ch4函数的插值与拟合法.ppt
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十讲插值与拟合ppt课件
容易确定．例如知道时间与因变量有二次函数
关系，且过原点。
2019/7/27
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19
10.6 曲线拟合
• 所以选取 r1(x)x2,r2(x)x ，用
ya1x2 a2x
作拟合．若无法知道y与x之间的关系，
通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…，
n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
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10.6 曲线拟合
• 1．线性最小二乘法
• 曲线拟合问题的提法是，已知一组 （二维）数据，即平面上的n个点（xi,yi)， i=1，2，…，n，xi互不相同，寻求一个 函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如下图， 图中δi为（x i ，y i） 与y=f(x)的距离）．
• 拟合准则是使n个点（xi，yi），i=1，2，…，
n，与y＝f（xi）的距离δi的平方和最小，称最 小二乘准则．
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10.6 曲线拟合
2．函数rk (x) 的选取
• 面对一组数据（xi，yi）， i = 1， 2，…n，用
线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是 关键的一步是恰当地选取 r1(x)r,2(x) , rm (x) 如果通过机理分析、能够知道 y与 x之间应 该有什么样的函数关系，则 r1(x)r,2(x) , rm (x)
• 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi， 每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内 插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩 阵 ， 则 按 Y 的 每 列 计 算 。 yi 是 阶 数 为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
关系，且过原点。
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10.6 曲线拟合
• 所以选取 r1(x)x2,r2(x)x ，用
ya1x2 a2x
作拟合．若无法知道y与x之间的关系，
通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…，
n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
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10.6 曲线拟合
• 1．线性最小二乘法
• 曲线拟合问题的提法是，已知一组 （二维）数据，即平面上的n个点（xi,yi)， i=1，2，…，n，xi互不相同，寻求一个 函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如下图， 图中δi为（x i ，y i） 与y=f(x)的距离）．
• 拟合准则是使n个点（xi，yi），i=1，2，…，
n，与y＝f（xi）的距离δi的平方和最小，称最 小二乘准则．
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10.6 曲线拟合
2．函数rk (x) 的选取
• 面对一组数据（xi，yi）， i = 1， 2，…n，用
线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是 关键的一步是恰当地选取 r1(x)r,2(x) , rm (x) 如果通过机理分析、能够知道 y与 x之间应 该有什么样的函数关系，则 r1(x)r,2(x) , rm (x)
• 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi， 每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内 插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩 阵 ， 则 按 Y 的 每 列 计 算 。 yi 是 阶 数 为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
计算方法教学课件(共八章)第五章函数插值与曲线拟合
用A矩阵的元素值填充B矩阵的元素值。
设矩阵的行坐标和列坐标为从 0 开始的整数
Bx为欲填充的矩阵 B某个位置的横坐标
By为欲填充的矩阵 B某个位置的纵坐标
Ax为B映射回矩阵A之后该位置的横坐标
Ay为B映射回矩阵A之后该位置的纵坐标
则有对应关系如下：
Ax=Bx× (A的列数/ B的列数)
Ay=By× (A的行数/ B的行数)
24
(5.2.6)
24
• 将F的表达式代入(5.2.6)式，得插值余项公式
其中ξ∈(a,b).
25
25
5.2.3 插值公式
26
1 线性插值
已知函数表
x x0 x1
y y0 y1
要构造一个次数不超过1次的多项式L1(x)，使得
它满足插值条件
i 0,1
L1 ( xi ) yi
27
线性插值
道具体的解析表达式
•有明确的解析表达式，但由于形式复
杂，不便于进行分析和计算
12
数学描述
设函数y=f (x)在[a,b]上是有定义的，已知x0, x1,···, xn
∈ [a,b] 及f (x)在xi(i=0,1,...,n)点的值yi=f(xi)或直至r阶
导数值f(k)(xi) k=1,...,r.若存在一个简单函数，使
i 0,1, 2
31
2 抛物线插值
y
y1
x0
y=f(x)
y2
y
y0
0
L2 ( x)
x1
x
y=L2(x)
x2
x
32
2 抛物线插值
( x x0 )( x x2 )
( x x1 )( x x2 )
拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
第五章插值法与曲线拟合插值法精品PPT课件
f (n1) (x
(n 1)!
)
wn1(x)
,
x (a,b)
n
Ln(x) f (xi)li(x)
i0
其中
li(x ) (( x x i x x 0 0 ))(( x x i x x ii 1 1 ) )( (x x i x x ii 1 1 ) )
(x x n ) ,i
(x i x n )
计算各阶差分可按如下差分表进行.
向前差分表
xi fi fi 2 fi 3 fi
n fi
x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2 f0 x3 f3 f2 2 f1 3 f0
xn fn fn1 2 fn2 3 fn3
n f0
差分具有如下性质:
.
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函值
(1)
使满足
cn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn 1)
N n (x i) f(x i), i 0 ,1 , n
(2)
为了使 N n ( x ) 的形式得到简化,引入如下记号
0(x)1
i(x)(xxi1)i1(x)
(3)
(xx0)(xx1) (xxi1), i1,2, n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0(x),1(x), ,n(x)
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x k] f[x 0 ,x 1 ,
2 f (xi ) (f (xi )) ( f (xi h) f (xi )) f (xi h) f (xi ) f (xi 2h) 2 f (xi h) f (xi )
工程计算4插值和拟合
Rn(x) = f(x) Ln(x)=
+ f[x0,x1,…,xn]n (x)
均差与插值点次序无关，因此，如果增加一个新的 插值点，以前的计算公式不变。
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4.2 插值
牛顿插值余项为
Rn(x) = (xx0) (xx1)…(xxn) f[x,x0,…,xn]
= n+1 (x)f[x0,x1,…,xn]
显然
Rn(xi) =0
记子区间的最大长度
h0m ianx1(xi1,xi)
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4.3 分段插值
n
则称分段线性函数 lh(x) li(x) f (xi) i0
为f(x)在区间[a,b]上关于划分的分段线性插值多项式
其中插值基函数
li(x) ((x x x xii 1 1))//((x xii x xii 1 1))
则
R n(x)f((n n1 )(1)!x) n1(x) x [a,b]
如果f(x)C2[a，b]，采用线性插值，令
M2
max| x[a,b]
f(x)|
则
| Rn(x)|M82 (ba)2
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4.2 插值
4.2.3 均差和牛顿插值 如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。
1
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4.2 插值
n=3时的基函数
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0
0
0
1
2
0
1
l (3)
0
l (3)
1
插值与拟合
当 x ∈ [ x i 1 , x i ] 时, S ( x ) 的表达式由(2.3.4)平移下标可得 的表达式由 平移下标可得, 平移下标可得 因此有
S ′( x i 0) = f [ x i 1 , x i ] + hi 1 ( M i 1 + 2 M i ). 6
利用条件 S ′( x i + 0) = S ′( x i 0) 得
第二章 插值与拟合
2.3.2 三弯矩算法
可以有多种表达式， 三次样条插值函数 S ( x ) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
S′ 值′ ( x i ) = M
i
( i = 0 ,1 , , n )
M
i
表示时，使用更方便。 表示时，使用更方便。 在力学上解释 ( x) 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关， 为细梁在 S处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故 Mi 的算法为三弯矩算法 三弯矩算法。 称用 表示 的算法为三弯矩算法。 由于 S ( x )在区间 [ x i , x i + 1]( i = 0 ,1, , n 1) 上是三次多项式， 上是三次多项式， 故 S ′′( ) [ , ]
0
先消去 M 3 和 M 3 得
3 .5 1 1 3 .5
M M
1
5 .1 = 10 . 5 2
由此解得 M 1 = 2.52, M 2 = 3.72 。 代回方程组得 M 0 = 0.36, M 3 = 0.36. 的值代入三次样条插值函数的表达式（ ），经化简有 用 M 0 , M 1 , M 2 , M 3的值代入三次样条插值函数的表达式（2.3.4），经化简有 ），
n
=λn0来自= 0,第二章 插值与拟合
《Ch插值法》课件
使用Ch插值法计算缺失值，并生成插值结果。
4
结果可视化
将插值结果可视化以便于观察和分析。
VIII. 使用Matlab进行Ch插值法
探讨如何使用Matlab编写Ch插值法的代码，并提供实际案例进行演示。
IX. 使用Python进行Ch插值法
介绍如何使用Python编写Ch插值法的代码，并提供示例代码和应用场景。
《Ch插值法》PPT课件
欢迎来到本次《Ch插值法》PPT课件。本课程将详细介绍Ch插值法的原理、 应用及其与其他插值方法的比较，帮助您更好地理解和应用该方法。
I. 介绍Ch插值法
简要介绍Ch插值法，包括其基本概念和定义。
II. 插值方法概述
概述插值方法的基本概念和常见应用领域。
III. Ch插值法的原理
XIV. 参考文献
列出本课件中所引用的相关参考文献。
XV. Q&A
留出时间回答听众提出的问题并进行讨论。
XVI. 附录：Ch插值法的代码实现
在附录中给出Ch插值法的代码实现，以供有兴趣的听众参模板，帮助听众撰写和呈现实验结果。
XVIII. 课程案例分享
X. Ch插值法应用实例
给出具体的应用实例，例如在地理信息系统中的空间数据插值。
XI. Ch插值法的误差分析
分析Ch插值法的误差来源，以及如何评估和减小误差。
XII. Ch插值法的改进与发展趋 势
展望Ch插值法的改进方向和未来发展趋势。
XIII. 总结与展望
总结Ch插值法的主要内容，并展望未来该方法的应用和发展。
VI. Ch插值法与其他插值方法的比较
准确性
比较Ch插值法与其他方法的准确 性。
性能
比较Ch插值法与其他方法的性能 和效率。
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设 f (x) 在区间[a,b]上连续,若 x0 [a,b], 则定义
g1(x)
f (x) f (x0 ) x x0
(x x0; x [a,b])
为 f (x) 在[a,b]上关于点x0 的一阶均差函数,记为 f [x0, x];特别地, 称
f [x0 , x1] g1(x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
x 1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
lnx 0.182322 0.262364 0.336472 0.405465 0.470004 0.530628
试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。
解 作线性插值 得
ln 1.46 1.46 1.5 ln 1.4 1.46 1.4 ln 1.5 0.377868
例 4.3 试用列表法对例4.2的表格函数求 f[1, 3, 5, 7]
解 列表计算得
xi
f(xi)
一阶均差 二阶均差 三阶均差
1
7
-13
-1.75
1.125
3
-19
-20
5
5
-59
0
7
-59
所以 f [1, 3, 5, 7] = 1.125
由均差定义，我们有
f (x) f (x0 ) f [x0 , x](x x0 ) f [x0 , x] f [x0 , x1 ] f [x0 , x1, x](x x1 ) f [x0 , x1, x] f [x0 , x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 , x](x x2 )
Ln (xi ) yi (i 0,1, , n) 的 n 次拉格朗日插值多项式，
则存在 (x) (min(x0, x),max(x, xn )) (a,b)
使得
Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x),
x
[a,
b]
(4 7)
这里 Rn (x) f (x) Ln (x) 称为用Ln (x)近似代替f (x)的 截断误差，或称为Ln (x)的（插值）余项。
x0 ,
,
xk
和
1
k
1阶
均差函数gk1(x) f [x0 , , xk2 , x],定义
g k(x)
gk 1(x) gk 1(xk 1) x xk 1
f [x0 , , xk2 , x] f [x0 , , xk2 , xk1] x xk 1
(x x j ; j 0,1, , k 1; x [a,b])
n
Ln (x) yili (x) yi
i0
i0
n ji
x xj xi x j
j0
(4 5)
它称为n次拉格朗日插值多项式
n
引进 n+1 多项式函数 n1(x) (x xj ) j0
(4 6)
和 i (x) n1(x) /(x xi )
拉格朗日插值多项式可
表示为
Ln (x)
n i0
应的插值法称为多项式插值；当P(x)为三角多项式时，相
应的插值法称为三角插值；当P(x)为分段解析函数时，相
应的插值法称为分段插值。其中三角插值主要用于处理周
期函数。本章仅介绍最基本的多项式插值。
定理 4.1 在 n+1 个互异点 x0 , x1 , , xn 上满足插值条 件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式 Pn (x) 存在且惟一。
Nn1(x) f [x0 , x1, , xn ]n (x)
k 1
其中k (x) (x x j ) (k 1,2, n) j0
Rn (x) f [x0 , x1, , xn , x]n1(x)
称为Nn (x)近似 f (x)的余项。
(4 18) (4 19) (4 20)
下面证明 Nn (x)是一个插值多项式。
yi
i (x) i (xi )
n=1时称为线性插值，
形为
L1 ( x)
y0n=2时称为抛物插值。
定理 4.2 （误差估计定理）
设 f (n) (x) 在[a, b]上连续，f (n1) (x)在(a,b)上存在，
a x0 x1 xn b, Ln (x) 为满足插值条件
(x1 x0; x1 [a, b])
为 f (x)关于点x0 , x1的一阶均差。
进一步, 我们定义
g2(x)
g1(x) g1(x1) x x1
f [x0 , x] f [x0 , x1] x x1
(x x0 , x1; x [a,b])
为 f (x) 在 [a,b] 上关于点 x0, x1 的二阶均差函数,记为
解 首先由定义得
f [0,4] f (4) f (0) 12.25 40
再由 f [0,2] f (2) f (0) 3 10 6.5
20
2
得 f [0,2,4] f [0,4] f [0,2] 2.875 42
又由 f [0,8] f (8) f (0) 0.125 80
f [x0 , x1, x]; 特别地, 称
f [x0 , x1, x2 ] g2 (x2 )
f [x0 , x2 ] f [x0 , x1] x2 x1
(x2 x0 , x1; x2 [a, b])
为 f (x)关于点x0 , x1, x2 的二阶均差。
一般地，对于[a, b] 上的互异点
第四章 函数的插值与拟合法
4.1 引言 4.2 插值多项式的构造 4.3 分段低次插值 4.4 最小二乘法
4.1 引言
定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不 相同的点 x0 , x1, xn (a x0 xn b) 上取值 y0 , y1, yn 。 如果存在一性态较好的简单函数P(x)，使得
(4 13) (4 14) (4 15)
f [x0 , , xn1, x] f [x0 , , xn ] f [x0 , , xn , x](x xn ) (4 16)
把（4 14）代入（4 13）得
f (x) f (x0 ) f [x0 , x1 ]( x x0 ) f [x0 , x1, x]( x x0 )( x x1 )
得 Ai n
1
ji j0
(xi x j )
ji
j0
li (x)
n ji
(x xj) (xi x j )
(i 0,1, , n)
j0
l0 (x), l1(x), ln (x) 称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基 函数（或称为拉格朗日基本插值多项式）。据之，我们可
构造多项式
n
（3） 若 f (x) 在区间[a,b]上一阶导数连续, x j [a,b]( j 0,1, n)互异，
则定义带重节点的均差
f [x0 , x0 , x1,
xn ]
lim
x x0
f [x, x0 , x1,
, xn ],则
f [x0 , x0 , x1, , xn ] f '[x1, , xn , x] xx0
由此知，均差与节点的排列顺序无关，即有
f [x0 , x1, , xk ] f [xi0 , xi1 , , xik ]
(i0 ,i1, ik为0，1， k 的任一排列）
这性质又称为均差关于自变量对称
（2） 若 Pn (x)为n次多项式，则其k 阶均差函数Pn[x0 , , xk1, x] 当 k n时为n k 次多项式，当k n时恒为零。
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln 1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
误差为
R2
0.7289 3!
(1.46 1.4)(1.46 1.5)(1.46 1.6)
4.1105
精确值为 ln1.46 0.37843643
4.2.2 牛顿均差插值多项式
定义 4.2（均差）
记为N1 (x) R1 (x)
(4 17)
再把（4 15）代入（4 17）得
f (x) f (x0 ) f [x0 , x1 ](x x0 ) f [x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 )
f [x0 , x1, x2 , x](x x0 )(x x1 )(x x2 )
证 记
n
Pn (x) ak xk ( a0 , a1, , an 为实数 )
k 0
(4 2)
即有
1 x0
1 x1
1 xn
x0n a0 y0
x1n xnn
a1 an
y1 yn
(4 2)
n i1
因为 A Vn ( x0 , x1, xn )
(xi x j ) 0
i1 j0
所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 Pn (x) 存在 且惟一，证毕。
4.2 插值多项式的构造
4.2.1 拉格朗日插值多项式
对给定的n+1个次数 n次的插值多项式li (x) (i 0,1, , n)
li (x j )
ij
1 0
i j i j
i, j {0,1, n}
1.4 1.5
1.5 1.4
误差为
R1
0.51002 2!
(1.46 1.4)(1.46 1.5)
6.12104
作抛物插值 得
ln 1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln 1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln 1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
g1(x)
f (x) f (x0 ) x x0
(x x0; x [a,b])
为 f (x) 在[a,b]上关于点x0 的一阶均差函数,记为 f [x0, x];特别地, 称
f [x0 , x1] g1(x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
x 1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
lnx 0.182322 0.262364 0.336472 0.405465 0.470004 0.530628
试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。
解 作线性插值 得
ln 1.46 1.46 1.5 ln 1.4 1.46 1.4 ln 1.5 0.377868
例 4.3 试用列表法对例4.2的表格函数求 f[1, 3, 5, 7]
解 列表计算得
xi
f(xi)
一阶均差 二阶均差 三阶均差
1
7
-13
-1.75
1.125
3
-19
-20
5
5
-59
0
7
-59
所以 f [1, 3, 5, 7] = 1.125
由均差定义，我们有
f (x) f (x0 ) f [x0 , x](x x0 ) f [x0 , x] f [x0 , x1 ] f [x0 , x1, x](x x1 ) f [x0 , x1, x] f [x0 , x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 , x](x x2 )
Ln (xi ) yi (i 0,1, , n) 的 n 次拉格朗日插值多项式，
则存在 (x) (min(x0, x),max(x, xn )) (a,b)
使得
Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x),
x
[a,
b]
(4 7)
这里 Rn (x) f (x) Ln (x) 称为用Ln (x)近似代替f (x)的 截断误差，或称为Ln (x)的（插值）余项。
x0 ,
,
xk
和
1
k
1阶
均差函数gk1(x) f [x0 , , xk2 , x],定义
g k(x)
gk 1(x) gk 1(xk 1) x xk 1
f [x0 , , xk2 , x] f [x0 , , xk2 , xk1] x xk 1
(x x j ; j 0,1, , k 1; x [a,b])
n
Ln (x) yili (x) yi
i0
i0
n ji
x xj xi x j
j0
(4 5)
它称为n次拉格朗日插值多项式
n
引进 n+1 多项式函数 n1(x) (x xj ) j0
(4 6)
和 i (x) n1(x) /(x xi )
拉格朗日插值多项式可
表示为
Ln (x)
n i0
应的插值法称为多项式插值；当P(x)为三角多项式时，相
应的插值法称为三角插值；当P(x)为分段解析函数时，相
应的插值法称为分段插值。其中三角插值主要用于处理周
期函数。本章仅介绍最基本的多项式插值。
定理 4.1 在 n+1 个互异点 x0 , x1 , , xn 上满足插值条 件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式 Pn (x) 存在且惟一。
Nn1(x) f [x0 , x1, , xn ]n (x)
k 1
其中k (x) (x x j ) (k 1,2, n) j0
Rn (x) f [x0 , x1, , xn , x]n1(x)
称为Nn (x)近似 f (x)的余项。
(4 18) (4 19) (4 20)
下面证明 Nn (x)是一个插值多项式。
yi
i (x) i (xi )
n=1时称为线性插值，
形为
L1 ( x)
y0n=2时称为抛物插值。
定理 4.2 （误差估计定理）
设 f (n) (x) 在[a, b]上连续，f (n1) (x)在(a,b)上存在，
a x0 x1 xn b, Ln (x) 为满足插值条件
(x1 x0; x1 [a, b])
为 f (x)关于点x0 , x1的一阶均差。
进一步, 我们定义
g2(x)
g1(x) g1(x1) x x1
f [x0 , x] f [x0 , x1] x x1
(x x0 , x1; x [a,b])
为 f (x) 在 [a,b] 上关于点 x0, x1 的二阶均差函数,记为
解 首先由定义得
f [0,4] f (4) f (0) 12.25 40
再由 f [0,2] f (2) f (0) 3 10 6.5
20
2
得 f [0,2,4] f [0,4] f [0,2] 2.875 42
又由 f [0,8] f (8) f (0) 0.125 80
f [x0 , x1, x]; 特别地, 称
f [x0 , x1, x2 ] g2 (x2 )
f [x0 , x2 ] f [x0 , x1] x2 x1
(x2 x0 , x1; x2 [a, b])
为 f (x)关于点x0 , x1, x2 的二阶均差。
一般地，对于[a, b] 上的互异点
第四章 函数的插值与拟合法
4.1 引言 4.2 插值多项式的构造 4.3 分段低次插值 4.4 最小二乘法
4.1 引言
定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不 相同的点 x0 , x1, xn (a x0 xn b) 上取值 y0 , y1, yn 。 如果存在一性态较好的简单函数P(x)，使得
(4 13) (4 14) (4 15)
f [x0 , , xn1, x] f [x0 , , xn ] f [x0 , , xn , x](x xn ) (4 16)
把（4 14）代入（4 13）得
f (x) f (x0 ) f [x0 , x1 ]( x x0 ) f [x0 , x1, x]( x x0 )( x x1 )
得 Ai n
1
ji j0
(xi x j )
ji
j0
li (x)
n ji
(x xj) (xi x j )
(i 0,1, , n)
j0
l0 (x), l1(x), ln (x) 称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基 函数（或称为拉格朗日基本插值多项式）。据之，我们可
构造多项式
n
（3） 若 f (x) 在区间[a,b]上一阶导数连续, x j [a,b]( j 0,1, n)互异，
则定义带重节点的均差
f [x0 , x0 , x1,
xn ]
lim
x x0
f [x, x0 , x1,
, xn ],则
f [x0 , x0 , x1, , xn ] f '[x1, , xn , x] xx0
由此知，均差与节点的排列顺序无关，即有
f [x0 , x1, , xk ] f [xi0 , xi1 , , xik ]
(i0 ,i1, ik为0，1， k 的任一排列）
这性质又称为均差关于自变量对称
（2） 若 Pn (x)为n次多项式，则其k 阶均差函数Pn[x0 , , xk1, x] 当 k n时为n k 次多项式，当k n时恒为零。
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln 1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
误差为
R2
0.7289 3!
(1.46 1.4)(1.46 1.5)(1.46 1.6)
4.1105
精确值为 ln1.46 0.37843643
4.2.2 牛顿均差插值多项式
定义 4.2（均差）
记为N1 (x) R1 (x)
(4 17)
再把（4 15）代入（4 17）得
f (x) f (x0 ) f [x0 , x1 ](x x0 ) f [x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 )
f [x0 , x1, x2 , x](x x0 )(x x1 )(x x2 )
证 记
n
Pn (x) ak xk ( a0 , a1, , an 为实数 )
k 0
(4 2)
即有
1 x0
1 x1
1 xn
x0n a0 y0
x1n xnn
a1 an
y1 yn
(4 2)
n i1
因为 A Vn ( x0 , x1, xn )
(xi x j ) 0
i1 j0
所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 Pn (x) 存在 且惟一，证毕。
4.2 插值多项式的构造
4.2.1 拉格朗日插值多项式
对给定的n+1个次数 n次的插值多项式li (x) (i 0,1, , n)
li (x j )
ij
1 0
i j i j
i, j {0,1, n}
1.4 1.5
1.5 1.4
误差为
R1
0.51002 2!
(1.46 1.4)(1.46 1.5)
6.12104
作抛物插值 得
ln 1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln 1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln 1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)