初中数学竞赛教程

8．已知 x2 x 1 0 ,求 x3 2x 1的值。
ab bc ca ５.已知 m2 mn 15, mn n2 6 ，求 3m2 mn 2n2 的值。
6.已知 abc 1,求 a b c 的值。 ab a 1 bc b 1 ac c 1
7.已知 ab 1，比较 M、N 的大小。 M 1 1 , 1 a 1b
N a b 。 1 a 1b
二、【典型例题解析】：
１. 如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的( )
A.相反数 B.倒数
C.绝对值
Ｄ．平方
2. 已 知 两 数 a 、 b 互 为 相 反 数 ， c 、 d 互 为 倒 数 , x 的 绝 对 值 是 2, 求
x2 (a b cd )x (a b)2006 (cd )2007 的值。
6.如果 abc 0，求 | a | | b | | c | 的值。 abc
7. x 是什么样的有理数时 | (x 2) (x 4) || x 2 | | x 4 | 等式成立?
第三讲 有理数(三)
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
第二讲 有理数（二）
一、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
① | a || a 0 | 表示数 a 对应的点到原点的距离。② | a b | 表示数 a 、 b 对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】:
１.若 2 a 0,化简| a 2 | | a 2 |
13 35
99 101
第四讲 代数式一)
一、【能力训练点】:
(1）列代数式；
（2）代数式的意义；
(3)代数式的求值（整体代入法）
二、【典型例题解析】：
1.求代数式的值:
（１）已知 2a b 5 ，求代数式 2(2a b) 3(a b) 的值。
ab
a b 2a b
(2)已知 x 2 y2 5 的值是７，求代数式 3x 6 y2 4 的值。
（３)已知 1 1 3，求 2a 2b ab 的值。
ba
a b 2ab
（4)已知:当 x 1时，代数式 Px3 qx 1的值为 20０7,求当 x 1 时，代数式 Px3 qx 1的值。
(5)已知等式 (2A 7B)x (3A 8B) 8x 10 对一切 x 都成立,求 A、B 的值。
3.如果在数轴上表示 a 、 b 两上实数点的位置，如下图所示,那么| a b | | a b | 化简的结果等于( ）
A. 2a
B. 2a
C.０
D. 2b
4.有 3 个有理数ａ,ｂ，c，两两不等，那么 a b , b c , c a 中有几个负数？ bc ca ab
５.设三个互不相等的有理数,既可表示为 1， a b, a 的形式式,又可表示为０, b ， b 的形式，求 a
23
1996 2 3 4
1997
2 3 1997 2 3 4
1996
3.计算：
Sn
22 22
1 1
32 32
1 1
42 42
1 1
n2 n2
1 1
4.比较
Sn
1 2
2 4
3 8
4 16
n 2n
与
2
的大小。
5．计算(1) 1 1 1 1 1 4 28 70 130 208
（2） 2 2 2
初中数学竞赛教程
———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：
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七年级
第一讲 有理数（一)
一、【能力训练点】
１、正负数，数轴,相反数,有理数等概念。
２、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义,能表成 m （ n 0, m, n 互质)。 n
a2006 b2007 。
6. 三 个 有 理 数 a,b, c 的 积 为 负 数 ， 和 为 正 数 ， 且 X a b c | ab | | bc | | ac | 则 | a | | b | | c | ab bc ac
ax3 bx2 cx 1的值是多少?
7.若 a, b, c 为整数,且| a b |2007 | c a |2007 1，试求| c a | | a b | | b c | 的值。
4、性质:① 顺序性（可比较大小）;
② 四则运算的封闭性(0 不作除数）；
③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：
①
a(a 0) | a | a(a 0)
② 非负性 (| a | 0, a2 0)
③ 非负数的性质: i）非负数的和仍为非负数。ｉｉ)几个非负数的和为 0,则他们都为 0。
3、巧算的一般性技巧:
① 凑整（凑 0）;
② 巧用分配律
③ 去、添括号法则;
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】：
1.计算： 0.71 2 6.6 3 2.2 7 0.7 9 3.3 7
11
7
3
11
8
④ 裂项法
2． (1 1 1 1 ) (1 1 1 1 ) (1 1 1 1 ) (1 1 1 1 )
(6）已知 (1 x)2 (1 x) a bx cx2 dx3 ,求 a b c d 的值。 （7)当多项式 m2 m 1 0 时，求多项式 m3 2m2 2006 的值。 2. 已知多项式 2 y 5x2 9xy2 3x 3nxy2 my 7 经合并后，不含有 y 的项，求 2m n 的值。 ３.当 50 (2a 3b)2 达到最大值时，求1 4a2 9b2 的值。 4．若 a,b, c 互异，且 x y ,求 x y Z 的值。
２.试化简| x 1| | x 2 |
3．若| x 5 | | x 2 | 7 ,求 x 的取值范围。 4．已知 f (x) | x 1| | x 2 | | x 3 | | x 2002 |求 f (x) 的最小值。 ５.若| a b 1| 与 (a b 1)2 互为相反数，求 3a 2b 1的值。