的值。
ab
a b 2a b
(2)已知 x 2 y2 5 的值是７，求代数式 3x 6 y2 4 的值。
（３)已知 1 1 3，求 2a 2b ab 的值。
ba
a b 2ab
（4)已知:当 x 1时，代数式 Px3 qx 1的值为 20０7,求当 x 1 时，代数式 Px3 qx 1的值。
(5)已知等式 (2A 7B)x (3A 8B) 8x 10 对一切 x 都成立,求 A、B 的值。
3.如果在数轴上表示 a 、 b 两上实数点的位置，如下图所示,那么| a b | | a b | 化简的结果等于( ）
A. 2a
B. 2a
C.０
D. 2b
4.有 3 个有理数ａ,ｂ，c，两两不等，那么 a b , b c , c a 中有几个负数？ bc ca ab
５.设三个互不相等的有理数,既可表示为 1， a b, a 的形式式,又可表示为０, b ， b 的形式，求 a
23
1996 2 3 4
1997
2 3 1997 2 3 4
1996
3.计算：
Sn
22 22
1 1
32 32
1 1
42 42
1 1
n2 n2
1 1
4.比较
Sn
1 2
2 4
3 8
4 16
n 2n
与
2
的大小。
5．计算(1) 1 1 1 1 1 4 28 70 130 208
（2） 2 2 2
初中数学竞赛教程
———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：
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七年级
第一讲 有理数（一)
一、【能力训练点】
１、正负数，数轴,相反数,有理数等概念。
２、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义,能表成 m （ n 0, m, n 互质)。 n
a2006 b2007 。
6. 三 个 有 理 数 a,b, c 的 积 为 负 数 ， 和 为 正 数 ， 且 X a b c | ab | | bc | | ac | 则 | a | | b | | c | ab bc ac
ax3 bx2 cx 1的值是多少?
7.若 a, b, c 为整数,且| a b |2007 | c a |2007 1，试求| c a | | a b | | b c | 的值。
4、性质:① 顺序性（可比较大小）;
② 四则运算的封闭性(0 不作除数）；
③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：
①
a(a 0) | a | a(a 0)
② 非负性 (| a | 0, a2 0)
③ 非负数的性质: i）非负数的和仍为非负数。ｉｉ)几个非负数的和为 0,则他们都为 0。
3、巧算的一般性技巧:
① 凑整（凑 0）;
② 巧用分配律
③ 去、添括号法则;
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】：
1.计算： 0.71 2 6.6 3 2.2 7 0.7 9 3.3 7
11
7
3
11
8
④ 裂项法
2． (1 1 1 1 ) (1 1 1 1 ) (1 1 1 1 ) (1 1 1 1 )
(6）已知 (1 x)2 (1 x) a bx cx2 dx3 ,求 a b c d 的值。 （7)当多项式 m2 m 1 0 时，求多项式 m3 2m2 2006 的值。 2. 已知多项式 2 y 5x2 9xy2 3x 3nxy2 my 7 经合并后，不含有 y 的项，求 2m n 的值。 ３.当 50 (2a 3b)2 达到最大值时，求1 4a2 9b2 的值。 4．若 a,b, c 互异，且 x y ,求 x y Z 的值。
２.试化简| x 1| | x 2 |
3．若| x 5 | | x 2 | 7 ,求 x 的取值范围。 4．已知 f (x) | x 1| | x 2 | | x 3 | | x 2002 |求 f (x) 的最小值。 ５.若| a b 1| 与 (a b 1)2 互为相反数，求 3a 2b 1的值。