连续信号的卷积1
信号分析与处理答案第二版完整版
信号分析与处理答案第二版HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第二章习题参考解答求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解 (a)求冲激响应，当时，。
特征方程，解得特征根为。
所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。
所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t>0时，原方程变为：。
…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：求下列离散序列的卷积和。
(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。
当时：当时：当时：当时：当时：(7) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8) ，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9) ，解(10)，解或写作：求下列连续信号的卷积。
(1) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：(2) 和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：(3) ，解(4) ，解(5) ，解参见右图。
当时：当时：当时：当时：(6) ，解(7) ，解(8) ，解(9) ，解试求题图示系统的总冲激响应表达式。
解已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。
(1) ；解，，(2) ；，解，，，，可定出(3) ；，解，，，可定出某一阶电路如题图所示，电路达到稳定状态后，开关S 于时闭合，试求输出响应。
解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。
信号卷积计算公式(一)
信号卷积计算公式(一)信号卷积1. 什么是信号卷积？信号卷积是一种在时域中计算两个信号之间的乘积并求和的方法。
它是一种重要的信号处理技术，广泛应用于图像处理、语音识别、音频处理等领域。
2. 信号卷积的计算公式信号卷积的计算公式可以表示为：∞[k]⋅ℎ[n−k]y[n]=∑xk=−∞其中，x[n]和ℎ[n]分别表示输入信号和卷积核（也称为系统的冲击响应）的值。
3. 信号卷积的示例解释离散信号的卷积信号x[n]：考虑一个离散信号x[n]，其数值如下所示：n 0 1 2 3x[n] 1 2 -1 3信号ℎ[n]：接下来，我们定义另一个离散信号ℎ[n]，其数值如下所示：n 0 1 2 3ℎ[n]-1 0 1 2计算卷积结果y[n]：现在，我们可以使用信号卷积的计算公式来计算卷积结果y[n]，如下所示：∞[k]⋅ℎ[n−k]y[n]=∑xk=−∞当n=0时，有：y[0]=x[0]⋅ℎ[0−0]+x[1]⋅ℎ[0−1]+x[2]⋅ℎ[0−2]+x[3]⋅ℎ[0−3]=1⋅(−1)+2⋅0+(−1)⋅1+3⋅2=4依此类推，可以计算出当n=1、n=2、n=3时的y[n]。
最终，卷积结果y[n]如下所示：n 0 1 2 3y[n] 4 -1 -1 7连续信号的卷积信号x(t)：如果考虑连续信号的卷积，我们可以将卷积公式稍作修改。
考虑一个连续信号x(t)，其函数表达式为：x(t)=δ(t)+2δ(t−1)−δ(t−2)+3δ(t−3)其中，δ(t)表示单位冲激函数。
信号ℎ(t)：接下来，我们定义另一个连续信号ℎ(t)，其函数表达式为：ℎ(t)=−δ(t)+δ(t−1)+2δ(t−2)计算卷积结果y(t)：现在，我们可以使用修改后的信号卷积公式来计算卷积结果y(t)，如下所示：∞(τ)⋅ℎ(t−τ)dτy(t)=∫x−∞具体计算过程略。
总结信号卷积是一种重要的信号处理技术，可应用于离散信号和连续信号的处理。
通过计算输入信号与卷积核的乘积并求和，我们可以得到卷积结果。
信号与系统复习题
信号与系统试题库一、填空题绪论：1.离散系统的激励与响应都是____离散信号 __。
2.请写出“LTI ”的英文全称___线性非时变系统 ____。
3.单位冲激函数是__阶跃函数_____的导数。
4.题3图所示波形可用单位阶跃函数表示为()(1)(2)3(3)t t t t εεεε+-+---。
5．如果一线性时不变系统的输入为f(t)，零状态响应为y f (t )=2f (t-t 0)，则该系统的单位冲激响应h(t)为____02()t t δ-_________。
6. 线性性质包含两个容：__齐次性和叠加性___。
7. 积分⎰∞∞-ω--δ-δdt )]t t ()t ([e 0t j =___01j t e ω--_______。
8.已知一线性时不变系统，当激励信号为f(t)时，其完全响应为（3sint-2cost ）ε(t)；当激励信号为2f(t)时，其完全响应为(5sint+cost)ε(t)，则当激励信号为3f(t)时，其完全响应为___7sint+4cost _____。
9. 根据线性时不变系统的微分特性，若：f(t)−−→−系统y f (t) 则有：f ′(t)−−→−系统_____ y ′f (t)_______。
10. 信号f(n)=ε(n)·(δ(n)+δ(n-2))可_____δ(n)+δ(n-2)_______信号。
11、图1所示信号的时域表达式()f t =()(1)(1)tu t t u t --- 。
12、图2所示信号的时域表达式()f t =()(5)[(2)(5)]u t t u t u t +----。
13、已知()()()2f t t t t εε=--⎡⎤⎣⎦，则()f t '=()(2)2(2)u t u t t δ----。
14、[]2cos32td ττδτ-∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=8()u t 。
15、[]()1td τδττ-∞'-⎰=()()u t t δ+。
(完整版)信号与系统复习题
信号与系统试题库一、填空题绪论：1。
离散系统的激励与响应都是____离散信号 __。
2.请写出“LTI ”的英文全称___线性非时变系统 ____。
3.单位冲激函数是__阶跃函数_____的导数. 4.题3图所示波形可用单位阶跃函数表示为()(1)(2)3(3)t t t t εεεε+-+---。
5．如果一线性时不变系统的输入为f(t ），零状态响应为y f (t )=2f (t —t 0），则该系统的单位冲激响应h （t ）为____02()t t δ-_________。
6。
线性性质包含两个内容:__齐次性和叠加性___。
7。
积分⎰∞∞-ω--δ-δdt )]t t ()t ([e 0t j =___01j t e ω--_______。
8。
已知一线性时不变系统，当激励信号为f （t)时，其完全响应为（3sint-2cost ）ε(t ）;当激励信号为2f （t ）时，其完全响应为(5sint+cost ）ε(t),则当激励信号为3f(t ）时，其完全响应为___7sint+4cost _____。
9。
根据线性时不变系统的微分特性，若：f （t)−−→−系统y f (t)则有：f ′（t)−−→−系统_____ y ′f （t ）_______。
10。
信号f （n ）=ε（n ）·(δ（n)+δ（n-2）)可_____δ(n)+δ(n —2）_______信号。
11、图1所示信号的时域表达式()f t =()(1)(1)tu t t u t --- 。
12、图2所示信号的时域表达式()f t =()(5)[(2)(5)]u t t u t u t +----。
13、已知()()()2f t t t t εε=--⎡⎤⎣⎦，则()f t '=()(2)2(2)u t u t t δ----.14、[]2cos32t d ττδτ-∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=8()u t 。
实验二连续时间信号、离散信号卷积运算
实验二 连续时间信号、离散信号卷积运算一、实验目的⑴熟悉卷积的定义和表示；⑵掌握利用计算机进行卷积运算的原理和方法；⑶熟悉连续时间信号、离散信号的相关计算方法；⑷熟悉连续时间信号卷积运算、离散信号卷积运算函数c o nv 、反卷积de conv 函数等的应用。
二、实验原理1.卷积的定义：卷积是一种特殊函数与函数之间的计算。
连续时间信号卷积积分可以表示为：f(t)=f 1(t)*f 2(t)= τττd t f f )()(21-⎰∞∞-=τττd f t f )()(12⎰∞∞--离散信号卷积积分可以表示为：f 1(k)*f 2(k)=)()(21m k f m f n -∑∞-∞= ∞-<k<∞2.卷积计算的几何解法卷积积分计算从几何上可以分为四个步骤： 翻转 → 平移 → 相乘 → 叠加（积分）3.卷积积分的应用卷积积分是信号与系统时域分析的基本手段，主要应用于求系统零状态响应。
它将输入信号分解为众多的冲激函数之和，利用冲激响应可以很方便求解LT I 系统对任意激励的零状态响应。
设一个线性零状态响应系统，已知系统的单位冲激响应为h1（t ），当系统的激励信号为x （t ）时，系统的零状态响应为y z s (t)=τττd t h x t )()(0-⎰=τττd h t x t)()(0⎰- 可以简记为：y zs (t)=x(t)*h(t) 三、程序设计实验①采用函数c o nv 编程，实现离散时间序列的卷积和运算，完成两序列的卷积和，其中：f1（k ）={1，2，1}，对应的k1={-1，0，-1}；f2（k ）={1，1，1，1，1}，对应的k2={-2，-1，0，1，2}。
程序代码：k1=[-1,0,1];f1=[1,2,1];subpl o t(3,1,1)stem(k1,f1);title ('f1(k)');k2=[-2,-1,0,1,2];f2=[1,1,1,1,1];subpl o t(3,1,2)stem(k2,f2);title ('f2(k)');k3=k1(1)+k2(1):k1(end)+k2(end);f3=conv(f1,f2);subplo t(3,1,3)stem(k3,f3); title('f3(k)');程序运行结果的对应信号波形图：②求f1（t）=u（t）-u（t-2），f2（t）=e^（-3t）u（t）的卷积。
信号与系统 期末复习试卷1
， 22t k
第2页共4页
三、（10 分）如图所示信号 f t，其傅里叶变换
F jw F
f t，求（1）
F
0
（2）
F
jwdw
四 、（ 10
分）某
LTI
系统的系统函数
H s
s2
s2 2s 1
，已知初始状态
y0 0, y 0 2, 激励 f t ut, 求该系统的完全响应。
参考答案 一、选择题（共 10 题，每题 3 分 ，共 30 分，每题给出四个答案，其中只有一 个正确的）1、D 2、A 3、C 4、B 5、D 6、D 7、D 8、A 9、B 10、A
二、填空题（共 9 小题，每空 3 分，共 30 分）
1、 0.5k uk 2、 (0.5)k1u(k)
3、
s s
2 5
5、 (t) u(t) etu(t)
8、 et cos2tut
三、（10 分）
6、 1 0.5k1 uk
9、 66 ， 22k!/Sk+1 s
解：1）
F ( ) f (t)e jt dt
Atut Btut 2 Ct 2ut Dt 2ut 2
10、信号 f t te3tut 2的单边拉氏变换 Fs等于
A
2s
s
7 e 2s3 32
C
se
s
2 s 3
32
B
e 2s
s 32
D
e 2s3
ss 3
二、填空题（共 9 小题，每空 3 分，共 30 分）
1、卷积和[（0.5）k+1u(k+1)]* (1 k) =________________________
连续信号卷积
物理与电子信息学院学生实验报告t=0:0.01:10; subplot(2,3,4) plot(t,f1f2*0.01) axis([0,5,0,2])subplot(2,3,5) plot(t,f1f3*0.01) axis([0,5,0,2])subplot(2,3,6) plot(t,f2f3*0.01) axis([0,5,0,2])实验项目连续信号卷积所属课程信号与系统 成绩评定专业 级 班 实验地点 实验楼502实验日期 20 年 月 日 指导教师 学生姓名同 组 人一、实验目的：掌握使用 MATLAB 实现信号的卷积运算、卷积的可视化。
二、实验原理：卷积积分运算实际上可利用信号的分段求和来实现。
利用 MATLAB 计算连续信号的卷积，是通过离散序列的卷积和的近似实现的，将连续信号 f1(t) 、 f2(t) 以相等的时间间隔进行取样，得到离散序列 f1(k1Δ ) 、 f2(k2Δ ) 。
在 MATLAB 中，函数 conv() 、函数 deconv() 可用来求两个离散序列的卷积和与反卷积， conv() 函数的调用格式为： f=conv(f1,f2) 、 deconv() 函数的调用格式为： [f,k]=deconv(f1,f2,k1,k2) 。
要注意的是 k 如何确定。
三、实验内容 t=0:0.01:5;f1=(t/2).*(t>=0&t<2); subplot(2,3,1) plot(t,f1)axis([0,5,0,2])f2=(t>1&t<3); subplot(2,3,2) plot(t,f2)axis([0,5,0,2])f3=(t>=0&t<2); subplot(2,3,3) plot(t,f3)axis([0,5,0,2])f1f2=conv(f1,f2); f1f3=conv(f1,f3); f2f3=conv(f2,f3);四、实验总结（实验中所遇问题的原因分析及解决措施；本实验未解决的问题；对实验的改进；个人的收获等）。
连续时间信号的卷积及信号的频域分析 实验报告
课程实验报告题目：连续时间信号的卷积及信号的频域分析学院学生姓名班级学号指导教师开课学院日期实验内容：（一）连续时间信号的卷积问题1：用计算机算卷积是把连续信号进行采样，得到一个个离散数值，然后用数值计算代替连续信号的卷积，请推导数值计算与连续信号的卷积之间的关系。
（学生回答问题）上机题1.已知两个信号)2()1()(1---=t t t x εε和)1()()(2--=t t t x εε，试分别画出)(),(21t x t x 和卷积)()()(21t x t x t y *=的波形。
（上机原程序及所画出的波形图）T=0.01t1=1; t2=2;t3=0; t4=1;t=0:T: t2+t4x1=ones(size(t)).*((t>t1)-(t>t2));x2=ones(size(t)).*((t>t3)-(t>t4));y=conv(x1, x2)*T;subplot(3, 1, 1),plot(t, x1);ylabel('x1(t)');subplot(3, 1, 2),plot(t, x2);ylabel(‘x2(t)’);subplot(3, 1, 3),plot(t,y(1: (t2+t4)/T+1));ylabel (‘y(t)=x1*x2’);xlabel(‘----t/s ’);上机题2.已知两个信号)()(t e t x t ε-=和)()(2/t te t h t ε-=，试用数值计算法求卷积，并分别画出)(),(t h t x 和卷积)()()(t h t x t y *=的波形。
（上机原程序及所画出的波形图）t2=3,t4=11;T=0.01;t=0: T: t2+t4;x=exp(-t).*((t>0)-(t>t2));h=t.*exp(-t/2).*((t>0)-(t>t4));y=conv(x,h)*T;yt=4*exp(-t)+2*t.*exp(-1/2*t)-4*exp(-1/2*t);subplot(3, 1, 1),plot(t, x);ylabel(‘x(t)’);subplot(3, 1, 2),plot(t, h);ylabel(‘h(t)’);subplot(3, 1, 3),plot(t, y(1: (t2+t4)/T+1),t ,yt,'--r');legend(‘by numerical ’,’Theoretical ’);ylable(‘y=x*h ’);xlable(‘---t/s ’);实验内容：（二）信号的频域分析上机题3.求周期矩形脉冲信号的频谱图，已知s T s A 5.0,1.0,1===τ （上机原程序及所画出的波形图）a=1; tao=0.1; t=0.5;n0=t/tao;n=0: 2*n0;fn_p=a*tao/t*(sin(n*pi*tao/t+eps*(n==0)))./(n*pi*tao/t+eps*(n==0)); fn_pabs=abs(fn_p);fn_pang=angle(fn_p);fn_mabs=fliplr(fn_pabs(2: 11));fn_mang=-fliplr(fn_pang(2: 11));fnabs=[fn_mabs fn_pabs];fnang=[fn_mang fn_pang];subplot(2, 1, 1),stem((-2*n0: 2*n0), fnabs);text(4, 0.11, ‘amplitude spectrum ’);subplot(2, 1, 2),stem((-2*n0: 2*n0), fnang);text(-2, 2, ‘phase spectrum ’);xlable(‘n ’);grid问题2：改变信号的周期，比较他们的计算结果。
连续信号的微积分与卷积
6
计算示例2
画出如图15-2所示信号的一阶导数和积分的波形图。
解: (a)用Matlab的数值计算方法的程序如下
% 画微分和积分的程序(数值计算) exp15_1.m
f (t)
1
t0=-3;t1=3;dt=0.01;
t=t0:dt:t1;
f1=tripuls(t,4,0.5);
% 定义三角波
max_f=max(f1);min_f=min(f1);
运行程序后显 示的图形如图
15-4所示
11
计算示例4
例4 已知信号 f1(t)和 f2(t)的波形如图15-6(a)、(b)所示(其中 令A=2,B=3)。计算卷积积分 f (t) f1(t) f2(t) 。
解：程序如下：
% 计算连续信号的卷积(数值方法) exp15_3.m dt=0.01; t=-2:dt:4;
9
计算示例2
运行程序后显示的图形如图15-4所示
图15-4
10
计算示例3
已知三种有用的脉冲波形的信号能量如图15-5所示，试 用Matlab的积分运算来证明。
矩形脉冲
半周正弦波
三角脉冲
A
E A2b
A
E A2b / 2
A
E A2b / 3
b
b
b
图15-5 三种脉冲波形及能量
解：在Matlab的命令窗口输入以下命令
信号时尤其如此。
卷积积分计算实际上可用信号的分段求和来实现，即
f (t) f1(t) f2 (t)
f1( )
f2 (t
)d
lim
0
k
f1
(k)
f2 (t
k)
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
信号的卷积实验报告
一、实验目的1. 理解信号卷积的概念及其物理意义。
2. 掌握信号卷积的计算方法，包括连续卷积和离散卷积。
3. 分析卷积运算在信号处理中的应用，如信号滤波、信号重构等。
二、实验原理1. 信号卷积的概念信号卷积是指两个信号x(t)和h(t)的乘积在时间域上的积分。
卷积运算可以描述信号之间的相互作用和影响，对于信号处理、通信系统、控制系统等领域具有重要的应用。
2. 卷积的数学表示（1）连续卷积设x(t)和h(t)为两个连续信号，它们的卷积y(t)可以表示为：y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ（2）离散卷积设x[n]和h[n]为两个离散信号，它们的卷积y[n]可以表示为：y[n] = ∑[x[k]h[n-k]]3. 卷积的性质（1）交换律：x(t) h(t) = h(t) x(t)（2）结合律：(x(t) h(t)) g(t) = x(t) (h(t) g(t))（3）分配律：x(t) (h(t) + g(t)) = x(t) h(t) + x(t) g(t)（4）卷积的导数：d/dt(x(t) h(t)) = x(t) d/dt(h(t))三、实验仪器与设备1. 双踪示波器2. 信号源3. 信号处理模块4. 计算机5. MATLAB软件四、实验内容与步骤1. 连续信号卷积实验（1）选择两个连续信号，如方波信号和三角波信号。
（2）利用示波器观察两个信号的波形。
（3）通过计算机计算两个信号的卷积，并观察卷积结果的波形。
2. 离散信号卷积实验（1）选择两个离散信号，如单位阶跃信号和单位冲激信号。
（2）利用示波器观察两个信号的波形。
（3）通过计算机计算两个信号的卷积，并观察卷积结果的波形。
3. 卷积运算在信号处理中的应用实验（1）信号滤波：选择一个信号，如含噪声的信号，通过卷积运算实现滤波操作，去除噪声。
（2）信号重构：选择一个信号，如被压缩的信号，通过卷积运算实现信号重构，恢复原始信号。
五、实验结果与分析1. 连续信号卷积实验结果通过实验，我们可以观察到连续信号卷积的结果。
《信号与系统(第2版》【附录+习题答案】
附 录 A 常 用 数 学 公 式A.1 三角函数公式j e cos jsin t t t ωωω=+ j e e (cos jsin )t t t σωσωω+=+j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+j j 1sin (e e )2jt t t ωωω-=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++双曲正弦：e e sh 2x xx --=双曲余弦：e e ch 2x xx -+=A.2 微积分公式d()d Cu C u =，C 为常数（下同）d()d d u v u v ±=±，u 、v 为t 的函数（下同） d()d d uv v u u v =+ 2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭d d Cu t C u t =⎰⎰()d d d u v t u t v t ±=±⎰⎰⎰信号与系统288d d u v uv v u =-⎰⎰()d ()()()()d ()bb baaau t v t u t v t v t u t =-⎰⎰A.3 数列求和公式（1）等比数列123,,,,N a a a a 的通项为11n n a a q -=，q 为公比，前n 项的和为 111(1)11NN N N n n a a q a q S a q q =--===--∑（2）等差数列123,,,,N a a a a 的通项为1(1)n a a n d =+-，d 为公差，前n 项的和为111()(1)22NN N n n N a a N N dS a Na =+-===+∑附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式B.1 连续时间信号的卷积121221()()()()d ()()d x t x t x x t x x t ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰B.2 离散时间信号的卷积121221()()()()()()m m x n x n x m x n m x m x n m ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑B.3 连续时间三角形式的傅里叶级数0000011()[cos()sin()]cos()kk kkk k x t a ak t b k t A A k t ωωωϕ∞∞===++=++∑∑0000001()d t T t a A x t t T +==⎰000002()cos()d 1,2,t T k t a x t k t t k T ω+==⎰， 000002()sin()d 1,2,t T k t b x t k t t k T ω+==⎰，1,2,k A k = arctan 1,2,k k k b k a ϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B.4 连续时间指数形式的傅里叶级数FS000j 01()e d t T k t k t X x t t T ω+-=⎰0j 0()()ek tk x t X k ωω∞=-∞=∑信号与系统290B.5 连续时间傅里叶变换FTj (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰j 1()(j )e d 2πt x t X ωωω∞-∞=⎰B.6 双边拉普拉斯变换()()e d st X s x t t ∞--∞=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰B.7 单边拉普拉斯变换0()()e d st X s x t t ∞--=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰，0t ≥B.8 离散时间傅里叶级数DFS2πj 1()()ekn NN N n N X k x n N -=<>=∑，0,1,2,k =±±2πj()()ekn NN N k N x n X k =<>=∑，0,1,2,n =±±B.9 离散时间傅里叶变换DTFTj j (e )()enn X x n ΩΩ∞-=-∞=∑j j 2π1()(e )e d 2πn x n X ΩΩΩ=⎰B.10 离散傅里叶变换DFT1()()01N knNn X k x n Wk N -==-∑≤≤，附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式29111()()01N kn Nk x n X k Wn N N--==-∑≤≤，B.11 双边Z 变换b ()()nn X z x n z∞-=-∞=∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰B.12 单边Z 变换s 0()()nn X z x n z∞-==∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰习题参考答案第1章1.1（a）确定信号、连续时间信号、非周期信号、能量信号、非因果信号。
连续信号的卷积1
0, t < 0 t2 ,0 ≤ t < 1 2 3 − t 2 + 3t − ,1 ≤ t < 2 2 (t − 3) 2 ,2 ≤ t < 3 2 0, t ≥ 3
y(t)=x(t)*h(t)=
• 利用离散卷积函数 利用离散卷积函数conv()分析： 分析： 分析 （1）将连续信号 f1( t)和f2(t) 以时间间隔 ） 和 p 进行取样，得到离散序列 进行取样，得到离散序列f1(kp)f2( kp) ； （2）构造与 1(kp) 和f2( kp) 相对应的时 ）构造与f 间向量k1 间向量k1 和k2 ； 函数计算卷积积分f （3）调用 conv()函数计算卷积积分 (t) ） 函数计算卷积积分 的近似向量f 的近似向量 (kp) ； （4）构造 (kp) 对应的时间向量 k。 ）构造f 。
• （2）使用hold on保存上一函数图像，完成 重叠输出。（关于颜色设置） • 3．定义连续卷积函数中： ．定义连续卷积函数中： • k3=length(f1)+length(f2)-2（？） ？
= (r(t ) − 2r(t −1) + r(t − 2))(−1) − (r(t −1) − 2r(t − 2) + r(t − 3))(−1) 1 2 1 3 3 2 2 = t u(t ) − (t − 3) u(t − 3) − (t −1)u(t −1) + (t − 2)2 u(t − 2) 2 2 2 2
• (a)为了与近似计算的结果作比较，用解析 法求出y(t)=x(t)*h(t)； • (b)用不同的D计算出卷积的数值近似值，并 和（a）中的结果作比较。
【题目分析】 题目分析】
• 解析法： x(t)=u(t)-u(t-1)， h(t)=x(t)*x(t) h(t)=r(t)-2r(t-1)+r(t-2); y(t ) = x(t ) * h(t ) = x(t ) * x(t ) * x(t ) = (r(t ) − 2r(t −1) + r(t − 2)) * (u(t ) − u(t −1)
信号与系统复习题
信号与系统试题库一、填空题绪论：1.离散系统的激励与响应都是____离散信号 __。
2.请写出“LTI ”的英文全称___线性非时变系统 ____。
3.单位冲激函数是__阶跃函数_____的导数。
4.题3图所示波形可用单位阶跃函数表示为()(1)(2)3(3)t t t t εεεε+-+---。
5．如果一线性时不变系统的输入为f(t)，零状态响应为y f (t )=2f (t-t 0)，则该系统的单位冲激响应h(t)为____02()t t δ-_________。
6. 线性性质包含两个内容：__齐次性和叠加性___。
7. 积分⎰∞∞-ω--δ-δdt )]t t ()t ([e 0t j =___01j t e ω--_______。
8.已知一线性时不变系统，当激励信号为f(t)时，其完全响应为（3sint-2cost ）ε(t)；当激励信号为2f(t)时，其完全响应为(5sint+cost)ε(t)，则当激励信号为3f(t)时，其完全响应为___7sint+4cost _____。
9. 根据线性时不变系统的微分特性，若：f(t)−−→−系统y f (t)则有：f ′(t)−−→−系统_____ y ′f (t)_______。
10. 信号f(n)=ε(n)·(δ(n)+δ(n-2))可_____δ(n)+δ(n-2)_______信号。
11、图1所示信号的时域表达式()f t =()(1)(1)tu t t u t --- 。
12、图2所示信号的时域表达式()f t =()(5)[(2)(5)]u t t u t u t +----。
13、已知()()()2f t t t t εε=--⎡⎤⎣⎦，则()f t '=()(2)2(2)u t u t t δ----。
14、[]2cos32td ττδτ-∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=8()u t 。
15、[]()1td τδττ-∞'-⎰=()()u t t δ+。
卷积
g (t) * g (t)
=
o t o
=
t
o
t
第四节 卷积
4 常用信号的卷积公式
常 用 信 号 的 卷 积 公 式
第四节 卷积
1 F f x 2
f ( x )e i x d x,
5 卷积定理
则 证：
若
F [ f1 ( x )] F1 ( ) 和 F [ f 2 ( x )] F2 ( )
第四节 卷积
2、卷积的图解法(特别适用于求某时刻点上的卷积值)
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
卷积过程可分解为四步：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
F [ f1 ( x ) f 2 ( x )] 2 F1 ( ) F2 ( )
0
0
f 2 (t ) f1 (t ) t t t
0
f 2 ( ) f1 (t t0 )d f1 (t t0 )* f 2 (t )
推论： 若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
f1 (t t1 ) f 2 (t t2 ) y(t t1 t2 )
( 1) t t g (t ) 2 2
0 ( 1) ( 1) g t g t t 2 2 t
2018年9月份考试信号与系统第一次作业
2014年9月份考试信号与系统第一次作业一、单项选择题（本大题共100分，共 40 小题，每小题 2.5 分）1. 已知 f(t)，为求f(t0-at) 应按下列哪种运算求得正确结果？（式中t,a都为正值）（）。
A.B. f(at) 右移t0 C. f(at) 左移t/a D. f(-at) 右移t/a2. 系统函数H（s）与激励信号X（s）之间是（）。
A. 反比关系 B. 无关系C. 线性关系D. 不确定3. 下列论断正确的为（）。
A. 两个周期信号之和必为周期信号； B. 非周期信号一定是能量信号； C. 能量信号一定是非周期信号； D. 两个功率信号之和仍为功率信号。
4. 序列的正确图形是（）A.B.C.D.5. 已知某系统的系统函数为H(s)，唯一决定该系统单位冲激响应h(t)函数形式的是（） A. H(s)的零点 B. H(s)的极点 C. 系统的输入信号 D. 系统的输入信号与H(s)的极点6. 信号波形如图所示，设，则为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 某信号的频谱密度函数为则f(t) =（）。
A.B.C.D.8. 积分等于（）A.B.C.D.9. 积分等于（）A.B.C.D.10. 信号波形如图所示，设,则为（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 信号和分别如图（a）和图(b)所示，已知，则的傅里叶变换为（）A.B.C.D.12. f（5-2t）是如下运算的结果————————（） A. f（-2t）右移5B. f（-2t）左移5C. f（-2t）右移5/2D. f（-2t）左移5/213. 图(b)中与图(a)所示系统等价的系统是（）A.B.C.D.14. 若系统的起始状态为0，在x（t）的激励下，所得的响应为———（） A. 强迫响应 B. 稳态响应 C. 暂态响应 D. 零状态响应15. 已知信号的傅里叶变换<mml:math xmlns:mml="/1998/Math/MathML" xmlns:m="/officeDocument/2006/math"><mml:mrow ><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>&omega ;</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi ><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><m ml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:m n>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml: math>，则为（）A.<mml:math xmlns:mml=" /1998/Math/MathML" xmlns:m=" /officeDocument/2006/math"><mml:mact ionactiontype="link"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></ mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi ></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w </mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub ><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>B.<mml:math xmlns:mml=" /1998/Math/MathML" xmlns:m=" /officeDocument/2006/math"><mml:mact ionactiontype="link"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></ mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi ></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mm l:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>t</m ml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>C.<mml:math xmlns:mml=" /1998/Math/MathML" xmlns:m=" /officeDocument/2006/math"><mml:mact ionactiontype="link"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></ mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi ></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w </mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub ><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml :mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>D.<mml:math xmlns:mml=" /1998/Math/MathML" xmlns:m=" /officeDocument/2006/math"><mml:mact ionactiontype="link"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></ mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi ></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mm l:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>t</m ml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml :mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>16. 离散信号f(n)是指（）A. n的取值是连续的，而f(n)的取值是任意的信号B. n的取值是离散的，而f(n)的取值是任意的信号C. n的取值是连续的，而f(n)的取值是连续的信号D. n的取值是连续的，而f(n)的取值是离散的信号17. 连续信号与的卷积，即（）A. f(t)B. f(t-t) C.D.18. 信号的拉氏变换及收敛域为（）A.B.C.D.19. 若序列f(n)的图形如图（a）所示，那么f(-n+1)的图形为图（b）中的（）A.B.C.D.20. 的拉氏反变换为（）A.B.C.D.21. 若周期信号 f(t)是时间 t的奇函数，则其三角形傅里叶级数展开式中只含( )。
信号分析第二章答案
信号分析第二章答案第二章习题参考解答2.1求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1)y(n)y(n1)某(n)3h(n1)(n)3解当激励为(n)时，响应为h(n)，即：h(n)由于方程简单，可利用迭代法求解：h(0)h(1)(0)13，h(1)111h(0)(1)h(0)333，2111h(2)h(1)(2)h(1)333…，由此可归纳出h(n)的表达式：h(n)()n(n)3利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：11()n11311(n)h(k)()k[()n](n)1223kk0313nn(2)y(n)y(n2)某(n)4解(a)求冲激响应11h(n2)(n)，当n0时，h(n)h(n2)0。
44111特征方程20，解得特征根为1,2所以：42211h(n)C1()nC2()n…(2.1.2.1)2211通过原方程迭代知，h(0)h(2)(0)1，h(1)h(1)(1)0，代入式44h(n)(2.1.2.1)中得：C1C2111C1C2022信号分析与处理的课后习题答案是高等教育出版社的教科书解得C11C22，代入式(2.1.2.1)：h(n)12(12)n12(12)n,n0…(2.1.2.2)可验证h(0)满足式(2.1.2.2)，所以：h(n)1[(1)n(1222)n](n)(b)求阶跃响应通解为11c(n)C1(2)nC2(2)n特解形式为1p(n)K，p(n2)K，代入原方程有K4K1，完全解为(n)1 14c(n)p(n)C1(2)nC2(2)n3通过原方程迭代之(0)1，(1)1，由此可得C41C23112C1412C231解得C1112，C26。
所以阶跃响应为：(n)h(k)[41111k032(2)n(6)(2)n](n)(3)y(n)某(n)2某(n1)某(n2)解h(n)(n)2(n1)(n2)n(n)h(k)(n)2(n1)(n2)k0(4)dy(t)dt5y(t)某(t)解dh(t)dt5h(t)(t)当t>0时，原方程变为：dh(t)dt5h(t)0。
数字信号处理卷积公式
数字信号处理卷积公式一、离散序列的卷积公式。
1. 定义。
- 设离散序列x(n)和h(n)，它们的卷积y(n)定义为：y(n)=∑_m =-∞^∞x(m)h(n - m)- 这里m是求和变量，n表示卷积结果y(n)的序列序号。
2. 计算步骤示例。
- 例如，已知x(n)={1,2,3}（n = 0,1,2时的值，其他n时x(n)=0），h(n)={2,1}（n = 0,1时的值，其他n时h(n)=0）。
- 当n = 0时：- y(0)=∑_m =-∞^∞x(m)h(0 - m)=x(0)h(0)=1×2 = 2- 当n = 1时：- y(1)=∑_m =-∞^∞x(m)h(1 - m)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=1×1+2×2=1 + 4=5- 当n = 2时：- y(2)=∑_m =-∞^∞x(m)h(2 - m)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=1×0+2×1+3×2=0 + 2+6 = 8- 当n = 3时：- y(3)=∑_m =-∞^∞x(m)h(3 - m)=x(1)h(2)+x(2)h(1)=2×0+3×1 = 3- 当n>3时，y(n)=0。
所以y(n)={2,5,8,3}。
3. 卷积的性质。
- 交换律：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)，即∑_m =-∞^∞x(m)h(n - m)=∑_m =-∞^∞h(m)x(n - m)。
- 结合律：(x(n)*h_1(n))*h_2(n)=x(n)*(h_1(n)*h_2(n))。
- 分配律：x(n)*(h_1(n)+h_2(n))=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)。
二、连续信号的卷积公式。
1. 定义。
- 设连续时间信号x(t)和h(t)，它们的卷积y(t)定义为：y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ- 这里τ是积分变量，t表示卷积结果y(t)的时间变量。
计算卷积的方法
详细描述了系统传递函数的计算过程，包括系统传递 函数的定义、系统函数的表示、系统传递函数的计算 步骤以及计算实例。
详细描述
系统传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模 型，可以通过系统的输入输出关系来计算。具体来说， 假设有一个线性时不变系统，其输入为x(t)，输出为y(t)， 系统的传递函数可以通过以下步骤得到：首先根据系统 的输入输出关系列出微分方程，然后通过拉普拉斯变换 求解微分方程，得到传递函数H(s)。
04
卷积的特性
时移性
总结词
卷积的结果可以通过将其中一个信号进 行时间平移来获得。
VS
详细描述
卷积运算具有时移性，即当一个信号在时 间上平移时，其与另一个信号的卷积结果 也会相应地发生平移。这种特性在信号处 理和控制系统等领域中非常重要，因为它 允许我们通过改变输入信号的时间位置来 控制输出信号的时间响应。
滤波器
滤波器
卷积在信号处理中常常用于实现滤波器功能。通过设计特定 的滤波器系数（相当于冲激响应），可以对输入信号进行滤 波处理，提取出需要的信号成分或者抑制不需要的噪声干扰 。
IIR滤波器和FIR滤波器
在数字信号处理中，滤波器可以分为无限冲激响应（IIR）滤波 器和有限冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器具有反馈结构，可 以实现对信号的递归处理；而FIR滤波器没有反馈结构，只能实 现线性相位响应。
计算卷积的方法
• 卷积的定义 • 卷积的物理意义 • 计算卷积的方法 • 卷积的特性 • 卷积的计算实例
01
卷积的定义
数学定义
数学上，卷积是一种二元运算，表示为 *。 对于两个函数 f 和 g，它们的卷积定义为
(f * g)[n] = sum_{k=-infty}^{+infty} f[k] g[n-k])
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• 法二： 法二： t1=0:0.0001:1; a1=t1.*t1/2; t2=1:0.0001:2; a2=-t2.*t2+3*t2-1.5; t3=2:0.0001:3; a3=(t3-3).*(t3-3)/2; plot(t1,a1,‘ r'); hold on plot(t2,a2,'b'); hold on plot(t3,a3,'g'); hold off
= (r(t ) − 2r(t −1) + r(t − 2))(−1) − (r(t −1) − 2r(t − 2) + r(t − 3))(−1) 1 2 1 3 3 2 2 = t u(t ) − (t − 3) u(t − 3) − (t −1)u(t −1) + (t − 2)2 u(t − 2) 2 2 2 2
【结果分析】 结果分析】
• ∆（即p）的值越小，卷积出的值包含范围 （ ）的值越小， 越广，产生的图像所包含的点也就越多， 越广，产生的图像所包含的点也就越多， 当p小到一定是其图像可以接近连续信号图 小到一定是其图像可以接近连续信号图 像。
【问题讨论】 问题讨论】
• 1．在matlab中“.*”和“*”的区别： ． 中 和 ”的区别： • 两个变量相乘，用“.*”；常数之间或常数 与变量之间则用“*”。（因为变量在 matlab中是以数组的形式存储的） • 2．分段函数输出方法： ．分段函数输出方法： • （1）直接以plot(t1,a1,t2,a2,t3,a3)分段函 数输出；
0, t < 0 t2 ,0 ≤ t < 1 2 3 − t 2 + 3t − ,1 ≤ t < 2 2 (t − 3) 2 ,2 ≤ t < 3 2 0, t ≥ 3
y(t)=x(t)*h(t)=
• 利用离散卷积函数 利用离散卷积函数conv()分析： 分析： 分析 （1）将连续信号 f1( t)和f2(t) 以时间间隔 ） 和 p 进行取样，得到离散序列 进行取样，得到离散序列f1(kp)f2( kp) ； （2）构造与 1(kp) 和f2( kp) 相对应的时 ）构造与f 间向量k1 间向量k1 和k2 ； 函数计算卷积积分f （3）调用 conv()函数计算卷积积分 (t) ） 函数计算卷积积分 的近似向量f 的近似向量 (kp) ； （4）构造 (kp) 对应的时间向量 k。 ）构造f 。
调用sconv()函数
抽样间隔p 抽样间隔 p=input('p='); k1=0:p:1; f1=1*ones(1,length(k1)); k2=0:p:2; f2=tripuls(k2-1,2,0); [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)
P=1 P=0.5 P=0.25
P=0.1 P=0.01 P=0.001
• （2）使用hold on保存上一函数图像，完成 重叠输出。（关于颜色设置） • 3．定义连续卷积函数中： ．定义连续卷积函数中： • k3=length(f1)+length(f2)-2（？） ？
连续信号的卷积
【研讨题目】 研讨题目】
• 两个连续信号的卷积定义为: 为了进行数值计算，需对连续信号进行 抽样。记x[k]=x(k), h[k]=h(k),为进行数值计 算的抽样间隔。则连续信号卷积可近似的 写为 这就可以利用conv函数可近似计算连续 信号的卷积。设x(t)=u(t)-u(t-1)， h(t)=x(t)*x(t)，
利用conv函数定义 函数定义sconv函数： 函数： 利用 函数定义 函数
function[f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p) f=conv(f1,f2); %计算 与f2的卷积和 计算f1与 的卷积和 的卷积和f 计算 f=f*p; k0=k1(1)+k2(1); %计算序列 非零样值的起点位置 计算序列f非零样值的起点位置 计算序列 k3=length(f1)+length(f2)-2; %计算卷积和 的非零 计算卷积和f的非零 计算卷积和 样值的宽度 k=k0:p:k3*p; %计算卷积和 的非零样值的时间 计算卷积和f的非零样值的时间 计算卷积和 plot(k,f);% 画卷积 的时域波形 画卷积f(t)的时域波形 title('f(t)=f1(t)*f2(t)') xlabel('t') ylabel('f(t)') title('f(t)=f1(t)*f2(t)')
• (a)为了与近似计算的结果作比较，用解析 法求出y(t)=x(t)*h(t)； • (b)用不同的D计算出卷积的数值近似值，并 和（a）中的结果作比较。
【题目分析】 题目分析】
• 解析法： x(t)=u(t)-u(t-1)， h(t)=x(t)*x(t) h(t)=r(t)-2r(t-1)+r(t-2); y(t ) = x(t ) * h(t ) = x(t ) * x1) + r(t − 2)) * (u(t ) − u(t −1)
【仿真程序 仿真程序】 仿真程序
• 法一： 法一： t1=0:0.0001:1; a1=t1.*t1/2; t2=1:0.0001:2; a2=-t2.*t2+3*t2-1.5; t3=2:0.0001:3; a3=(t3-3).*(t3-3)/2; plot(t1,a1,t2,a2,t3,a3)